高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义课文ppt课件

这是一份高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义课文ppt课件，共46页。PPT课件主要包含了自学导引，P0T，瞬时速度，f′x，课堂互动，素养训练等内容，欢迎下载使用。

如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限______于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个________的位置，这个确定位置的直线________称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．
【预习自测】判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．(　　)(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　)【答案】(1)×　(2)×
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝____________________＝f′(x0)．(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的________，物理意义是运动物体在x0时刻的___________．
【预习自测】如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在【答案】B
(3)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．(4)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
【预习自测】设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________．【答案】3
【解题探究】根据导数的几何意义求切线的斜率即可．
题型1　求曲线在某点处的切线方程
求曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线方程的步骤(1)求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)用点斜式写出切线方程y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)；(3)把求得的点斜式方程变形为一般式．
求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
题型2　求曲线过某点的切线方程
过(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.【解题探究】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出直线的斜率，写出切线方程．
求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤(1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含参)；(2)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．
2．(2023年哈尔滨期末)已知函数f(x)＝x2－5x＋7，求经过点A(1，2)的曲线f(x)的切线方程．
(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的(　　)
题型3　利用图象理解导数的几何意义
(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x) 的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)
【答案】(1)A　(2)D【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜率随x增大而变大．(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B，C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
导数与函数图象升降的关系若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
3．已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)A．0 已知曲线y＝x2在点P处的切线分别满足下列条件，求点P的坐标．(1)平行于直线y＝4x－5；(2)与x轴成135°的倾斜角．
【解题探究】设切点坐标，根据导数的几何意义求切线斜率，然后利用条件(平行、倾斜角)求切点坐标．
求切点坐标的步骤(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
4．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为__________，切点坐标为____________．
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
易错警示　混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
【错因】本题中原点在函数的图象上，误认为原点就是切点，混淆了“过原点的切线”与“在原点处的切线”的区别，导致解题失误．求曲线的切线时，注意区分“求曲线y＝f(x)上过点M的切线”与“求曲线y＝f(x)上在点M处的切线”，前者只要求切线过M点，M点未必是切点，因此求解时应先设出切点坐标；而后者则很明确，切点就是M点．
1．导数的意义：函数在一点处的导数的几何意义：曲线在这一点的切线的斜率．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又密切相关．f′(x0)是导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这一点处的导数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
2．(题型4)(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标可以为(　　)A．(1，0)　　　　　B．(2，8)C．(－1，－4)　　　　　D．(1，4)【答案】AC
3．(题型4)(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标可以为(　　)A．(1，0)　　B．(2，8)C．(－1，－4)　　D．(1，4)【答案】AC
4．(题型3)如图，函数f(x)的图象在点P处的切线为y＝－2x＋5，则f(2)＋f′(2)＝________．【答案】－1【解析】∵函数y＝f(x)的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－2x＋5，∴f′(2)＝－2，f(2)＝－4＋5＝1，∴f(2)＋f′(2)＝1－2＝－1.
5．(题型2)已知函数y＝f(x)＝x3＋x－2，直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．