A级——基础过关练
1．数列{2n-1}的前10项和为( )
A．211－1 B．1－211
C．210－1 D．1－210
【答案】C 【解析】数列{2n-1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前10项和为S10＝ eq \f(1－210,1－2)＝210－1.
2．(2023年河北月考)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则 eq \f(Sn,an)＝
( )
A．2n－1 B．2－21-n
C．2－2n-1 D．21-n－1
【答案】B 【解析】设等比数列{an}的公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24，可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q4－a1q2＝12，,a1q5－a1q3＝24，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝2，,a1＝1，))所以an＝a1qn-1＝2n-1，Sn＝ eq \f(a1(1－qn),1－q)＝ eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1，因此 eq \f(Sn,an)＝ eq \f(2n－1,2n-1)＝2－21-n.故选B.
3．(2021年衡水模拟)有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为( )
A．35 B．75
C．155 D．315
【答案】C 【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则a1＝5，q＝2，∴前5天所屠肉的总两数为S5＝ eq \f(a1(1－q5),1－q)＝ eq \f(5×(1－25),1－2)＝155.
4．(2022年临汾期末)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2＝1，S4＝3，则S6＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B 【解析】根据题意，在等比数列{an}中，有(S4－S2)2＝S2×(S6－S4)，即(3－1)2＝(S6－3)×1，解得S6＝7.故选B.
5．(2022年安徽开学考试)已知正项数列{an}满足：∀m，n∈N*，am·an＝am＋n，若a4＝4，则数列{a2n}的前2 022项和为( )
A．22 022－2 B．22 023－2
C．21 011－2 D．21 012－2
【答案】B 【解析】由题意得，a2·a2＝a4，∵an>0，∴a2＝2.令m＝2，则由am·an＝am＋n可得2an＝an＋2，2a2n＝a2n＋2＝a2(n＋1)，故数列{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则数列{a2n}的前2 022项和为 eq \f(2×(1－22 022),1－2)＝22 023－2.故选B.
6．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a5a10＝8a9，且a3＝1，则S5＝( )
A．96 B． eq \f(31,4)
C．72 D．－72
【答案】B 【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a5a10＝a6a9＝8a9，且由题意可知a9≠0，所以a6＝8.因为q3＝ eq \f(a6,a3)＝8，解得q＝2，所以a1＝ eq \f(a3,q2)＝ eq \f(1,4)，故S5＝ eq \f(\f(1,4)(1－25),1－2)＝ eq \f(31,4).故选B.
7．(多选)(2022年海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则( )
A．q＝2 B．an＝2n
C．S10＝2 047 D．an＋an＋1【答案】ABD 【解析】由a4＝2a2＋a3，a1＝2，得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，A正确；an＝2×2n-1＝2n，B正确；S10＝ eq \f(2×(1－210),1－2)＝2 046，C错误；根据B可知an＝2n，则an＋an＋1＝2n＋2n+1＝3×2n，而an＋2＝2n+2＝4×2n，故an＋2>an＋an＋1，D正确．
8．(2022年重庆期末)在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝128，若数列{bn}满足bn＝lg2an，则数列{bn}的前20项和为________．
【答案】400 【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q＝ eq \r(3,\f(a4,a1))＝4，an＝a1qn-1＝2×4n-1＝22n-1，故bn＝lg2an＝2n－1，bn＋1－bn＝2(n＋1)－1－(2n－1)＝2，数列{bn}为等差数列，故数列{bn}的前20项和为S20＝20× eq \f(1＋2×20－1,2)＝400.
9．在等比数列{an}中，8a2＋a5＝0，Sn为{an}的前n项和，则 eq \f(S5,S2)＝________．
【答案】－11 【解析】设{an}公比为q，由8a2＋a5＝0可得8a1q＋a1q4＝0.易知a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，解得q＝－2.所以S5＝ eq \f(a1[1－(－2)5],1－(－2))＝11a1，S2＝ eq \f(a1×[1－(－2)2],1－(－2))＝－a1，所以 eq \f(S5,S2)＝ eq \f(11a1,－a1)＝－11.
10．(2022年合肥模拟)设{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且a2＝2，S2－3a1＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若Sn＋an＞48，求n的最小值．
解：(1)根据题意，设{an}的公比为q，
因为S2－3a1＝0，即(a1＋a2)－3a1＝0，即a2－2a1＝0，
则有q＝ eq \f(a2,a1)＝2.又因为a2＝2，则a1＝1，
则有an＝a1qn-1＝2n-1.
