A级——基础过关练
1．函数f(x)＝sin2x的导数是( )
A．2sinx B．2sin2x
C．2cs x D．sin 2x
【答案】D 【解析】y＝sin2x写成y＝u2，u＝sinx的形式．对外层函数求导为y′＝2u，对内层函数求导为u′＝cs x，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2u csx＝2sin x cs x＝sin 2x.故选D.
2．已知函数y＝cs (ln x)，则y′＝( )
A．－sin(ln x) B． eq \f(sin(ln x),x)
C．－ eq \f(sin(ln x),x) D． eq \f(cs(ln x),x)
【答案】C 【解析】y＝cs(ln x)写成y＝cs u，u＝ln x，y′＝－sin u，u′＝ eq \f(1,x)，故可以得到y′＝ eq \f(－sin(ln x),x).故选C.
3．已知函数f(x)＝ eq \f(sin 2x,x)，则f′(x)＝( )
A． eq \f(x cs 2x－sin 2x,x2) B． eq \f(x cs 2x＋sin 2x,x2)
C． eq \f(2x cs 2x－sin 2x,x2) D． eq \f(2x cs 2x＋sin 2x,x2)
【答案】C 【解析】因为f(x)＝ eq \f(sin 2x,x)，所以f′(x)＝ eq \f((sin 2x)′x－sin 2x·x′,x2)＝ eq \f(2x cs 2x－sin 2x,x2).故选C.
4．(2022年南京期末)已知f(x)＝ eq \r(2x＋1)＋e－x，则f′(0)＝( )
A．0 B．2 C． eq \f(3,2)D．－ eq \f(1,2)
【答案】A 【解析】∵f′(x)＝ eq \f(1,2)(2x＋1)－ eq \f(1,2)×2＋e－x×(－1)＝ eq \f(1,\r(2x＋1))－ eq \f(1,ex)，∴f′(0)＝1－1＝0.故选A.
5．(2023年陕西模拟预测)已知函数f(x)＝ex－sin 2x，则f(x)在(0，f(0))处的切线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
【答案】B 【解析】因为f(x)＝ex－sin 2x，所以f(0)＝e0－sin 0＝1，f′(x)＝ex－2cs 2x，所以f′(0)＝e0－2cs 0＝－1，切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0.
6．(多选)设函数f(x)＝cs ( eq \r(3)x＋φ)(0<φ<2π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ的可能取值为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(5π,6)C． eq \f(7π,6) D． eq \f(11π,6)
【答案】AC 【解析】f′(x)＝－ eq \r(3)sin ( eq \r(3)x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cs ( eq \r(3)x＋φ)－ eq \r(3)sin ( eq \r(3)x＋φ)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋φ＋\f(5π,6))).若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(5π,6)))，因此φ＋ eq \f(5π,6)＝kπ(k∈Z).又因为φ∈(0，2π)，所以φ＝ eq \f(π,6)或φ＝ eq \f(7π,6).
7．(2023年新疆模拟)函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))在x＝ eq \f(π,4)处的切线与坐标轴围成的封闭三角形的面积为__________．
【答案】 eq \f(π2,16) 【解析】∵f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－cs 2x，∴f′(x)＝2sin 2x，∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝2sin eq \f(π,2)＝2，即切线的斜率为2.又∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－cs eq \f(π,2)＝0，即切点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0)).根据导数几何意义，得切线方程为y－0＝2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，即y＝2x－ eq \f(π,2)，切线与x轴的交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))，与y轴的交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(π,2))).所以围成三角形的面积为 eq \f(1,2)× eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))× eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝ eq \f(π2,16).
8．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)在x＝e处的导数为 eq \f(1,e2)，则f′(1)＝________．
【答案】 eq \f(1,e) 【解析】设g(x)＝f(ln x)，由复合函数的求导法则可得g′(x)＝ eq \f(1,x)f′(ln x).由题意可得g′(e)＝ eq \f(1,e)f′(1)＝ eq \f(1,e2)，解得f′(1)＝ eq \f(1,e).
9．(2023年安徽期末)设曲线y＝eax－x－1在点(0，0)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝__________．
【答案】3 【解析】由y＝eax－x－1，可得y′＝aeax－1，所以y′|x＝0＝a－1，由题意知，(a－1)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，所以a＝3.
10．求下列函数的导数．
(1)y＝e2x+1；
(2)y＝ eq \f(1,(2x－1)3)；
(3)y＝5lg2(1－x)；
(4)y＝sin3x＋sin3x.
