数学必修 第一册4.2 指数函数第二课时课后测评

这是一份数学必修 第一册4.2 指数函数第二课时课后测评，共6页。试卷主要包含了下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83
C．π2＜π eq \r(2)D．0.90.3＞0.90.5
【答案】D
【解析】因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，所以0.90.3＞0.90.5．
2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
【答案】B
【解析】由已知得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜ eq \f(1,2)，即实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))．
3．函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x2)－2的单调递减区间为( )
A．(－∞，0]B．[0，＋∞)
C．(－∞， eq \r(2) ]D．[ eq \r(2)，＋∞)
【答案】B
【解析】函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(u)在R上为减函数，欲求函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x2)－2的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．
4．(2023年张家口期末)设a＝0.30.3，b＝0.40.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜bB．a＜c＜b
C．b＜c＜aD．c＜b＜a
【答案】A
【解析】因为函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，所以0.30.3＜0.40.3，即a＜b．因为函数y＝0.3x为减函数，所以0.30.4＜0.30.3，即c＜a．综上，c＜a＜b．故选A．
5．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的有( )
A．2x≥2yB． eq \f(x＋y,2)≥ eq \r(xy)
C．x2≥y2D．x3≥y3
【答案】AD
【解析】由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确；当0＞x≥y时， eq \f(x＋y,2)≥ eq \r(xy)不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；因为y＝x3是增函数，所以当x≥y时，x3≥y3，故D正确．故选AD．
6．(2023年丰城期末)已知偶函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋a，x≥0，,g(x)，x＜0，))则满足f(x－1)＜f(2)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，3)B．(3，＋∞)
C．(－1，3)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】当x≥0时，f(x)＝3x＋a为增函数，又由函数f(x)为偶函数，故当x＜0时，f(x)为减函数．由函数图象可知，若f(x－1)＜f(2)，则|x－1|＜2，解得x∈(－1，3)．故选C．
7．函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－x2)+x+2的单调递增区间是( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
【答案】C
【解析】设u＝－x2＋x＋2，则u＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(9,4)，则u＝－x2＋x＋2在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))上单调递增，在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减．又因为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(u)是减函数，故y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－x2)+x+2的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))．故选C．
8．(2023年葫芦岛期末)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________．
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈R时，f(x)＞0；③f(x)是增函数．
【答案】2x(答案不唯一)
【解析】f(x)＝2x，满足2x1＋x2＝2x1·2x2，即f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，满足①；f(x)＝2x＞0，满足②；f(x)＝2x在定义域内单调递增，满足③．
9．据报道，青海湖的湖水量在最近50年内减少了10%．如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为____________．
【答案】y＝0.9 eq \s\up6(\f(x,50))·m(x∈N*)
【解析】设湖水量每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9 eq \s\up6(\f(1,50))，即x年后湖水量为0.9 eq \f(x,50)·m (x∈N*)．
10．已知指数函数f(x)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,9)))．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)＞f(1)，求x的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．
将点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,9)))代入，得 eq \f(1,9)＝a2，解得a＝ eq \f(1,3)．
故f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)．
(2)由(1)知f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)，显然f(x)在R上是减函数．
又因为f(|x|)＞f(1)，
所以|x|＜1，解得－1＜x＜1．
所以x的取值范围为(－1，1)．
B级——能力提升练
11．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，且a≠1)满足f(1)＝ eq \f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2]B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]
【答案】B
【解析】由f(1)＝ eq \f(1,9)，得a2＝ eq \f(1,9)，于是a＝ eq \f(1,3)，故f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(|2x－4|)．令t＝|2x－4|，所以f(t)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(t)为减函数．因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B．
12．(多选)(2023年汕尾期末)下列各式比较大小，正确的有( )
A．1.72.5＞1.73B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(2,3))＞2－ eq \s\up6(\f(4,3))
C．1.70.3＞0.93.1D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(\f(3,4))＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(\f(2,3))
【答案】BC
【解析】对于A，∵函数y＝1.7x在R上为增函数，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故A错误；对于B， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(2,3))＝2－ eq \s\up6(\f(2,3))，∵函数y＝2x在R上单调递增，且－ eq \f(2,3)＞－ eq \f(4,3)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(2,3))＝2－ eq \s\up6(\f(2,3))＞2－ eq \f(4,3)，故B正确；对于C，∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故C正确；对于D，∵函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(x)在R上单调递减，且 eq \f(3,4)＞ eq \f(2,3)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(\f(3,4))＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(\f(2,3))，又∵函数y＝x eq \s\up6(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，且 eq \f(2,3)＜ eq \f(3,4)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(\f(2,3))＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(\f(2,3))，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(\f(3,4))＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(\f(2,3))＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(\f(2,3))，故D错误．故选BC．
13．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．
【答案】(－∞，0]
【解析】在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变(如图)，得到y＝|2x－1|的图象．由图可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，所以m∈(－∞，0]．
14．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________，又f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】(3，－1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
【解析】对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，f(x)＝－1，所以y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．再根据函数f(x)＝(2a－1)x－3－2在R上是减函数，故有0＜2a－1＜1，解得 eq \f(1,2)＜a＜1．
15．(2023年莱西期中)已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，g(x)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))，h(x)＝f(x)＋2g(x)．
(1)若f(x)＞g(－x)＋6，求x的取值范围；
(2)判断h(x)在[0，＋∞)上的单调性；
(3)设p＝h(2.50.2)，q＝h(3.10.3)，r＝h(0.7－0.1)，试比较p，q，r的大小，并将它们按从小到大的顺序排起来．
解：(1)∵f(x)＝ax过点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，
∴a－ eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \f(1,3)，解得a＝9，
∴f(x)＝9x，g(x)＝ eq \f(1,3x)．
于是f(x)＞g(－x)＋6可化为9x－3x－6＞0．
令3x＝t＞0，
则t2－t－6＝(t＋2)(t－3)＞0，
∴t＞3，即3x＞3，解得x＞1，
故x的取值范围为(1，＋∞)．
(2)由题可知h(x)＝9x＋ eq \f(2,3x)，x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，
则h(x1)－h(x2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9x1＋\f(2,3x1)))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9x2＋\f(2,3x2)))＝(9x1－9x2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3x1)－\f(2,3x2)))＝(3x1－3x2)(3x1＋3x2)－ eq \f(2(3x1－3x2),3x1＋x2)＝(3x1－3x2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((3x1＋3x2)－\f(2,3x1＋x2)))＝ eq \f(1,3x1＋x2)(3x1－3x2)·[3x1＋x2·(3x1＋3x2)－2]，
∵x1＜x2，∴3x1＜3x2，从而3x1－3x2＜0．
∵x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，
∴x1＋x2＞0，从而3x1＋x2＞30＝1，3x1＋3x2＞30＋30＝2．
∴3x1＋x2·(3x1＋3x2)＞2，3x1＋x2·(3x1＋3x2)－2＞0．
∴h(x1)－h(x2)＜0，即h(x1)＜h(x2)．
∴h(x)在[0，＋∞)上为单调递增．
(3)∵3.10.3＞3.10.2＞2.50.2，1＜0.7－0.1＜0.7－0.2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,7))) eq \s\up12(0.2)＜2.50.2，
∴3.10.3＞2.50.2＞0.7－0.1＞1．
∵h(x)在[0，＋∞)上为单调递增，
∴r＜p＜q．