山西省晋中市榆次区什贴镇中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份山西省晋中市榆次区什贴镇中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列图形是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，
B．不是轴对称图形，
C．不是轴对称图形，
D．是轴对称图形，
故选D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用关于轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
，，
则．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆关于轴对称点的符号关系是解题关键．
3. 如图所示，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为（ ）．更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A. 80°B. 90°C. 120°D. 140°
【答案】D
【解析】
【详解】△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-100°=80°，
∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线．
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=40°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=140°．
故选D．
4. 如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，则的度数为（ ）．
A. 65°B. 70°C. 75°D. 85°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意于点，交于点，则，即
【详解】解：∵
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查垂直性质，解题关键在于在证明
5. 如图所示，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了添加条件证明三角形全等，利用全等三角形的判定依次证明即可．
【详解】解：，
，即，
，
，
和中满足一组对边相等，一组对角相等，
A选项，添加后，利用可判定；
B选项，添加后，利用不能判定；
C选项，添加后，利用可判定；
D选项，添加后，可得，利用可判定；
故选B．
6. 一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A. B. C. D. 以上都有可能
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况，首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论，因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果，解题的关键是掌握多边形的内角和及分类讨论思想．
【详解】解：设剪去一个角后的多边形边数为，根据题意得，
∴ 即得到的多边形是边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是边形；
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
过多边形的一个顶点，则原来的是边形；
不过多边形的顶点，则原来的是边形，
∴原来多边形的边数可能是或或，
故选：．
7. 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边三角形的判定方法逐一验证即可求解．
【详解】解：①两个角为60°，则第三个角也是60°，则其是等边三角形，故正确；
②有一个角等于60°的等腰三角形，这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．所以都正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定方法，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．
8. 如图,中,于D,于E,AD交BE于点F,若,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直的定义得到∠ADB=∠BFC=90°，得到∠FBD=∠CAD，证明△FDB≌△CAD，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠FBD=∠CAD，
在△FDB和△CAD中，
∴△FDB≌△CDA，
∴DA=DB，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9. 如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）
A. 24B. 30C. 36D. 42
【答案】B
【解析】
【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形的面积
故选B.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
10. 如图，是的角平分线，交于点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠AEC的度数，再根据三角形全等即可求解．
【详解】解：∵∠B=45°，∠ACB=55°
∴∠BAC=80°．
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=27.5°，
∵AE⊥CD，
∴∠CAE=∠CEA=90°−27.5°=62.5°，
∴∠EAD=80°−62.5°=17.5°．
∵∠CAE=∠CEA，
∴CA=CE，
又∵∠ACD=∠ECD，DC=DC，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠CAD=∠CED，
∴∠EAD=∠DEA=17.5°，
∴∠BDE=∠DAE＋∠DEA=35°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，解决本题的关键是可以利用三角形全等解决问题．
11. 如图，图①是四边形纸条，其中，，分别为，上的两个点，将纸条沿折叠得到图②，再将图②沿折叠得到图③，若在图③中，，则为（ ）
A. 48°B. 72°C. 108°D. 132°
【答案】C
【解析】
【分析】如图②，由折叠的性质和平行线的性质可求得∠EFM，根据三角形的外角性质可求得∠BMF，再根据平行线的性质可求得∠CFM，如图③中，再根据折叠的性质和角的差即可求得答案．
【详解】解：如图②，由折叠得：∠B'EF＝∠FEM＝24°，

∵AE∥DF，
∴∠EFM＝∠B'EF＝24°，
∴∠BMF＝∠MEF+∠MFE＝48°，
∵BM∥CF，
∴∠CFM+∠BMF＝180°，
∴∠CFM＝180°﹣48°＝132°，
如图③，由折叠得∠MFC＝132°，

∴∠EFC＝∠MFC﹣∠EFM＝132°﹣24°＝108°，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形的外角性质以及角的和差计算等知识，正确理解题意、熟练掌握上述是解题的关键．
12. 如图：△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，则AD的长是（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】在Rt△BPQ，易求∠PBQ＝30°，于是可求BP，进而可求BE，而△BAE≌△ACD，那么有AD＝BE＝9．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°，
又∵AE＝CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠DAC，AD＝BE，
∴∠ABE+∠BAD＝∠DAC+∠BAD，
即∠ABE+∠BAD＝∠BAE，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP＝90°，
∴∠PBQ＝∠BQP-∠BPQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2×4＝8，
∴BE＝BP+PE＝8+1＝9，
∴AD＝BE＝9，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△BAE≌△ACD．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13. 如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______．
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【分析】此题根据题目的意思，钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性．
【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的关键是掌握三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
14. 如图所示，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为________．
【答案】##24度
【解析】
【分析】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质和三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：，，
，
的垂直平分线交于点，
，
．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由得到的过程：______．
【答案】将关于y轴对称，再向上平移6个单位长度得到
【解析】
【分析】根据图形的轴对称性质和平移性质解答即可．
【详解】解：根据题意，可以看作是先将关于y轴对称，再向上平移6个单位长度得到的，
故答案为：将关于y轴对称，再向上平移6个单位长度得到．
【点睛】本题考查轴对称变换、平移变换，熟练掌握图形的轴对称性质和平移性质是解答的关键．
16. 如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则__．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出∠AOD的度数，再由正多边形的半径OA=OD，根据等腰三角形的性质求解即可.
