A级——基础过关练
1．(多选)设数列{an}为等比数列，则下面四个数列中，是等比数列的是( )
A．{an2}
B．{pan}(p为非零常数)
C．{an·an＋1}
D．{an＋an＋1}
【答案】ABCD 【解析】A中，∵ eq \f(an＋12,an2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,an))) eq \s\up12(2)＝q2，∴{an2}是等比数列；B中，∵ eq \f(pan＋1,pan)＝ eq \f(an＋1,an)＝q，∴{pan}是等比数列；C中，∵ eq \f(an·an＋1,an－1·an)＝ eq \f(an＋1,an－1)＝q2，∴{an·an＋1}是等比数列；D中，∵ eq \f(an＋an＋1,an－1＋an)＝ eq \f(q(an－1＋an),an－1＋an)＝q，∴{an＋an＋1}是等比数列．
2．已知等比数列{an}中，公比q＝ eq \f(1,2)，a3a5a7＝64，则a4＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D 【解析】由a3a5a7＝a53＝64，得a5＝4.又∵q＝ eq \f(1,2)，∴a4＝ eq \f(a5,q)＝8.
3．(2022年广西模拟)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则 eq \f(1,a1)＋ eq \f(1,a2)＋…＋ eq \f(1,a8)的值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A 【解析】由分数的性质得 eq \f(1,a1)＋ eq \f(1,a2)＋…＋ eq \f(1,a8)＝ eq \f(a8＋a1,a8a1)＋ eq \f(a7＋a2,a7a2)＋…＋ eq \f(a4＋a5,a4a5).∵a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，∴原式＝ eq \f(a1＋a2＋…＋a8,a4a5)＝ eq \f(4,a4a5).又∵a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an>0，∴a4a5＝2，∴ eq \f(1,a1)＋ eq \f(1,a2)＋…＋ eq \f(1,a8)＝2.
4．(2021年驻马店期末)若数列{an}满足 eq \f(1,an＋1)－ eq \f(3,an)＝0(n∈N*)，则称{an}为“梦想数列”．已知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)))为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝2，则b3＋b4＋b5＝( )
A．18 B．16 C．32 D．36
【答案】A 【解析】由 eq \f(1,an＋1)－ eq \f(3,an)＝0，得an＝3an＋1，即“梦想数列”是公比为 eq \f(1,3)的等比数列．若数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)))为“梦想数列”，则 eq \f(1,bn＋1)＝ eq \f(1,3)· eq \f(1,bn)，即bn＋1＝3bn，即数列{bn}是公比为3的等比数列．若b1＋b2＋b3＝2，则b3＋b4＋b5＝9(b1＋b2＋b3)＝18.
5．(2023年福建模拟)已知等比数列{an}中各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a3＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】C 【解析】因为a2a6＝16，由等比数列的性质可得a42＝a2a6＝16.又因为数列{an}各项均为正数，所以a4＝4.因为公比q＝2，所以a3＝ eq \f(a4,q)＝2.故选C.
6．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )
A．4 B．6 C．8 D．－9
【答案】A 【解析】a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a62＋a6a10＝a42＋2a4a8＋a82＝(a4＋a8)2.∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝4.
7．已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－3，下列说法正确的有( )
①数列{3an＋an＋1}是等比数列；②数列{an＋1－an}是等差数列；③数列{anan＋1}是等比数列；④数列{lg3|an|}是等差数列．
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】D 【解析】等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－3，3an＋an＋1＝3[(－3)n-1]＋(－3)n＝[(－1)n-1＋(－1)n]·3n＝0，∴数列{3an＋an＋1}是由0构成的常数列，不是等比数列，故①错误；an＋1－an＝(－3)n－(－3)n-1＝ eq \f(4,3)·(－3)n，是等比数列，故②错误；anan＋1＝(－3)n-1·(－3)n＝(－3)2n-1，是等比数列，故③正确；lg3|an|＝lg3|(－3)n-1|＝n－1，是等差数列，故④正确．故选D.
