高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第二课时当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第二课时当堂达标检测题，共9页。
A级——基础过关练
1.平面α的一个法向量为n＝(1，－ eq \r(3)，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为( )
A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,3)C. eq \f(π,4)D. eq \f(5π,6)
【答案】B 【解析】y轴的一个方向向量为m＝(0，1，0)，cs 〈m，n〉＝ eq \f(m·n,|m||n|)＝ eq \f(－\r(3),1×2)＝－ eq \f(\r(3),2).所以〈m，n〉＝ eq \f(5π,6)，所以y轴与平面α所成角的大小为 eq \f(5π,6)－ eq \f(π,2)＝ eq \f(π,3).
2.(2023年太原检测)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A. eq \f(\r(10),5)B. eq \f(\r(15),5)C. eq \f(4,5)D. eq \f(2,3)
【答案】B 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则O(1，1，0)，E(0，2，1)，D1(0，0，2)，F(1，0，0).所以 eq \(OE,\s\up6(→))＝(－1，1，1)， eq \(FD1,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，所以cs 〈 eq \(OE,\s\up6(→))， eq \(FD1,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(OE,\s\up6(→))·\(FD1,\s\up6(→)),|\(OE,\s\up6(→))||\(FD1,\s\up6(→))|)＝ eq \f((－1，1，1)·(－1，0，2),\r(3)×\r(5))＝ eq \f(\r(15),5).所以异面直线OE与FD1所成的角的余弦值等于 eq \f(\r(15),5).
3.(2023年衢州检测)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为( )
A. eq \f(2,3)B. eq \f(\r(3),3)C. eq \f(\r(2),3)D. eq \f(1,3)
【答案】A 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系.设AA1＝2AB＝2a，则B(a，0，0)，D(0，a，0)，C1(a，a，2a)，C(a，a，0).所以 eq \(CD,\s\up6(→))＝(－a，0，0)， eq \(BD,\s\up6(→))＝(－a，a，0)， eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，a，2a)，设平面BDC1的法向量n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BD,\s\up6(→))＝0，,n·\(BC1,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－ax＋ay＝0，,ay＋2az＝0，))令y＝2，则x＝2，z＝－1.所以平面BDC1的一个法向量n＝(2，2，－1).设CD与平面BDC1所成的角为α，则sin α＝|cs 〈 eq \(CD,\s\up6(→))，n〉|＝ eq \f(|\(CD,\s\up6(→))·n|,|\(CD,\s\up6(→))||n|)＝ eq \f(|－2a|,3a)＝ eq \f(2,3).
4.已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( )
A. eq \f(2,3)B. eq \f(\r(2),3)C. eq \f(\r(5),3)D. eq \f(2\r(3),3)
【答案】C 【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1，0，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，D1(0，0，1).故 eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1，0，1)， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1，0)).设平面AEFD1的法向量n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，,n·\(AE,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋z＝0，,－\f(x,2)＋y＝0，))故x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2，1，2).而平面ABCD的一个法向量u＝(0，0，1)，故cs 〈n，u〉＝ eq \f(n·u,|n||u|)＝ eq \f(2,\r(9)×1)＝ eq \f(2,3).设截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的大小为θ，则|cs θ|＝|cs 〈n，u〉|，故sin θ＝ eq \r(1－cs2θ)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(5),3).
5.在正四棱锥PABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC的中点，则异面直线PE与DB所成的角为( )
A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,3)C. eq \f(π,4)D. eq \f(π,2)
【答案】B 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，D(－1，－1，0)，E(0，1，0)，P(0，0，1).故 eq \(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)， eq \(PE,\s\up6(→))＝(0，1，－1).从而|cs〈 eq \(DB,\s\up6(→))， eq \(PE,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|\(DB,\s\up6(→))·\(PE,\s\up6(→))|,|\(DB,\s\up6(→))||\(PE,\s\up6(→))|)＝ eq \f(2,\r(8)×\r(2))＝ eq \f(1,2).于是PE与DB所成的角为 eq \f(π,3).
