高中数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第三课时同步测试题

这是一份高中数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第三课时同步测试题，共5页。试卷主要包含了已知tan＝2.等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))，则sin 2α＝( )
A． eq \f(24,25)B． eq \f(6,5)
C．－ eq \f(3,5)D． eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
【答案】A
【解析】由题意，得cs α＝ eq \f(3,5)，sin α＝ eq \f(4,5)，可得sin 2α＝2sin αcs α＝2× eq \f(4,5)× eq \f(3,5)＝ eq \f(24,25).故选A.
2．已知α为第三象限角，且cs α＝－ eq \f(\r(5),5)，则tan 2α的值为( )
A．－ eq \f(4,3)B． eq \f(4,3)
C．－ eq \f(3,4)D．－2
【答案】A
【解析】由题意可得sin α＝－ eq \r(1－cs2α)＝－ eq \f(2\r(5),5)，所以tanα＝2，所以tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－ eq \f(4,3).故选A.
3．(多选)下列各式中，值为 eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin15°cs 15°B．1－2sin215°
C．sin215°＋cs215°D． eq \f(3tan15°,1－tan215°)
【答案】BD
【解析】对于A，2sin15°cs 15°＝sin 30°＝ eq \f(1,2)，A不符合；对于B，1－2sin215°＝cs30°＝ eq \f(\r(3),2)，B符合；对于C，sin215°＋cs215°＝1，C不符合；对于D， eq \f(3tan15°,1－tan215°)＝ eq \f(3,2)· eq \f(2tan15°,1－tan215°)＝ eq \f(3,2)·tan30°＝ eq \f(\r(3),2)，D符合．故选BD.
4．(2023年安阳模拟)已知θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，且sin 2θ＝ eq \f(\r(5),3)，则tan θ＝( )
A． eq \f(\r(5),5)B． eq \r(5)
C． eq \r(10)D． eq \f(\r(5),5)或 eq \r(5)
【答案】B
【解析】∵sin 2θ＝2sin θcs θ＝ eq \f(2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝ eq \f(2tanθ,tan2θ＋1)＝ eq \f(\r(5),3)，∴tanθ＝ eq \f(\r(5),5)或 eq \r(5).∵θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tan θ＞1，故tan θ＝ eq \r(5).故选B.
5．(2023年重庆模拟)已知P(1，2)为角α终边上一点，则 eq \f(cs 2α,1＋sin2α)＝( )
A．－ eq \f(1,3)B． eq \f(1,3)
C．－3D． eq \f(1,9)
【答案】A
【解析】由题意知P(1，2)为角α终边上一点，则|OP|＝ eq \r(5)，∴sinα＝ eq \f(2\r(5),5)，故cs 2α＝1－2sin2α＝1－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5))) eq \s\up12(2)＝－ eq \f(3,5)，故 eq \f(cs2α,1＋sin2α)＝ eq \f(－\f(3,5),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))\s\up12(2))＝－ eq \f(1,3).故选A.
6．设sinα＝ eq \f(1,3)，2π＜α＜3π，则sin eq \f(α,2)＋cs eq \f(α,2)等于( )
A．－ eq \f(2\r(3),3)B． eq \f(2\r(3),3)
C． eq \f(4,3)D．－ eq \f(\r(3),3)
【答案】A
【解析】因为sin α＝ eq \f(1,3)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))) eq \s\up12(2)＝1＋sin α＝ eq \f(4,3).又因为2π＜α＜3π，所以π＜ eq \f(α,2)＜ eq \f(3π,2)，所以sin eq \f(α,2)＋cs eq \f(α,2)＜0，所以sin eq \f(α,2)＋cs eq \f(α,2)＝－ eq \f(2\r(3),3).
7．(多选)函数f(x)＝sin x cs x的单调递减区间可以是( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
【答案】BCD
【解析】f(x)＝sin x cs x＝ eq \f(1,2)sin 2x.由2kπ＋ eq \f(π,2)≤2x≤2kπ＋ eq \f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋ eq \f(π,4)≤x≤kπ＋ eq \f(3π,4)，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z).故选BCD.
8．(2023年镇远月考)已知sin α－cs α＝ eq \f(\r(2),4)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(9π,2)))＝________．
【答案】 eq \f(7,8)
【解析】∵sin α－cs α＝ eq \f(\r(2),4)，两边平方得1－sin 2α＝ eq \f(1,8)，∴sin 2α＝ eq \f(7,8)，∴cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(9π,2)))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2)))＝sin 2α＝ eq \f(7,8).
9．已知tan x＝2，则tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))))的值为________．
【答案】 eq \f(3,4)
【解析】∵tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝ eq \f(tan x－tan \f(π,4),1＋tan x tan \f(π,4))＝ eq \f(2－1,1＋2)＝ eq \f(1,3)，
∴tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))))＝ eq \f(2tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))),1－tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))))＝ eq \f(3,4).
10．(2023年北京朝阳区期末)已知tan(π－α)＝2.
(1)求tan 2α的值；
(2)求 eq \f(1－sin 2α,cs 2α)的值．
解：∵tan (π－α)＝2，∴tan α＝－2.