(2)由(1)知a1＝1，q＝2，得Sn＝ eq \f(a1(1－qn),1－q)＝2n－1，
则有Sn＋an＝2n－1＋2n-1＝3×2n-1－1.
若Sn＋an＞48，则有3×2n-1－1＞48，即2n-1＞ eq \f(49,3).
由n∈N*，得n≥6，所以n的最小值为6.
B级——能力提升练
11．(2021年厦门期中)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】C 【解析】∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，∴a1＝S1＝2λ＋(λ－3)×2＝4λ－6，a2＝S2－S1＝2λ＋(λ－3)·22－(4λ－6)＝2λ－6，a3＝S3－S2＝2λ＋(λ－3)·23－[2λ＋(λ－3)·22]＝4λ－12.∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22＝a1a2，即(2λ－6)2＝(4λ－6)(4λ－12)，解得λ＝1或λ＝3.∵当λ＝3时，Sn＝6是常数，不成立，故λ＝1.
12．(多选)(2022年济宁模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”其大意是：“有个人要去某关口，路程为三百七十八里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．”则下列说法正确的是( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的 eq \f(1,8)
D．此人后三天共走了四十二里路
【答案】ABD 【解析】设此人第n天走an里路，则{an}是公比为 eq \f(1,2)的等比数列．由S6＝ eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192.a2＝192× eq \f(1,2)＝96，∴此人第二天走了九十六里路，故A正确.378－192＝186，192－186＝6，∴此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故B正确．a3＝192× eq \f(1,4)＝48， eq \f(48,378)> eq \f(1,8)，故C错误．a4＋a5＋a6＝192× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)＋\f(1,16)＋\f(1,32)))＝42，故D正确．
13．(2022年郑州一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且 eq \f(S6,3S3)＝ eq \f(3,8)，则 eq \f(2a6,a5＋a4)＝________．
【答案】 eq \f(1,3) 【解析】∵在等比数列{an}中， eq \f(S6,3S3)＝ eq \f(3,8)，显然q≠1，∴ eq \f(a1(1－q6),1－q)＝ eq \f(9,8)· eq \f(a1(1－q3),1－q)，得1＋q3＝ eq \f(9,8)，∴q＝ eq \f(1,2)， eq \f(2a6,a5＋a4)＝ eq \f(2a1q5,a1(q4＋q3))＝ eq \f(2q2,1＋q)＝ eq \f(1,3).
14．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128且前n项和Sn＝126，则该数列的项数n＝________，公比q＝________．
【答案】6 2或 eq \f(1,2) 【解析】根据等比数列的性质，a1·an＝a2·an－1＝128.又因为a1＋an＝66，所以不妨将a1，an看作一元二次方程x2－66x＋128＝0的两实数根，解得x1＝2，x2＝64，即a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.若a1＝2，an＝64，由 eq \f(a1－anq,1－q)＝126，得2－64q＝126－126q，解得q＝2.由an＝a1qn-1，得2n-1＝32.所以n＝6.若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝ eq \f(1,2)，n＝6.综上，n的值为6，公比为2或 eq \f(1,2).
15．(2022年重庆预测)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足2Sn＝3an－n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求证： eq \f(1,a1)＋ eq \f(1,a2)＋…＋ eq \f(1,an)< eq \f(3,2).
(1)解：∵2Sn＝3an－n，∴2Sn＋1＝3an＋1－n－1，
∴a1＝1，an＋1＝3an＋1，n∈N*，
∴an＋1＋ eq \f(1,2)＝3an＋1＋ eq \f(1,2)＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))，
则 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))是首项为a1＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2)，公比为3的等比数列，
∴an＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(3n,2)，即an＝ eq \f(3n－1,2).
(2)证明：要证明 eq \f(1,a1)＋ eq \f(1,a2)＋…＋ eq \f(1,an)＜ eq \f(3,2)，
即证明 eq \f(2,3－1)＋ eq \f(2,32－1)＋…＋ eq \f(2,3n－1)< eq \f(3,2)，
∵ eq \f(2,3n－1)＝ eq \f(2,3n)· eq \f(3n,3n－1)＝ eq \f(2,3n)· eq \f(1,1－\f(1,3n))≤ eq \f(2,3n)· eq \f(1,1－\f(1,3))＝ eq \f(1,3n-1)，
∴ eq \f(2,3－1)＋ eq \f(2,32－1)＋…＋ eq \f(2,3n－1)≤1＋ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,32)＋…＋ eq \f(1,3n-1)＝ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n)))＜ eq \f(3,2).