数学必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课时训练

这是一份数学必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课时训练，共4页。试卷主要包含了下列说法正确的是，给出四个条件等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示是( )
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥95，,y≥380，,z＞45))B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥95，,y＞380，,z≥45))
C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞95，,y＞380，,z＞45))D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥95，,y＞380，,z＞45))
【答案】D
【解析】由题中x不低于95，即x≥95；y高于380，即y＞380；z超过45，即z＞45．
2．下列说法正确的是( )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若 eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)，则a＜b
C．若b＞c，则|a|b≥|a|cD．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
【答案】C
【解析】A项，a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项，不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项，|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项，同向不等式不能相减．
3．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＜y2B．y1＝y2
C．y1＞y2D．随x值变化而变化
【答案】C
【解析】y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以y1＞y2．故选C．
4．已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞NB．M＜N
C．M＝ND．M≥N
【答案】A
【解析】因为0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)＞0，所以M＞N．
5．设实数a＝ eq \r(5)－ eq \r(3)，b＝ eq \r(3)－1，c＝ eq \r(7)－ eq \r(5)，则( )
A．b＞a＞cB．c＞b＞a
C．a＞b＞cD．c＞a＞b
【答案】A
【解析】 eq \r(5)－ eq \r(3)＝ eq \f(2,\r(5)＋\r(3))， eq \r(3)－1＝ eq \f(2,\r(3)＋1)， eq \r(7)－ eq \r(5)＝ eq \f(2,\r(7)＋\r(5))．∵ eq \r(3)＋1＜ eq \r(3)＋ eq \r(5)＜ eq \r(5)＋ eq \r(7)，∴ eq \f(2,\r(3)＋1)＞ eq \f(2,\r(5)＋\r(3))＞ eq \f(2,\r(7)＋\r(5))，即b＞a＞c．
6．(多选)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：①ad＞bc；② eq \f(a,d)＋ eq \f(b,c)＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)．其中能成立的有( )
A．①B．②
C．③D．④
【答案】BCD
【解析】因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，所以①错误；因为a＞0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd＜0，所以 eq \f(a,d)＋ eq \f(b,c)＝ eq \f(ac＋bd,cd)＜0，所以②正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，所以③正确；因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，所以④正确．
7．设0＜α＜ eq \f(π,2)，0≤β≤ eq \f(π,2)，则2α－ eq \f(β,3)的取值范围是( )
A．0＜2α－ eq \f(β,3)＜ eq \f(5π,6)B．－ eq \f(π,6)＜2α－ eq \f(β,3)＜ eq \f(5π,6)
C．0＜2α－ eq \f(β,3)＜πD．－ eq \f(π,6)＜2α－ eq \f(β,3)＜π
【答案】D
【解析】由已知，得0＜2α＜π，0≤ eq \f(β,3)≤ eq \f(π,6)，所以－ eq \f(π,6)≤－ eq \f(β,3)≤0．由同向不等式相加，得－ eq \f(π,6)＜2α－ eq \f(β,3)＜π．
8．给出四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0．能推得 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)成立的是________．(填序号)
【答案】①②④
【解析】 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b) eq \f(b－a,ab)＜0，所以①②④能使它成立．
9．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为____________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________．
【答案】8(x＋19)＞2 200 8x＞9(x－12)
【解析】①原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km．则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x＋19)＞2 200．
②若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x＞9(x－12)．
10．已知60＜x＜84，28＜y＜33，则x－y的取值范围为______________， eq \f(x,y)的取值范围为____________．
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((x－y)|27＜x－y＜56)) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(20,11)))＜\f(x,y)＜3))
【解析】因为28＜y＜33，所以－33＜－y＜－28， eq \f(1,33)＜ eq \f(1,y)＜ eq \f(1,28)．又因为60＜x＜84，所以27＜x－y＜56， eq \f(60,33)＜ eq \f(x,y)＜ eq \f(84,28)，即 eq \f(20,11)＜ eq \f(x,y)＜3．
B级——能力提升练
11．已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b≥b＋cB．ac＞bc
C．(a－b)c2≥0D． eq \f(c2,a－b) ＞0
【答案】C
【解析】a与c的关系不确定，A错误；c的符号不确定，B错误；因为a＞b，所以a－b＞0，且c2≥0，所以(a－b)c2≥0，C正确；当c2＝0时， eq \f(c2,a－b)＝0，D错误．故选C．
12．若p＝ eq \r(a＋2)＋ eq \r(a＋5)，q＝ eq \r(a＋3)＋ eq \r(a＋4)，a≥0，则p，q的大小关系是( )
A．p＜qB．p＞q
C．p＝qD．由a的取值确定
【答案】A
【解析】因为p＝ eq \r(a＋2)＋ eq \r(a＋5)，所以p2＝2a＋7＋2 eq \r((a＋2)(a＋5))，因为q＝ eq \r(a＋3)＋ eq \r(a＋4)，则q2＝2a＋7＋2 eq \r((a＋3)(a＋4))．因为(a＋3)(a＋4)－(a＋2)(a＋5)＝12－10＝2＞0，所以p＜q．
13．(多选)设a，b为正实数，现有下列命题，其中真命题的有( )
A．若a2－b2＝1，则a－b＜1B．若 eq \f(1,b)－ eq \f(1,a)＝1，则a－b＜1
C．若| eq \r(a)－ eq \r(b)|＝1，则|a－b|＜1D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1
【答案】AD
【解析】若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即(a＋1)(a－1)＝b2，因为a＋1＞a－1，所以a－1＜b＜a＋1，即a－b＜1，A正确；若 eq \f(1,b)－ eq \f(1,a)＝1，可取a＝7，b＝ eq \f(7,8)，则a－b＞1，B错误；若| eq \r(a)－ eq \r(b)|＝1，可取a＝9，b＝4，则|a－b|＝5＞1，C错误；由|a3－b3|＝1，若a＞b＞0，则a3－b3＝1，即(a－1)(a2＋a＋1)＝b3，因为a2＋1＋a＞b2，所以a－1＜b，即a－b＜1．若0＜a＜b，则b3－a3＝1，即(b－1)(b2＋1＋b)＝a3，因为b2＋1＋b＞a2，所以b－1＜a，即b－a＜1，所以|a－b|＜1，D正确．故选AD．
14．(2023年长春期中)某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前一半路程以速度a匀速跑，后一半路程以速度b匀速跑．若a≠b，则________(填“甲”或“乙”)先到达终点．
【答案】甲
【解析】由题意可知对于选手甲， eq \f(T,2)a＋ eq \f(T,2)b＝S，则T＝ eq \f(2S,a＋b)，a≠b，设选手乙总共用时T′，则对于选手乙， eq \f(\f(S,2),a)＋ eq \f(\f(S,2),b)＝T′，则T′＝ eq \f(Sa＋Sb,2ab)，T－T′＝ eq \f(2S,a＋b)－ eq \f(Sa＋Sb,2ab)＝ eq \f(4Sab－S(a＋b)2,2ab(a＋b))＝ eq \f(S[4ab－(a＋b)2],2ab(a＋b))＝ eq \f(－S(a－b)2,2ab(a＋b))＜0，即T＜T′，即甲先到达终点．
15．(2023年北京一模)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
【答案】－2，－1，0(答案不唯一)
【解析】若a＜b，当c＞0时，ac＜bc；当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＞bc．“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为－2，－1，0．