江西省九江市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）

这是一份江西省九江市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分120分，作答时间120分钟.
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分.
1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据理解反比例函数的定义：“如果两个变量x、y之间的关系可以表示为y=（k为常数，且k≠0），那么y是x的反比例函数”进行判断即可．
【详解】解：A、，y是x的一次函数，因此选项不符合题意；
B、，y是x的反比例函数，故此选项符合题意；
C、，y是x+1的反比例函数，因此选项不符合题意；
D、，y是x的一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
故选：B．
2. 如图，这是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，则该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要查了求简单组合体的三视图．根据从正面看到的图形是主视图，画出图形即可．
【详解】解：该几何体的主视图是更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
故选：A
3. 下列是平行投影的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行投影的知识，定义：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．特征：平行投影的投影线是平行的．牢记平行投影的定义是解题的关键．
【详解】如图所示，连接影子的顶端和物体的顶端得到投影线，若投影线平行则为平行投影．通过作图可知A、C、D中影子的顶端和物体的顶端连线不平行，只有选项B中影子的顶端和物体的顶端连线平行．
故选B．
4. 如图，∽，，若的周长为3，则的周长为（ ）
A. 12B. 9C. 6D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质：周长之比等于相似比，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴相似三角形的周长之比等于相似比，
即，
∵的周长为3，
∴，
∴，即的周长为6；
故选：C．
5. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，若，，则的长为（ ）
A. B. 9C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质，可得，从而得到，可证明，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D
6. 如图，矩形的边在轴正半轴上，对角线的延长线交轴负半轴于点，双曲线（）经过点，若的面积为1，则的值为（ ）

A. 6B. 4C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】主要考查反比例函数中k的几何意义及相似三角形的判定和性质，找出并证明三角形相似、先根据题意证明，根据相似比及面积公式得出的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．
【详解】解：∵矩形的边在轴正半轴上，
∴轴，轴，，，
又∵，
∴，
即：．
又∵，
∴，
又∵反比例函数图象在第一象限，，
所以：．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，写出一个符合条件的的值：________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质：“时，图象位于一、三象限，在各象限随的增大而减小；时，图象位于二、四象限，在各象限随的增大而增大；”根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限得出，符合条件的数即可．
【详解】解：∵比例函数(为常数，)的图象位于第二、第四象限，
∴
∴
∴k可以为
故答案为（答案不唯一）
8. 若一元二次方程的两根分别为，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：一元二次方程的两根分别为，，
∴．
故答案为：
9. 已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，由k的值，可以得到该函数图象在第几象限，再根据反比例函数的性质，从而可以得到x的取值范围．
【详解】解：∵，
∴该函数图象在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
∴当时，则，则，
当时，则，则
∴当时，，
故答案为：．
10. 为保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了60只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地有灰鹤________只．
【答案】400
【解析】
【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图，用“频数÷频率=总数”可得答案．
【详解】解：（只），
即估计该湿地约有灰鹤400只．
故答案为：400．
11. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2所示，与交于点，，若点到的距离为10cm，点到的距离为15cm，蜡烛火焰的高度是3.6cm，则蜡烛火焰倒立的像的高度是________cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，根据题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形的性质，进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得：
∵，
∴，
∵点O到的距离为，点O到的距离为，
∴由相似三角形对应高之比是相似比可得：，
，
，
故答案为：．
12. 已知是菱形的对角线上的一点，且和都为等腰三角形，若，则的长为_______________．
【答案】或2或
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质可求解．
详解】解：如图，当点E离点D比较近时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴设，
∵和都为等腰三角形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得（舍去）或；
即；
当点离点B比较近时，；
当四边形是正方形时，点E是对角线的交点，则，
∴；
综上所述：的长为或2或．
故答案为：或2或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）已知是关于的反比例函数，求的值．
（2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数，相似三角形．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，相似三角形的判定．
（1）根据反比例函数的自变量的指数为，系数不为0，解答；
（2）根据正方形性质，进而证明，由两角对应相等，两三角形相似结论.
【详解】（1）∵函数是y关于x的反比例函数，
∴，
解①得，，，
解②得，，
∴k值为0．
（2）∵在正方形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴．
14. 已知y是的反比例函数，且当时，．
（1）求该函数的表达式；
（2）当时，求自变量的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题主要查了反比例函数的解析式：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把代入（1）中函数解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：设该函数的表达式为，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴该函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，
，解得：．
15. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为_______．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，；
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图，可得共有种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
通过卡片上的字，可以看到是轴对称图形的为“文”，
∴卡片上的字是轴对称图形的概率为，
故答案为：，
【小问2详解】
画树状图如解图，

