天津市翔宇力仁学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份天津市翔宇力仁学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共22页。试卷主要包含了本卷共12题，共36分等内容，欢迎下载使用。
答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上．答题时，务必将答案涂写在答题卡上．答案答在试卷上无效！
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列解析式中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
按照二次函数的定义逐个选项分析即可．
【详解】解：A、y是关于x的一次函数，故此选项不符合题意；
B、y是关于x的二次函数，故此选项符合题意；
C、y是关于x的反比例函数，故此选项不符合题意；
D、x的最高次数是3，y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意．
故选：D．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可
【详解】解：抛物线的顶点坐标是
故选A
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
4. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
5. 一枚质地均匀正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于4的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查概率的计算，由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为1、2、3、4、5、6，共有6种可能，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数小于4的概率即可．
【详解】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有6 种可能，而只有出现点数为 1，2，3才小于4 ，
所以这个骰子向上的一面点数小于 4的概率．
故选：D．
6. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
由圆周角定理得：，
故选：C．
7. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 0B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元一次方程，将代入方程，建立关于m的一元一次方程，求解方程即可．
【详解】解：是一元二次方程的一个解，
，即，
解得：，
故选：B．
8. 如图，与相切于点，，，则长为( )

A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：与相切于点，
，
，
．
，
．
故选：A．
9. 已知点，在抛物线，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据二次函数的性质可以判断出与的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴开口向下，对称轴为直线，
∵，是抛物线上的两点，且离对称轴较近，
∴，
故选：A．
10. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
详解】解：依题意得：
当时，，
当水位上升时，则此时，
则：，
解得：或，
水面宽为：，
故选C．
11. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，交于点D，，，则的度数为（ ）
A. 20°B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质，掌握旋转的性质是解题的关键．“三角形的外角等于与它不相邻的内角的和”．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
12. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．
【详解】解：如图：
图象开口向下，
，
图象交轴于正半轴，
，
对称轴是直线，
，
，
，
，故①错；
，
，故②对；
图象与轴两个交点，
△，即，故③对；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和3之间，且开口向下，
时，，故④对；
由图象知：时，，
，
，即，故⑤对；共四个对，
故选：D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡上（作图可用2B铅笔）．
2．本卷共13题，共84分．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查关于原点对称的点，解题的关键是记住关于原点对称横纵坐标都互为相反数．
14. 抛物线与y轴的交点坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线与y轴的交点的横坐标为0，得到交点的纵坐标即可．熟练掌握与y轴的交点坐标的特点是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故答案为：
15. 若三角形的两边长分别是2和4，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的三边关系以及解一元二次方程，因式分解法求出的值，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，求出周长即可．
【详解】解：
解得或
当时，，不能构成三角形．舍去；
当时，，可以构成三角形，故三角形的周长为．
故答案为：．
16. 抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度所得的抛物线的解析式为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”．
17. 如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若，则图中阴影部分的面积是______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到，则可判断为等腰直角三角形，接着判断和都是等腰直角三角形，于是得到，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【详解】解：为直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
．
故答案为．
18. 如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，首先证明，推出，作点D关于的对称点G，连接，此时的值最小，最小值即为线段的长．
【详解】解： 是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
，
，
作点D关于的对称点G，连接，
则，的最小值即为线段的长，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
的值最小为：，
故答案为：．
二、填空题（本大题共7个小题，共66分）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的能力．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，建立如图所示的平面直角坐标系，的位置如图所示，已知，，．

