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新教材2024版高中数学第五章三角函数5.6函数y=Asinωx+φ第二课时函数y＝Asinωx+φ图象与性质的应用课后提能训练新人教A版必修第一册
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第五章 5.6 第2课时A级——基础过关练1．已知函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下面结论错误的是( )A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数【答案】D 【解析】因为f(x)＝－cos x，故根据余弦函数的图象可知D是错误的．故选D.2．已知函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A．关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称 B．关于直线x＝ eq \f(π,4)对称C．关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对称 D．关于直线x＝ eq \f(π,3)对称【答案】A 【解析】由T＝ eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).该函数图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称．3．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是 eq \f(π,2)，直线x＝ eq \f(π,3)是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )A．y＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) B．y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋2C．y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋2 D．y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋2【答案】D 【解析】由题意可得A＝ eq \f(4－0,2)＝2，m＝ eq \f(4＋0,2)＝2，ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(2π,\f(π,2))＝4.∵直线x＝ eq \f(π,3)是其图象的一条对称轴，∴ eq \f(π,3)ω＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ＋ eq \f(π,2)－ eq \f(4π,3)(k∈Z).∴当k＝1时，φ＝ eq \f(3π,2)－ eq \f(4π,3)＝ eq \f(π,6).∴符合条件的一个解析式为y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋2.4．(多选)设函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象为曲线E，则下列结论中正确的是( )A．x＝－ eq \f(π,12)是曲线E的一条对称轴B．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为 eq \f(π,2)C．将曲线y＝sin 2x向右平移 eq \f(π,3)个单位长度，与曲线E重合D．将曲线y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，与曲线E重合【答案】AB 【解析】f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象为曲线E，令x＝－ eq \f(π,12)，求得f(x)＝－1，为最小值，故x＝－ eq \f(π,12)是曲线E的一条对称轴，A正确；若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为 eq \f(T,2)＝ eq \f(1,2)× eq \f(2π,2)＝ eq \f(π,2)，B正确；将曲线y＝sin 2x向右平移 eq \f(π,3)个单位长度，可得y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))的图象，C错误；将曲线y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的图象，与曲线E不重合，故D错误．5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) B．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) D．y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))【答案】D 【解析】当x＝－ eq \f(π,6)时，y＝0，由此可排除选项B，C；当x＝ eq \f(π,12)时，y＝1，由此可排除选项A.故选D.6．(2023年齐齐哈尔期末)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象的相邻两个最高点的距离为 eq \f(π,2)，f(0)＝ eq \r(2)，则f(x)＝( )A． eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) B．2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))C． eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4))) D．2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))【答案】D 【解析】由题意可知f(x)的最小正周期为 eq \f(π,2)，所以ω＝ eq \f(2π,\f(π,2))＝4.因为f(0)＝ eq \r(2)，所以sin φ＝ eq \f(\r(2),2).因为0＜φ＜ eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(π,4)，所以f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4))).故选D.7．(2023年宁晋期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的相邻的两个零点之间的距离是 eq \f(π,6)，且直线x＝ eq \f(π,18)是f(x)图象的一条对称轴，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝( )A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(1,2)C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(\r(3),2)【答案】A 【解析】由题意可知 eq \f(1,2)× eq \f(2π,ω)＝ eq \f(π,6)，∴ω＝6.∵直线x＝ eq \f(π,18)是f(x)图象的一条对称轴，∴6× eq \f(π,18)＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2)，结合0＜φ＜ eq \f(π,2)，可知φ＝ eq \f(π,6)，∴f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(π,6)))，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝sin eq \f(2π,3)＝sin eq \f(π,3)＝ eq \f(\r(3),2).故选A.8．函数y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))图象的对称轴方程是________．【答案】x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,3)(k∈Z) 【解析】令2x－ eq \f(π,6)＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,3)(k∈Z).9．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________．