解：(1)函数y＝e2x+1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x+1.
(2)函数y＝ eq \f(1,(2x－1)3)可看作函数y＝u-3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u-3)′(2x－1)′＝－6u-4＝－6(2x－1)-4＝－ eq \f(6,(2x－1)4).
(3)函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5lg2u)′·(1－x)′＝－ eq \f(5,u ln 2)＝ eq \f(5,(x－1)ln 2).
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数，
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cs x＋3cs v＝3sin2x csx＋3cs 3x.
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)，则f′(1)＝( )
A．1 B．－1 C．2 D．3
【答案】B 【解析】因为f(x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)，所以f′(x)＝ eq \f(2,2x－1)＋3f′(1)，令x＝1，可得f′(1)＝ eq \f(2,2×1－1)＋3f′(1)，解得f′(1)＝－1.
12．(多选)若直线y＝ eq \f(1,2)x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，则曲线y＝f(x)可以是( )
A．f(x)＝x3＋2x2＋8B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝xexD．f(x)＝ln eq \f(1,2x＋1)
【答案】AC 【解析】因为直线y＝ eq \f(1,2)x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，直线的斜率为 eq \f(1,2)，所以y＝f(x)在某点处的导数值为 eq \f(1,2).由f(x)＝x3＋2x2＋8，可得f′(x)＝3x2＋4x，令f′(x)＝3x2＋4x＝ eq \f(1,2)，即6x2＋8x－1＝0，因为Δ＝82－4×6×(－1)>0，所以f′(x)＝ eq \f(1,2)有解，故选项A正确；由f(x)＝tan x，可得f′(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝ eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＝ eq \f(1,cs2x)，令f′(x)＝ eq \f(1,cs2x)＝ eq \f(1,2)，可得cs2x＝2无解，故选项B不正确；由f(x)＝xex，可得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝ eq \f(1,2)，即2x＋2＝e－x，作出y＝2x＋2和y＝e－x的图象如下．
所以f′(x)＝ eq \f(1,2)有解，故选项C正确；由2x＋1>0，可得x>－ eq \f(1,2)，所以f(x)＝ln eq \f(1,2x＋1)的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))，由f(x)＝ln eq \f(1,2x＋1)，可得f′(x)＝－ eq \f(2,2x＋1)，令f′(x)＝－ eq \f(2,2x＋1)＝ eq \f(1,2)，可得x＝－ eq \f(5,2)，不满足x>－ eq \f(1,2)，所以f′(x)＝－ eq \f(2,2x＋1)＝ eq \f(1,2)无解，故选项D不正确．故选AC.
13．已知函数f(x)＝xex－a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝________．
【答案】－2 【解析】由题得y′＝(x＋1)ex－a，所以y′x＝a＝a＋1＝3，所以a＝2，所以f(x)＝xex-2，所以f(2)＝2×e2-2＝2，所以切点为(2，2)，将点(2，2)代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.
14．(2022年济宁期中)已知函数f(x)＝ eq \f(ln x,2x＋a)且f′(1)＝ eq \f(1,2)，则a＝________，曲线y＝f(x)在x＝e处的切线斜率为________．
【答案】0 0 【解析】由f(x)＝ eq \f(ln x,2x＋a)，得f′(x)＝ eq \f(\f(1,x)·(2x＋a)－2ln x,(2x＋a)2)＝ eq \f(2＋\f(a,x)－2ln x,(2x＋a)2).∵f′(1)＝ eq \f(1,2)，∴ eq \f(2＋a,(2＋a)2)＝ eq \f(1,2)，得a＝0，∴f(x)＝ eq \f(ln x,2x)，f′(x)＝ eq \f(2－2ln x,4x2)＝ eq \f(1－ln x,2x2)，则f′(e)＝ eq \f(1－ln e,2e2)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝e处的切线斜率为0.
15．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1.又因为f(2)＝－2，
所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
因为f′(x)＝3x2－8x＋5，
所以切线方程为y－(x03－4x02＋5x0－4)＝(3x02－8x0＋5)·(x－x0)，
即y＝－2x03＋3x02x－8x0x＋4x02＋5x－4.
因为点(2，－2)在切线上，所以－2＝6x02－2x03－16x0＋4x02＋6.
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1.
当x0＝2时，f′(x0)＝1，此时所求切线方程为x－y－4＝0；
当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0.
故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.