(1)tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α)＝ eq \f(－4,－3)＝ eq \f(4,3).
(2) eq \f(1－sin2α,cs 2α)＝ eq \f((sin α－cs α)2,cs2α－sin2α)＝ eq \f(csα－sin α,cs α＋sin α)＝ eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝－3.
B级——能力提升练
11．在△ABC中，若sin B sin C＝cs2 eq \f(A,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由sinB sin C＝cs2 eq \f(A,2)，得sinB sin C＝ eq \f(1＋cs A,2)，所以2sin B sin C＝1＋cs A．所以2sin B sin C＝1＋cs [π－(B＋C)]＝1－cs (B＋C).所以2sin B sin C＝1－cs B cs C＋sin B sin C，所以cs B cs C＋sin B sin C＝1.所以cs (B－C)＝1.又因为－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°，则B＝C.所以△ABC是等腰三角形．
12．(多选)(2023年济南月考)下列各式中，与tan α相等的是( )
A． eq \r(\f(1－cs 2α,1＋cs 2α))
B． eq \f(1－cs 2α,sin 2α)
C． eq \r(\f(1＋cs (π＋2α),2))· eq \f(1,cs α)(α∈(0，π))
D． eq \f(sin 2α,1＋cs 2α)
【答案】BCD
【解析】对于A，原式＝ eq \r(\f(2sin2α,2cs2α))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(sinα,cs α)))＝|tan α|，错误；对于B，原式＝ eq \f(2sin2α,2sinαcs α)＝ eq \f(sin α,cs α)＝tan α，正确；对于C，因为α∈(0，π)，sin α＞0，所以原式＝ eq \r(\f(1－cs 2α,2))· eq \f(1,cs α)＝ eq \r(sin2α)· eq \f(1,csα)＝ eq \f(sin α,cs α)＝tan α，正确；对于D，原式＝ eq \f(2sin αcs α,2cs2α)＝ eq \f(sinα,cs α)＝tan α，正确．故选BCD.
13．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ eq \f(2,3)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________，sin 2α＝________．
【答案】 eq \f(2,3) － eq \f(1,9)
【解析】因为α＋ eq \f(π,4)＝α－ eq \f(π,4)＋ eq \f(π,2)，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ eq \f(2,3).因为2α＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋ eq \f(π,2)，所以sin 2α＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝cs 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝2cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))－1＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)－1＝－ eq \f(1,9).
14．已知sinα＋cs α＝ eq \f(3\r(5),5)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝ eq \f(3,5)，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则tan 2α＝________，cs (α＋2β) ＝________．
【答案】 eq \f(4,3) － eq \f(11\r(5),25)
【解析】由题意得(sin α＋cs α)2＝ eq \f(9,5)，即1＋sin 2α＝ eq \f(9,5)，∴sin 2α＝ eq \f(4,5)，又∵易知2α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs 2α＝ eq \r(1－sin22α)＝ eq \f(3,5)，∴tan2α＝ eq \f(sin 2α,cs 2α)＝ eq \f(4,3).∵β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，β－ eq \f(π,4)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝ eq \f(3,5)，∴cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝ eq \f(4,5)，∴sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))·cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝ eq \f(24,25).
又∵sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－cs 2β，∴cs 2β＝－ eq \f(24,25).又易知2β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴sin 2β＝ eq \f(7,25).又∵cs2α＝ eq \f(1＋cs2α,2)＝ eq \f(4,5)，∴cs α＝ eq \f(2\r(5),5)，∴sin α＝ eq \f(\r(5),5)，∴cs (α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(7,25)＝－ eq \f(11\r(5),25).
15．(2023年南宁期末)已知0＜α＜ eq \f(π,2)，sin α＝ eq \f(4,5).
(1)求tan 2α的值；
(2)求cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；
(3)若0＜β＜ eq \f(π,2)且cs (α＋β)＝－ eq \f(1,3)，求sin β的值．
解：因为0＜α＜ eq \f(π,2)，sin α＝ eq \f(4,5)，
所以cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(3,5)，tanα＝ eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(4,3).
(1)tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α)＝ eq \f(2×\f(4,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))\s\up12(2))＝－ eq \f(24,7).
(2)因为cs2α＝2cs2α－1＝－ eq \f(7,25)，sin2α＝2sin αcs α＝ eq \f(24,25)，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝ eq \f(\r(2),2)(cs 2α－sin 2α)＝ eq \f(\r(2),2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,25)－\f(24,25)))＝－ eq \f(31\r(2),50).
(3)因为0＜β＜ eq \f(π,2)，0＜α＜ eq \f(π,2)，所以α＋β∈(0，π)，
又cs (α＋β)＝－ eq \f(1,3)，
所以sin (α＋β)＝ eq \r(1－cs2(α＋β))＝ eq \f(2\r(2),3)，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)·cs α－cs (α＋β)sin α＝ eq \f(2\r(2),3)× eq \f(3,5)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))× eq \f(4,5)＝ eq \f(6\r(2)＋4,15).