【答案】 eq \f(3,2) 【解析】由题意设函数周期为T，则 eq \f(T,4)＝ eq \f(2π,3)－ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,3)，所以T＝ eq \f(4π,3).所以ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(3,2).10．如图所示的是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一个周期内的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域．解：(1)由题图知A＝2，T＝7－(－1)＝8，所以ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(2π,8)＝ eq \f(π,4).所以f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ)).将点(－1，0)代入，得2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ))＝0.因为|φ|＜ eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(π,4)，则f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).(2)因为－1≤x≤2，则0≤ eq \f(π,4)x＋ eq \f(π,4)≤ eq \f(3π,4)，所以0≤sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤1，0≤2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤2.所以f(x)的值域为[0，2].B级——能力提升练11．若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，则有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))等于( )A．3或0 B．－3或0C．0 D．－3或3【答案】D 【解析】由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))知，x＝ eq \f(π,6)是函数图象的对称轴，则有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－3或f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝3.故选D.12．(多选)(2023年哈尔滨二模)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A．f(x)＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))B．当f(x)＞1时，x的取值范围为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5()))kπ＜x＜kπ＋\f(π,3))，k∈Z))C．函数f(x)的图象向右平移 eq \f(π,12)个单位长度后的一条对称轴方程为x＝ eq \f(π,3)D．函数f(x)与g(x)＝－2cos 2x的图象关于直线x＝ eq \f(π,3)对称【答案】ABD 【解析】根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，a＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象，可得A＝2， eq \f(2π,ω)＝ eq \f(11π,12)＋ eq \f(π,12)，∴ω＝2.由2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＋φ＝kπ，|φ|＜ eq \f(π,2)，得φ＝ eq \f(π,6)，∴f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，故A正确；f(x)＞1，即cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＞ eq \f(1,2)，∴2kπ－ eq \f(π,3)＜2x－ eq \f(π,3)＜2kπ＋ eq \f(π,3)，解得kπ＜x＜kπ＋ eq \f(π,3)，k∈Z，故B正确；函数f(x)的图象向右平移 eq \f(π,12)个单位长度后，可得y＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)－\f(π,3)))＝2sin 2x的图象，令2x＝kπ＋ eq \f(π,2)，求得x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，令 eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,3)，解得k＝ eq \f(1,6)，不合题意，故C错误；由于f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－2x－\f(π,3)))＝2cos (π－2x)＝－2cos 2x＝g(x)，故函数f(x)与g(x)＝－2cos 2x的图象关于直线x＝ eq \f(π,3)对称，故D正确．故选ABD.13．函数f(x)＝A sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝ eq \f(π,12)时，函数f(x)取得最大值3，当x＝ eq \f(7π,12)时，函数f(x)取得最小值－3，则函数解析式为 Ｗ．【答案】f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 【解析】由题意可知A＝3， eq \f(T,2)＝ eq \f(7π,12)－ eq \f(π,12)＝ eq \f(π,2)，所以T＝π.因此 eq \f(2π,ω)＝π，即ω＝2.故f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).14．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)图象的对称轴方程为 ，函数的最小正周期为 Ｗ．【答案】x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)，k∈Z π 【解析】由函数的图象可得A＝1，T＝2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))))＝π.因为T＝ eq \f(2π,ω)，解得ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ).由图象可得sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋φ))＝0，可得－ eq \f(π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋ eq \f(π,3)，k∈Z.又由|φ|＜ eq \f(π,2)，得φ＝ eq \f(π,3)，f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).令2x＋ eq \f(π,3)＝kπ＋ eq \f(π,2)，解得x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴方程为x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,12)，k∈Z.15．（2023年漳州期末）已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的周期为π，最大值为2，且过点(0，－1).(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解：(1)由已知得A＝2，ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(2π,π)＝2，∴f(x)＝2sin (2x＋φ).把(0，－1)代入，得2sin φ＝－1，由|φ|＜ eq \f(π,2)，可得φ＝－ eq \f(π,6)，∴f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(2)由0≤x≤ eq \f(π,2)，得－ eq \f(π,6)≤2x－ eq \f(π,6)≤ eq \f(5π,6)，∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈[－1，2]，∴f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值是2，最小值是－1.
