江苏省苏州市姑苏区草桥中学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省苏州市姑苏区草桥中学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知在Rt中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴为直线
C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小
3．已知的直径为5，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内B．点在上C．点在外D．无法判断
4．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡度是，堤坝高，水平宽度的长度（ ）
（第4题图）
A．B．C．D．
5．如图，点在上，，则的度数为（ ）
（第5题图）
A．B．C．D．
6．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（ ）
（第6题图）
A．B．C．D．
7．点均在抛物线上，若，则下列说法正确的是（ ）更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A．B．C．D．
8．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
第8题图
A．B．C．D．
9．如图，是的外接圆，为的直径，若，则等于（ ）
（第9题图）
A．B．C．D．
10．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边（ ）
（第10题图）
A．6B．C．D．4
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，在Rt中，，则______．
（第11题图）
12．二次函数的最小值是1．则的值是______．
13．在一个残缺的圆形工件上量得弦的中点到弦的距离，则这个圆形工件的半径是______．
（第13题图）
14．如图，是的直径，是的内接三角形．若，则的直径______．
（第14题图）
15．若二次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的不等式
的解集为______．
（第15题图）
16．如图，是的直径，是的内接三角形，若，则的直径______．
（第16题图）
17．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则______．
（第17题图）
18．如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，则四边形的面积是______．
（第18题图）
三、解答题
19．（1）计算：；
（2）
20．解方程：
（1）； （2）．
21．小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（：智取芭蕉扇、：三打白骨精、：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．
（1）小华选择项目的概率是______；
（2）用画树状图或列表法方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
22．如图，是的两条弦，点分别在上，且是的中点．求证：．
23．如图，是直径，弦与相交于点．求的度数．
24．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点分别在上，斜坡的长为18米，过点作于点，且线段的长为米．
（1）求该斜坡的坡高；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为，过点作于点，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
25．我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系．为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往需要构造直角三角形．例如，已知，求的度数，我们就可以在图①的方格纸中构造Rt和Rt来解决．
（1）利用图①可得______；
（2）若，请在图②的方格纸中构造直角三角形，求；
（3）在矩形中，与交于点，设，请利用图③探究和的数量关系．
26．小贺在学习垂径定理后对下题进行探究与思考：如图：的垂直弦于点，且．
（1）如图1，求的长．
（2）探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点．
①当点是的中点时，求证：．
②设，请写出关于的函数关系式，并说明理由
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长
图1 图2 图3
27．如图①，抛物线与轴交于两点（点位于点的左侧），与轴交于点．已知的面积是6．
（1）求的值；
（2）求外接圆圆心的坐标______；
（3）如图②，是抛物线上一点，为射线上一点，且两点均在第三象限内，是位于直线同侧的不同两点，若点到轴的距离为的面积为，且，求点的坐标．
图① 图②
2023－2024学年草桥学校初三年级12月份月考数学试卷
参考答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【答案】 C【解析】 解：，
，，故选：C．
2．【答案】 A【解析】 解：二次函数，
，该函数的图象开口向下，故选项A正确；
对称轴是直线，故选项B错误；顶点坐标为，故选项C错误；
当时，随的增大而增大，故选项D错误；故选：A．
3．【答案】 C【解析】 解：圆的半径，点到的距离，
点在圆外，故选：C．
4．【答案】 D【解析】 解：的坡度是，解得．
经检验，是原方程的解且符合题意，水平宽度的长度为．故选：D．
5．【答案】 C【解析】 解：连接，
，，
．故选：C．
6．【答案】 C【解析】 解：，
，，，．故选：C．
7．【答案】 D【解析】 解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
若，则点与对称轴距离大于点，，即，故选：D．
8．【答案】 B【解析】 解：过点作，垂足为，由题意得：，
在Rt中，，
在Rt中，，，
这栋楼的高度为，故选：B．
9．【答案】 C【解析】 解：连接，
与都对，，为圆的直径，，
在Rt中，，根据勾股定理得：，
则，故选：C．
10．【答案】 A【解析】 解：如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点，则此时取得最小值，根据点的对称性，，则为最小，故，
设正方形的边长为，则，
在Rt中，由勾股定理得：，
即，解得：（负值已舍去），故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．【答案】 【解析】 解：在Rt中，，
,．故答案为：．
12．【答案】 【解析】 解：根据题意得，
解得．故答案为：．
13．【答案】 5【解析】 解：平分弧，圆心在直线上，
设圆心为，半径为，如图，连接，
则，
在Rt中，，即，解得：，
即这个圆形工件的半径是，故答案为：5．
14．【答案】 【解析】 解：如图，连接．
,,,
是的直径，,
是等腰直角三角形，，．故答案为：．
15．【答案】 或
【解析】 解：由图象可得或时，
当时，或，
解得或，故答案为：或．
16．【答案】 【解析】 解：连接
由题知
17．【答案】 【解析】 解：作轴于，
矩形的面积是6，的面积是3，
，,
对角线轴，,,
,，，
,,．故答案为：．
18．【答案】 【解析】 解：连接，在矩形中，，
，，，，
，，
过作于，交于，
，，，
是等边三角形，，，，
是等腰直角三角形，，，
，，
四边形的面积，
故答案为：，
三、解答题
19．【答案】 （1）1 （2）2022
【解析】 解：（1）
；
（2）
20．【答案】 （1） （2）
【解析】 解：（1），，或，所以；
（2），，，
或，所以．
21．【答案】 （1） （2）
【解析】 【解答】 解：（1）小华选择项目的概率是．故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：，共6种，
小华、小玲选择不同游玩项目的概率为．
22．【解析】 证明：是的中点，
，,,,
即，．
23．【解析】 解：连接，是直径，，
，．
24．【答案】 （1） （2）2
【解析】 解：（1）在Rt中，（米）；
答：该斜坡的坡高长为米；
（2），，，
在Rt中，，
米，米，（米）．
综上所述，长度增加了2米．
25．【答案】 （1） （2） （3）
【解析】 解：（1）如图①，连接，
，
，且，是等腰直角三角形，
，即，故答案为：45．
（2）构造如图②所示Rt，
设，在Rt中，，
，延长到，使，
,,,,
在Rt中，，
；
（3）如图③，过点作于，四边形是矩形，
，
，，
在Rt中，，则
在Rt中，，则，
，，
，，
，，
，即．
26．【解析】 解：（1）如图1，连接
（2）①如图2，连接
垂直弦
是的中点
则：
②在Rt中，
③为等腰三角形
1．（如图3.1）
在与中
2．（如图3.2）
，
在与中
3．（不存在）综上所述：为或
27．【解析】 解：（1）令，即
解得，由图象知：
（舍去）
（2），，
线段的垂直平分线过原点，线段的垂直平分线解析式为：，
由，线段的垂直平分线为
将代入外接圆圆心的坐标
（3）作轴交轴于，则
到的距离相等，
设直线解析式为：直线经过点所以：直线的解析式为
联立
点坐标为又，，，
在与中，，
，
设由得：
解得：（当时，，故应舍去）坐标为