8．(2023年湖北模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为________．
【答案】3 【解析】a9＋a11＋a13＋a15＝(a5＋a7)q4＋(a5＋a7)q8＝(a5＋a7)(q4＋q8).又因为 eq \f(a5＋a7,a1＋a3)＝ eq \f((a1＋a3)q4,a1＋a3)＝q4＝ eq \f(4,8)＝ eq \f(1,2)，故q8＝(q4)2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,4).故a9＋a11＋a13＋a15＝(a5＋a7)(q4＋q8)＝4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,4)))＝3.
9．(2023年湖北期末)已知数列{an}为正项等比数列，且a7＝ eq \r(2)，则lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋…＋lg2a13＝________．
【答案】 eq \f(13,2) 【解析】数列{an}为正项等比数列，a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a72.lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋…＋lg2a13＝lg2(a1a2…a13)＝lg2a713＝13lg2a7＝ eq \f(13,2).
10．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．
解：设这四个数为 eq \f(a,q)，a，aq，2aq－a，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,q)·a·aq＝216①，,a＋aq＋(2aq－a)＝36②，))
由①，得a3＝216，a＝6③，
将②变形得3aq＝36，将③代入此式得q＝2，
所以这四个数为3，6，12，18.
B级——能力提升练
11．已知等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则( )
A．a5＋a7＞a4＋a8
B．a5＋a7＜a4＋a8
C．a5＋a7＝a4＋a8
D．|a5＋a7|＞|a4＋a8|
【答案】A 【解析】∵a6＜0，q＞0，∴a5，a7，a4，a8都是负数，∴a5＋a7－a4－a8＝a4(q－1)＋a7(1－q)＝(q－1)·(a4－a7).若0＜q＜1，则q－1＜0，a4－a7＜0，则有a5＋a7－a4－a8＞0；若q＞1，则q－1＞0，a4－a7＞0，则有a5＋a7－a4－a8＞0，∴a5＋a7＞a4＋a8.
12．(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＋a5＝ eq \f(1,a1)＋ eq \f(1,a5)＝ eq \f(5,2)，则下列结论正确的是( )
A．a2a4＝1 B．a2＋a4＝ eq \f(3\r(2),2)
C．q＝2或 eq \f(1,2) D．a1＝2或 eq \f(1,2)
【答案】ABD 【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a5＝ eq \f(1,a1)＋ eq \f(1,a5)＝ eq \f(5,2)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a5＝\f(5,2)，,a1a5＝1，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,a5＝\f(1,2)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,2)，,a5＝2，))即2×q4＝ eq \f(1,2)或 eq \f(1,2)×q4＝2，所以解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q2＝\f(1,2)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,2)，,q2＝2，))所以选项C错误，选项D正确；因为等比数列{an}的各项均为正数，所以a2a4＝a1a5＝1，选项A正确；a2＋a4＝a1q＋a1q3＝ eq \f(3\r(2),2)，选项B正确．故选ABD.
13．(2022年焦作四模)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是________．
【答案】 eq \f(25,4) 【解析】由题意利用等比数列的性质知，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝a62＋2a6a8＋a82＝(a6＋a8)2＝25.又因为an＞0，所以a6＋a8＝5，所以a1a13＝a6a8≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a6＋a8,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(25,4)，当且仅当a6＝a8＝ eq \f(5,2)时取等号．
14．已知四个实数－9，a1，a2，－1成等差数列，五个实数－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则b1b3＝________，b2(a2－a1)＝________．
【答案】9 －8 【解析】∵－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(b1b3＝b22＝－9×(－1)，,b2<0，))))∴b1b3＝9，b2＝－3.∵－9，a1，a2，－1成等差数列，∴a2－a1＝ eq \f(－1－(－9),4－1)＝ eq \f(8,3)，∴b2(a2－a1)＝－3× eq \f(8,3)＝－8.
15．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?
解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－ eq \f(1,a).
设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n＋1)次后溶液的浓度为an＋1＝an eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))，
∴{an}是以a1＝1－ eq \f(1,a)为首项，q＝1－ eq \f(1,a)为公比的等比数列，
∴an＝a1qn-1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a))) eq \s\up12(n)，
即第n次操作后酒精的浓度是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a))) eq \s\up12(n).
当a＝2时，由an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)< eq \f(1,10)(n∈N*)，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.