高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质综合训练题

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1．(2023年遵义月考)函数f(x)＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))))图象的对称轴方程为( )
A．x＝ eq \f(π,3)＋ eq \f(kπ,4)(k∈Z)B．x＝ eq \f(π,6)＋ eq \f(kπ,4)(k∈Z)
C．x＝ eq \f(π,3)＋ eq \f(kπ,2)(k∈Z)D．x＝ eq \f(π,6)＋ eq \f(kπ,2)(k∈Z)
【答案】A
【解析】由函数y＝|tan x|的对称轴为x＝ eq \f(kπ,2)(k∈Z)，令2x－ eq \f(2π,3)＝ eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝ eq \f(kπ,4)＋ eq \f(π,3)(k∈Z)，所以函数f(x)＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))))图象的对称轴方程为x＝ eq \f(π,3)＋ eq \f(kπ,4)(k∈Z).故选A.
2．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))的一个对称中心是( )
A．(0，0) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，0))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)，0)) D．(π，0)
【答案】C
【解析】令x＋ eq \f(π,5)＝ eq \f(kπ,2)，k∈Z，得x＝ eq \f(kπ,2)－ eq \f(π,5)，k∈Z，所以函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))的对称中心是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,5)，0))，k∈Z.令k＝2，可得函数的一个对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)，0)).
3．当－ eq \f(π,2)＜x＜ eq \f(π,2)时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不是对称图形
【答案】C
【解析】由题意得定义域关于原点对称，又因为tan |－x|＝tan |x|，故原函数是偶函数，其图象关于y轴对称．故选C.
4．（2023年玉树月考）f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,8)))(ω＞0)的图象与直线y＝a(a∈R)的两相邻交点间的距离为2π，则ω＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2)
C．1 D．2
【答案】B
【解析】∵f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,8)))(ω＞0)的图象与直线y＝a(a∈R)的两相邻交点间的距离为 eq \f(π,ω)＝2π，∴ω＝ eq \f(1,2).故选B.
5．（多选）（2023年宁晋期末）下列四个函数中，以π为周期，且在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上单调递减的是( )
A．y＝|sin x| B．y＝cs 2x
C．y＝－tan x D．y＝sin |2x|
【答案】AC
【解析】∵y＝|sin x|的最小正周期为 eq \f(2π,2)＝π，且在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上单调递减，故A满足条件．∵y＝cs 2x的最小正周期为 eq \f(2π,2)＝π，且在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上单调递增，故B不满足条件．∵y＝－tan x的最小正周期为π，且在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上单调递减，故C满足条件．∵y＝sin |2x|没有周期性，故D不满足条件．故选AC.
6．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一个周期内的图象是下图中的( )
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
【答案】A
【解析】由函数周期T＝ eq \f(π,\f(1,2))＝2π，排除选项B，D.将x＝ eq \f(2π,3)代入函数式中，得tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(2π,3)－\f(π,3)))＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0)).故选A.
7．已知函数y＝tan ωx在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内单调递减，则( )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C．ω≥1 D．ω≤－1
【答案】B
【解析】因为y＝tan ωx在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，所以ω＜0且T＝ eq \f(π,|ω|)≥π，所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
8．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋6x))的定义域为 .
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,6)＋))\f(π,24)，k∈Z))
【解析】由 eq \f(π,4)＋6x≠kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得x≠ eq \f(kπ,6)＋ eq \f(π,24)(k∈Z).
9．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))的值域是 Ｗ．
【答案】（1, eq \r(3) ]
【解析】由0＜x≤ eq \f(π,6)，得0＜ eq \f(x,2)≤ eq \f(π,12)，从而 eq \f(π,4)＜ eq \f(x,2)＋ eq \f(π,4)≤ eq \f(π,3)，所以tan eq \f(π,4)＜tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))≤tan eq \f(π,3)，即1＜tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))≤ eq \r(3).
10．（2023年襄阳期末）设函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求不等式f(x)≤ eq \r(3)的解集．
解：(1)对于函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))，
令kπ－ eq \f(π,2)＜ eq \f(x,2)－ eq \f(π,3)＜kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，
得2kπ－ eq \f(π,3)＜x＜2kπ＋ eq \f(5π,3)，k∈Z，
可得函数f(x)的单调增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))，k∈Z；
此函数没有减区间．
(2)不等式f(x)≤ eq \r(3)，即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))≤ eq \r(3)，
∴kπ－ eq \f(π,2)＜ eq \f(x,2)－ eq \f(π,3)≤kπ＋ eq \f(π,3)，k∈Z，
解得2kπ－ eq \f(π,3)＜x≤2kπ＋ eq \f(4π,3)，k∈Z，
∴不等式f(x)≤ eq \r(3)的解集为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z.
B级——能力提升练
11．（2023年江门期末）已知函数f(x)＝2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，则下列判断正确的是( )
A．f(x)的定义域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,12)))＋kπ，k∈Z))
B．f(x)的值域是R
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的最小正周期是π
【答案】B
【解析】对于函数f(x)＝2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，应有2x＋ eq \f(π,3)≠kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，求得x≠ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)，k∈Z，可得函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)))＋\f(π,12)，k∈Z))，故A错误；显然，函数y的值域为R，是非奇非偶函数，故B正确，C错误；函数的最小正周期为 eq \f(π,2)，故D错误．
12．（多选）已知函数f(x)＝tan x，x1，x2∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))(x1≠x2)，则下列结论正确的是( )
A．f(x1＋π)＝f(x1)B．f(－x1)＝f(x1)
C． eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＞0D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＞ eq \f(f(x1)＋f(x2),2)(x1x2＞0)
【答案】AC
【解析】f(x)＝tan x的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故B不正确；f(x)＝tan x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，故C正确；由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＞ eq \f(f(x1)＋f(x2),2)，在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＜ eq \f(f(x1)＋f(x2),2)，故D不正确．
13．－tan eq \f(6π,5)与tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,5)))的大小关系是 Ｗ．
【答案】－tan eq \f(6π,5)＜tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,5)))
【解析】－tan eq \f(6π,5)＝－tan eq \f(π,5)，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,5)))＝－tan eq \f(13π,5)＝－tan eq \f(3π,5).因为0＜ eq \f(π,5)＜ eq \f(π,2)＜ eq \f(3π,5)＜π，所以tan eq \f(π,5)＞0，tan eq \f(3π,5)＜0，所以－tan eq \f(π,5)＜－tan eq \f(3π,5)，即－tan eq \f(6π,5)＜tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,5))).
14．函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的最大值为 ，最小值为 Ｗ．
【答案】4 －4
【解析】∵－ eq \f(π,4)≤x≤ eq \f(π,4)，∴－1≤tan x≤1.令tan x＝t，则t∈[－1，1].∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝1，即x＝ eq \f(π,4)时，ymax＝4；当t＝－1，即x＝－ eq \f(π,4)时，ymin＝－4.
15．若x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，求函数y＝ eq \f(1,cs2x)＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．
解：y＝ eq \f(1,cs2x)＋2tanx＋1＝ eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1.
因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，所以tan x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)，1)).
所以当tan x＝－1，即x＝－ eq \f(π,4)时，y取最小值1；
当tan x＝1，即x＝ eq \f(π,4)时，y取最大值5.