由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为．
16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点．
（2）如图2，在边上找一点，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作；
（2）在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求．
本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
【小问1详解】
如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，
则，
∵，
∴，
故即为所求；
【小问2详解】
如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，
则，
∵，
∴，
故点F即为所求作．
17. 如图，这是某几何体的三视图．
（1）该几何体的名称为________；
（2）若该几何体的主视图是长为，宽为的长方形，左视图的长方形的宽为，俯视图是直角三角形，求该几何体的表面积和体积．
【答案】（1）三棱柱 （2）几何体的表面积为；体积为．
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体、求棱柱的表面积和体积，
（1）根据三视图的特点可得答案；
（2）根据三视图和三棱柱各棱长的关系得出各棱长，再根据表面积和体积公式计算即可．．
【小问1详解】
解：这个几何体的名称三棱柱．
故答案为：三棱柱；
【小问2详解】
（2）由题意，俯视图是直角三角形的斜边长
表面积：，
体积：，
答：几何体的表面积为；体积为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某商场中秋、国庆双节期间进行促销活动，前七天的总营业额为400万元，第八天的营业额是前七天总营业额的8%．
（1）求该商场中秋、国庆双节八天总营业额．
（2）该商场7月份的营业额为300万元，8、9月份营业额的月增长率相同，中秋、国庆双节八天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商场8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）万元
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据该商店去年“十一黄金周”这八天的总营业额=前七天的总营业额+第八天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【小问1详解】
解：根据题意，则
（万元），
∴该商店去年“十一黄金周”这八天的总营业额为万元；
【小问2详解】
解：设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：
，
解得：或（舍去）；
∴该商店，月份营业额的月增长率为．
19. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，为轴正半轴上的一点．
（1）________，________；
（2）若的面积为15，求此时点的坐标；
（3）若，则的取值范围为________．
【答案】（1）2；6 （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，三线合一定理，正确求出点A的坐标，进而求出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据点A在正比例函数的图象上求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先由对称性求出点B的坐标，再根据列方程求解即可，
（3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，
∴，解得：
∴，
把代入中得：，即，
∴反比例函数解析式为；
故答案为：2；6．
【小问2详解】
解：由反比例函数和反比例函数是关于原点的中心对称可知点B的坐标为，
∵，，
∴
∴，
∵为轴正半轴上一点．
∴点坐标为
【小问3详解】
由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴当时，x的取值范围或．
20. 如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论；
（2）根据可得，即可求得，，再由可得，进而可得的长．
【小问1详解】
解：∵矩形，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∵平分，
∴，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
由（1）知，四边形是正方形；
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
所以．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
（1）根据表中数据，求桌面所受压强（Pa）关于受力面积（m）的函数表达式及的值；
（2）将另一长，宽，高分别为，，，且与原长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】（1）；
（2）这种摆放方式不安全，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，
（1）由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，由待定系数法可求得函数关系式，令，即可求出的值即可；
（2）算出的值，即可求出的值，比较就可得出答案．
【小问1详解】
由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，
设，
将代入得：，
，
当时，，
；
【小问2详解】
这种摆放方式不安全，
理由如下：
由图可知，
将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，
，
这种摆放方式不安全．
22. 课本再现
（1）两棵小树在一盏路灯下的影子如图1所示．
①确定该路灯灯泡所在的位置；
②画出图中表示婷婷影长的线段．
数学思考
（2）如图2，婷婷居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上，两点的正中间，晚上，婷婷由点处径直走到点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（ ）
A. B. C. D.
解决问题
（3）婷婷在点处测得自己的影长，沿方向到达点处再测得自己的影长，如果婷婷的身高为1.6m，，求路灯杆的高度．
【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2）C；（3）
【解析】
【分析】本题考查的是中心投影的作图与性质，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的画图与相似三角形的性质是解本题的关键；
（1）①根据中心投影的性质作图； ②根据中心投影的性质作图．
（2）根据中心投影的性质得到小明在路灯下行走时影长的变化即可解答．
（3）由，可得，可得，同理可得，则，联立①②得：；
【详解】解：（1）如图： ①点A即为路灯灯泡的位置；
②即为婷婷的影长．
（2）小明从M点走到灯下方时影长由长变短，
从灯下方走到N点时影长由短变长，
∴C选项满足题意，
故选：C．
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由①②得：．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图1，点，在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过作轴于点．
探究发现
（1）①若，则的面积为________，的面积为________；
②若，则的面积为________，的面积为________．
猜想验证
（2）①如图1，与的位置关系为________；
②如图2，题中的其他条件不变，只改变点，的位置，请判断与的位置关系，并说明理由．
图1 图2
推广应用
（3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，为线段上的动点，反比例函数的图象经过点交于点，连接．将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值．
【答案】（1）①②；（2）①②，理见详解；（3）
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数的k的几何意义，结合三角形的面积公式可得，，①中的k的值为4，代入计算，同理，当时，代入计算，即可作答．
（2）①由（1）知，，分别过点作，垂足为，则．根据面积相等可得，则四边形为平行四边形，由此可得结论；
②连接，分别过点作，垂足为，则．证和的面积相等，根据（1）即可推出答案；
（3）先求出点D和点E的坐标，再运用待定系数法求解的解析式，如图，连接交于点K，利用待定系数法可求得直线的解析式为，根据一次函数的k值相等，得两直线平行，即，再根据翻折的性质即可得出答案；
【详解】解：（1）设点M的坐标为，点N的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴
∵轴，轴，
∴，
∴，
①当时，，
②当，；
（2）①由（1）知，，
分别过点作，垂足为，则．
∴．
∵与的面积相等，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
②，理由如下：
连接，分别过点作，垂足为，则．
∴，
由（2）①知，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
（3）因为点的坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，且四边形为矩形，
∴
设的解析式为，
把代入，
得
解得
即
如图，连接交于点K，
∵反比例函数的图象经过点交于点，
∴
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得：
∴直线的解析式为
∴，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴，
∴点分别为的中点，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合：翻折性质，反比例函数的k的几何意义，矩形性质，一次函数的解析式，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．桌面所受压强
300
600
1000
1500
受力面积
1
0.5
0.2