高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式测试题，共5页。试卷主要包含了下列不等式中，正确的是，故选A等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋ eq \f(4,a)≥4B．a2＋b2≥4ab
C． eq \r(ab)≥ eq \f(a＋b,2)D．x2＋ eq \f(3,x2)≥2 eq \r(3)
【答案】D
【解析】若a＜0，则a＋ eq \f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则 eq \r(ab)＜ eq \f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．若0≤x≤6，则 eq \r(x(8－x))的最大值为( )
A． eq \f(16,3)B．4
C． eq \f(4\r(3),3)D． eq \r(5)
【答案】B
【解析】因为0≤x≤6，所以8－x＞0，所以 eq \r(x(8－x))≤ eq \f(x＋(8－x),2)＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．故所求最大值为4．
3．当x≥3时，x＋ eq \f(4,x－1)的最小值为( )
A．5B．4
C． eq \f(11,2)D． eq \f(16,3)
【答案】A
【解析】x＋ eq \f(4,x－1)＝x－1＋ eq \f(4,x－1)＋1，令t＝x－1，∵x≥3，所以t≥2，所以原式y＝t＋ eq \f(4,t)＋1≥5，当且仅当t＝2时，等号成立，所以x＋ eq \f(4,x－1)≥5．故选A．
4．(多选)已知实数a，b，下列不等式一定正确的有( )
A． eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)B．a＋ eq \f(1,a)≥2
C． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(b,a)))≥2D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2
【答案】CD
【解析】当a＜0，b＜0时， eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)不成立；当a＜0，时，a＋ eq \f(1,a)≥2不成立；因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(b,a)))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．
5．若实数a，b满足 eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)＝ eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A． eq \r(2)B．2
C．2 eq \r(2)D．4
【答案】C
【解析】由 eq \r(ab)＝ eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(2,ab))，得ab≥2 eq \r(2)，当且仅当 eq \f(1,a)＝ eq \f(2,b)时取“＝”．
6．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 mB．6.8 m
C．7 mD．7.2 m
【答案】C
【解析】设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则 eq \f(1,2)ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋ eq \r(a2＋b2)≥2 eq \r(ab)＋ eq \r(2ab)＝4＋2 eq \r(2)≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．
7．“ab＜ eq \f(a2＋b2,2)”是“a＞b＞0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜ eq \f(a2＋b2,2)⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．
8．设x＞0，则函数y＝x＋ eq \f(2,2x＋1)－ eq \f(3,2)的最小值为________．
【答案】0
【解析】y＝x＋ eq \f(2,2x＋1)－ eq \f(3,2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋ eq \f(1,x＋\f(1,2))－2≥2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，当且仅当x＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,x＋\f(1,2))，即x＝ eq \f(1,2)时等号成立．所以函数的最小值为0．
9． eq \r((3－a)(a＋6))(－6≤a≤3)的最大值为________．
【答案】 eq \f(9,2)
【解析】因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知 eq \r((3－a)(a＋6))≤ eq \f((3－a)＋(a＋6),2)＝ eq \f(9,2)，当且仅当a＝－ eq \f(3,2)时，等号成立．
10．设a，b，c都是正数，求证： eq \f(b＋c,a)＋ eq \f(c＋a,b)＋ eq \f(a＋b,c)≥6．