【详解】多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
∴∠AOD=3×=120°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA==30°，
故答案为：30°.
【点睛】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
17. 如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】延长至，使，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围．
【详解】解：延长至，使，连接，如图所示
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
18. 如图，中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点．若，则的长度是______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用基本作图得到CD=CB，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠B=∠CDB=72°，再根据三角形的外角性质求得∠ACD=36°，然后利用等腰三角形的判定得即可求解．
【详解】解：连接CD，
由作法得CD=CB，则∠B=∠CDB，
∵，，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠CDB=∠B=72°，
∵∠CDB=∠A+∠ACD，
∴∠ACD=36°，
∴∠ACD=∠A=36°，
∴CD=AD，
∴AD=CB，
∵CB=1，
∴AD=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19. 如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题关键．先作两公路夹角的角平分线，再过张村和李村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P．
【详解】解：如图所示，点P即为所要求作的点．
20. 已知：如图，在中，，于，平分，，求的度数．
【答案】121°
【解析】
【分析】先在△ABC中根据内角和定理算出，再根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可．
【详解】解：在中，，
，
于，
，
在中，，
平分，
，
．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质应用，结合三角形内角和定理求解是关键．
21. 如图，△ABC中，DE，FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足，∠DAF=20°．
（1）若△DAF的周长为6，求BC的长；
（2）求∠BAC的度数．
【答案】（1）6；（2）100°
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，∠FAC=∠C，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：（1）∵△DAF的周长为6，
∴DA+FA+DF=6，
∵DE，FG分别为AB、AC的垂直平分线，
∴DA=DB，FA=FC，
∴BC=DB+DF+FC=DA+DF+FA=6；
（2）∵DA=DB，FA=FC，
∴∠DAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠DAB+∠FAC=∠B+∠C，
∵∠DAF=20°，
∴∠DAB+∠FAC+∠B+∠C=180°-20°=160°，
∴∠DAB+∠FAC=80°，
∴∠BAC=80°+20°=100°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22. 如图，已知：E是平分线上一点，，，C、D是垂足，连接，且交于点F．
（1）求证：是的垂直平分线．
（2）若，请你探究，之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据E是的平分线上一点，由，得，，进而证出，可得出，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出是的垂直平分线；
（2）先根据E是的平分线，可得出，由直角三角形的性质可得出，同理可得出即可得出结论．
【小问1详解】
∵E是的平分线上一点，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵是的平分线，
∴是的垂直平分线；
【小问2详解】
∵是的平分线，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
23. 如图，已知△ABC 为等边三角形，AE=CD，AD、BE 相交于点 F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若 BP⊥AD 于点 P，PF=9，EF=3，求 AD 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD=21.
【解析】
【详解】试题分析：(1)根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠ACD，结合AE=CD得出三角形全等；(2)根据全等得出BE=AD，∠ABE=∠CAD，结合外角的性质得出∠BFP=60°，然后根据直角三角形的性质得出BF的长度，最后根据AD=BE=BF+EF得出答案．
试题解析：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD；
(2)∵△ABE≌△CAD， ∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP， 即∠BFP=∠BAC=60°，
又∵BP⊥AD，∴∠BPF=90°， ∴∠FBP=30°， ∴BF=2PF=18，
∴AD=BE=BF+EF=18+3=21．
点睛：本题主要考查的就是等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，解决这个问题的关键就是要能够根据全等三角形的性质得出∠BFP=60°，从而根据直角三角形的性质进行求解．对于等边三角形，我们一定要利用好60°角的这个性质，然后将角度放入直角三角形中得出线段之间的关系．
24. 【问题提出】在中，，为角平分线，探究线段，，的数量关系．
【问题解决】如图1，当，过点作，垂足为，易得；由此，如图2，当时，猜想线段，，有怎样的数量关系？给出证明．
【方法迁移】如图3，当，为的外角平分线时，探究线段，，又有怎样的数量关系？直接写出结论，并说明理由．
【答案】【问题解决】，证明见解析；【方法迁移】，证明见解析
【解析】
【分析】问题解决：在线段上截取，连接，由角平分线定义和全等三角形的判定证明，进而证得，结合三角形外角性质可证得，进而证得即可解答；
方法迁移：在的延长线上截取，连接，证明，进而证得，结合等角的补角相等和三角形外角性质可证得，进而证得即可解答．
【详解】解：问题解决：，
证明：如图，在线段上截取，连接，
∵为的角平分线，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，