人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第一课时课时作业

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A级——基础过关练
1．等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝( )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C．2 D．－2
【答案】C 【解析】∵等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＋a1q3＝20，,a1q2＋a1q4＝40，))解得q＝2.
2．(2023年陕西期末)已知等比数列{an}中，a1＝ eq \f(1,8)，公比q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．±4 B．±8
C．± eq \f(1,4) D．± eq \f(1,8)
【答案】A 【解析】依题意，a4·a8＝(a1q3)·(a1q7)＝(a1q5)2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)×25)) eq \s\up12(2)＝42，故a4与a8的等比中项为±4.
3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
【答案】D 【解析】∵等比数列的每一项都不能为零，∴依题意得a≠0且a≠1.
4．(2021年成都期末)已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为
( )
A．3 B．－3
C．－ eq \f(1,3) D． eq \f(1,3)
【答案】D 【解析】因为在等比数列{an}中，a2·a6＝9a4，a2＝1，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q·a1q5＝9a1q3，,a1q＝1，))由于q>0，所以解方程组得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝3，,a1＝\f(1,3)．))
5．(2022年哈尔滨四模)在等比数列{an}中，a1＝1，a3－a2＝2，则a5＝( )
A．16 B．－1
C．－16或－1 D．16或1
【答案】D 【解析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1，a3－a2＝2，则有q2－q＝2，解得q＝2或q＝－1.若q＝2，则a5＝a1q4＝16；若q＝－1，则a5＝a1q4＝1.故a5＝16或a5＝1.
6．(多选)设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是( )
A．若a1＝1，a5＝4，则a3＝2
B．若a1＋a3>0，则a2＋a4>0
C．若a2>a1，则a3>a2
D．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2
【答案】AD 【解析】由a5＝a1q4，得4＝1×q4，得q2＝2，所以a3＝a1q2＝1×2＝2，因此A正确；若a1＋a3>0，则a2＋a4＝q(a1＋a3)，其正负由q确定，因此B不正确；若a2>a1，则a1(q－1)>0，于是a3－a2＝a1q(q－1)，其正负由q确定，因此C不正确；若a2>a1>0，则a1q>a1>0，可得a1>0，q>1，所以1＋q2>2q，则a1(1＋q2)>2a1q，即a1＋a3>2a2，因此D正确．故选AD.
7．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．8 B．－4 C．2 B．－1
【答案】B 【解析】由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,a2＝bc，,a＋3b＋c＝10，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝2，,c＝8.))
8．已知等比数列{an}为递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，a1＋a3＝5，则a5的值为________．
【答案】16 【解析】设等比数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公比为q，由题意可得a1＋a3＝ eq \f(2,q)＋2q＝5，整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝ eq \f(1,2).因为等比数列{an}为递增数列，则q>1，所以q＝2，a1＝1.因此a5＝a1q4＝16.
9．(2023年南宁期末)在数列{an}中，a1＝3，且对任意正整数n，an－5an＋1＝0，则an＝________.
【答案】3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up12(n－1) 【解析】因为an－5an＋1＝0，所以 eq \f(an＋1,an)＝ eq \f(1,5)，所以{an}是以 eq \f(1,5)为公比的等比数列．又因为a1＝3，所以an＝3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up12(n－1).
10．已知等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝ eq \f(1,2)，求n.
解：设等比数列{an}的公比为q，
因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，
所以 eq \f(a4＋a7,a3＋a6)＝ eq \f(a1q3＋a1q6,a1q2＋a1q5)＝ eq \f(a1q3(1＋q3),a1q2(1＋q3))＝q＝ eq \f(1,2)，
故a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝ eq \f(1,4)a1＋ eq \f(1,32)a1＝36，
解得a1＝27，故an＝27× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)＝28-n.
令28-n＝ eq \f(1,2)＝2-1，解得n＝9.
B级——能力提升练
11．(多选)(2023年漳州期末)在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝ eq \f(8,27)，则( )
A．等比数列{an}的公比为 eq \f(2,3)
B．a1＝－ eq \f(2,3)
C．an＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－2)
D．－ eq \f(16,81)是这个等比数列中的第6项
【答案】ACD 【解析】因为2an＝3an＋1，所以 eq \f(an＋1,an)＝ eq \f(2,3)，故等比数列{an}的公比为 eq \f(2,3)，A正确；由a2·a5＝ eq \f(8,27)，得a1q·a1q4＝ eq \f(8,27)，即a12· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(5)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)，由于数列各项均为负数，则a1＝－ eq \f(3,2)，B错误；an＝－ eq \f(3,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－2)，C正确；设an＝－ eq \f(16,81)，由等比数列的通项公式，得－ eq \f(16,81)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－2)，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－2)，解得n＝6，因此－ eq \f(16,81)是这个等比数列中的第6项，D正确．
12．设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是( )
A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比为 eq \f(1,q)的等比数列
【答案】D 【解析】对于A，由 eq \f(anan＋1,an－1an)＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列，故A错误；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列，故B错误；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列，故C错误；对于D， eq \f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝ eq \f(an,an＋1)＝ eq \f(1,q)，所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比为 eq \f(1,q)的等比数列，故D正确．
13．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于________．
【答案】(－2)n-1 【解析】设公比为q，则a1q4＝－8a1q.因为a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2.又因为a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n-1.
14．若x1，x2是函数f(x)＝x3－mx2＋nx(m>0，n>0)的两个不同的零点，且x1，x2，－3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m＝________，n＝________．
【答案】 eq \f(15,2) 9 【解析】由题意，x1，x2为方程x2－mx＋n＝0的两根，x1＋x2＝m，x1x2＝n，由m>0，n>0，得x1>0，x2>0，不妨设x1