（1）画出关于原点O对称的；
（2）将绕点B顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点A的对应点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征描出点，再顺次连接即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点，再根据点的位置写出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
；
小问2详解】
解：如图，为所作．
点的坐标为．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，中心对称等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21. 为了让教师深入理解2022年版课程标准，某校开展了“学习新课标，践行新理念”活动，并组织了2022年版课程标准知识竞赛．甲、乙、丙、丁四名教师在这次校级竞赛活动中成绩优异，该校决定从这四名教师中随机选取两名教师参加市级2022年版课程标准知识竞赛．
（1）“甲、戊两名教师被选到”是______（填“随机”、“必然”或“不可能”）事件．
（2）请用列表或画树状图的方法，求恰好选到甲、乙两名教师的概率．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】此题考查了用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据不可能事件的定义即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及抽到甲、乙两名教师的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
“甲、戊两名教师被选到”是“不可能”事件；
故答案为：不可能；
【小问2详解】
根据题意画树状图如下：

共有12种等可能的情况数，其中选到甲、乙两名教师有2种，
则选到甲、乙两名教师的概率是．
22. 如图1，已知是的内接三角形，为直径，，D为上一点．

（1）当点D为的中点时，连接，求和的大小；
（2）如图2，过点D作的切线，与AB的延长线交于点P，且，连接，求的大小．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用圆周角定理得到，则利用互余可计算出；再根据圆周角定理由点D为的中点得到，所以；
（2）连接，如图，先根据平行线的性质得到，再根据切线的性质得到，则可计算出，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，所以，然后计算的度数．
【小问1详解】
如图1，连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵D为的中点，
∴．
∴．
∴
小问2详解】
如图2，连接，
∵，，
∴，．
设．
∴．
∵为的切线，
∴．
∴．
∵，
∴．
即，
解得：．
∴
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
23. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．
（1）求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围．
（2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）当为时，小花园的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围；
（2）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解．
解题的关键是明确题意，列出函数解析式．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴花园的面积为：，
∵，，
∴，，
∴，
∴与之间的函数关系式为： ；
【小问2详解】
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为200．
答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是．
24. 是等腰直角三角形，当，点是射线上的任意一点（不与点重合），连接，如图1，将线段绕点顺时针旋转90°得线段，连接并延长交直线于．
（1）猜想线段与的数量关系为________，位置关系为________；
（2）如图2，若为锐角时，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）如图3，若，，，则的长及的面积．
【答案】（1），
（2）成立，理由见解析
（3），
【解析】
【分析】（1）由旋转和等腰直角三角形证明，然后推理得到结论；
（2）利用证明，然后推导得到结论；
（3）先证明，然后得到，，然后利用勾股定理求出三角形的边长然后计算面积即可．
【小问1详解】
解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
由旋转可得，
∴，
∴，
∴，，
记与的交点为点，则，
∴，
∴，
故答案为：；；
【小问2详解】
成立，理由：由旋转知：，，
，，
，
，
，
，，
∵，
，
；
，，成立；
【小问3详解】
过作垂直延长线于，
由旋转知：，，
，，
，
，
，
，，
中，，，
，，
在，，，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，在抛物线上有一动点，连接，，，．

（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）若点在第一象限的抛物线上，当的面积是时，求的面积；
（3）如图2，连接，点在线段上，过作于点，点在线段上，且，两点关于轴上的某点成中心对称，连接，．试探究线段的长度是否有最小值？如果有请求出这个最小值；若没有请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）有，最小值为．
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）过作轴交于，设，则，表示出，根据面积是，解方程即可求解；
（3）过作轴于，得出直线解析式为，根据题意设，则，在中，勾股定理求得，进而根据二次函数的性质求得最小值，即可求解．
【小问1详解】
解：将，代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为
【小问2详解】
过作轴交于，如图

令，得，
，
直线解析式为，
设，则，
，
，且面积是，
，
解得或，
当时，，，
当时，， ，
的面积是或．
【小问3详解】
过作轴于，如图.

设直线解析式为，
将、代入得：
，解得，
直线解析式为，
，两点关于轴上的某点成中心对称，
设，则，
，，
在中，，
当时，最小值为，故最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数解析式、三角形面积、中心对称、勾股定理等，解题的关键是设点的坐标，用含字母的代数式表示相关的线段长度，列方程解决问题．