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以 eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2， eq \f(c,a)＋ eq \f(a,c)≥2， eq \f(c,b)＋ eq \f(b,c)≥2，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥6，当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(a,b)， eq \f(c,a)＝ eq \f(a,c)， eq \f(c,b)＝ eq \f(b,c)，即a＝b＝c时，等号成立，
所以 eq \f(b＋c,a)＋ eq \f(c＋a,b)＋ eq \f(a＋b,c)≥6．
B级——能力提升练
11．已知不等式(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2B．4
C．6D．8
【答案】B
【解析】不等式(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋ eq \f(ax,y)＋ eq \f(y,x)≥1＋a＋2 eq \r(\f(ax,y)·\f(y,x))＝1＋a＋2 eq \r(a)＝(1＋ eq \r(a))2≥9，所以 eq \r(a)≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4．
12．(2023年芜湖期末)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且OF⊥AB，点C在直径AB上运动，作CD⊥AB交半圆O于点D．设AC＝a，BC＝b，则由FC≥CD可以直接证明的不等式为( )
A． eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)(a＞0，b＞0)B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C． eq \f(2ab,a＋b)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)D． eq \r(ab)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)
【答案】D
【解析】因为AC＝a，BC＝b，所以OF＝ eq \f(a＋b,2)，OC＝ eq \f(a＋b,2)－b＝ eq \f(a－b,2)，所以CF＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))\s\up12(2))＝ eq \r(\f(a2＋b2,2))，易得∠ADB＝90°．由射影定理，得CD2＝CA·CB＝ab，所以CD＝ eq \r(ab)．由FC≥CD可得 eq \r(\f(a2＋b2,2))≥ eq \r(ab)(a＞0，b＞0)．故选D．
13．(2023年嘉祥期末)若实数x＞1，y＞1，且x＋2y＝5，则 eq \f(1,x－1)＋ eq \f(1,y－1)的最小值为________．
【答案】 eq \f(3,2)＋ eq \r(2)
【解析】因为实数x＞1，y＞1，且x＋2y＝5，则(x－1)＋2(y－1)＝2，所以 eq \f(1,x－1)＋ eq \f(1,y－1)＝ eq \f(1,2)[(x－1)＋2(y－1)] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)＋\f(1,y－1)))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3＋\f(x－1,y－1)＋\f(2(y－1),x－1)))≥ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3＋2\r(\f(x－1,y－1)·\f(2(y－1),x－1))))＝ eq \f(3,2)＋ eq \r(2)，当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝\r(2)(y－1)，,(x－1)＋2(y－1)＝2，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2\r(2)－1，,y＝3－\r(2)))时，等号成立，因此 eq \f(1,x－1)＋ eq \f(1,y－1)的最小值为 eq \f(3,2)＋ eq \r(2)．
14．(2023年邢台模拟)已知a＞0，b＞0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________．
【答案】2 eq \r(2)
【解析】因为ab＝a－b＋3，解得b＝ eq \f(a＋3,a＋1)＝1＋ eq \f(2,a＋1)，则a＋b＝a＋1＋ eq \f(2,a＋1)≥2 eq \r(2)，当且仅当a＝ eq \r(2)－1，b＝ eq \r(2)＋1时取等号．
15．(2023年烟台芝罘区月考)已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由题意知x，y为正数，
xy－8＝4x＋y≥2 eq \r(4xy)＝4 eq \r(xy)，当且仅当4x＝y，即x＝1＋ eq \r(3)，y＝4＋4 eq \r(3)时等号成立，
则( eq \r(xy))2－4 eq \r(xy)－8≥0，解得 eq \r(xy)≥2＋2 eq \r(3)或 eq \r(xy)≤2－2 eq \r(3)(舍去)，
所以xy≥(2＋2 eq \r(3))2＝16＋8 eq \r(3)，即xy的最小值为16＋8 eq \r(3)．
(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝ eq \f(y＋8,y－4)，
因为x＞0，y＞0，
所以y＞4，则x＋y＝ eq \f(y＋8,y－4)＋y＝y＋ eq \f(12,y－4)＋1＝(y－4)＋ eq \f(12,y－4)＋5．
因为y＞4，y－4＞0， eq \f(12,y－4)＞0，(y－4)＋ eq \f(12,y－4)＋5≥4 eq \r(3)＋5，即x＋y≥4 eq \r(3)＋5，当且仅当y－4＝ eq \f(12,y－4)，即y＝4＋2 eq \r(3)时等号成立．
所以x＋y的最小值为5＋4 eq \r(3)．