6.在如图所示的圆锥中，已知PO＝ eq \r(2)，☉O的直径AB＝2，C是 eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，则二面角BPAC的余弦值为( )
A. eq \f(\r(5),5)B. eq \f(2\r(5),5)C. eq \f(\r(10),5)D. eq \f(\r(7),5)
【答案】C 【解析】如图，以O为坐标原点， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))， eq \(OP,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0， eq \r(2)).设n1＝(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则由n1· eq \(PA,\s\up6(→))＝0，n1· eq \(PC,\s\up6(→))＝0，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－\r(2)z＝0，,y－\r(2)z＝0，))所以x＝－ eq \r(2)z，y＝ eq \r(2)z.取z＝1，得n1＝(－ eq \r(2)， eq \r(2)，1).因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量n2＝(0，1，0).设向量n1和n2的夹角为θ，则cs θ＝ eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝ eq \f(\r(2),\r(5))＝ eq \f(\r(10),5).由图可知二面角BPAC为锐角，所以二面角BPAC的余弦值为 eq \f(\r(10),5).
7.(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内.下列结论正确的是( )
A.直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为 eq \f(2\r(2),3)
B.| eq \(D1P,\s\up6(→))|的最大值为2 eq \r(3)
C.cs ∠A1D1P的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
D.若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为 eq \f(4,5)
【答案】ABC 【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，2，0)，M(0，0，1)，C(2，2，0)，B(2，0，0)，D1(0，2，2).对于A， eq \(CM,\s\up6(→))＝(－2，－2，1)， eq \(DD1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，易知 eq \(DD1,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量，设直线CM与平面ABCD所成的角为θ，则sin θ＝|cs 〈 eq \(CM,\s\up6(→))， eq \(DD1,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|\(CM,\s\up6(→))·\(DD1,\s\up6(→))|,|\(CM,\s\up6(→))||\(DD1,\s\up6(→))|)＝ eq \f(2,3×2)＝ eq \f(1,3)，∴cs θ＝ eq \f(2\r(2),3)，A正确；对于B，∵点P在侧面ABB1A1内，∴设P(a，0，b)，a，b∈[0，2]，则 eq \(D1P,\s\up6(→))＝(a，－2，b－2)，∴| eq \(D1P,\s\up6(→))|＝ eq \r(a2＋4＋(b－2)2)∈[2，2 eq \r(3)]，即| eq \(D1P,\s\up6(→))|的最大值为2 eq \r(3)，B正确；对于C，cs ∠A1D1P＝ eq \f(A1D1,D1P)＝ eq \f(2,\r(a2＋4＋(b－2)2))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))，C正确；对于D，∵ eq \(CM,\s\up6(→))＝(－2，－2，1)， eq \(PB,\s\up6(→))＝(2－a，0，－b)，D1P⊥CM，∴ eq \(D1P,\s\up6(→))· eq \(CM,\s\up6(→))＝－2a＋4＋b－2＝0，即b＝2a－2，∴a∈[1，2]，∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥PB，∴S△PBC＝ eq \f(1,2)BC·PB＝ eq \f(1,2)×2×PB＝ eq \r((2－a)2＋b2)，将b＝2a－2代入上式，可得S△PBC＝ eq \r(5a2－12a＋8)＝ eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(6,5)))\s\up12(2)＋\f(4,5))，a∈[1，2]，∴当a＝ eq \f(6,5)时，S△PBC取得最小值，最小值为 eq \f(2\r(5),5)，D错误.故选ABC.
8.(2023年宿州检测)已知直线l的方向向量为s＝(－1，1，1)，平面α的法向量为n＝(1，2，－3)，则直线与平面夹角的余弦值为________.
【答案】 eq \f(\r(399),21) 【解析】设直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cs 〈s，n〉|＝ eq \f(|s·n|,|s|·|n|)＝ eq \f(|－1×1＋1×2＋1×(－3)|,\r(3)×\r(14))＝ eq \f(\r(42),21)，而θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs θ＝ eq \r(1－sin2θ)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(42),21)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(399),21).
9.在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和点(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，那么a＝________.
【答案】 eq \f(12,5) 【解析】平面Oxy的一个法向量n＝(0，0，1)，设平面α的一个法向量为u＝(x，y，z)，则－3x＋4y＝0，－3x＋az＝0，即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(a,4)，1)).而cs 〈n，u〉＝ eq \f(1,\r(\f(a2,9)＋\f(a2,16)＋1))＝ eq \f(\r(2),2)，又因为a>0，所以a＝ eq \f(12,5).
10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且PD＝CD＝4，AD＝2.
(1)求AP与平面CMB所成角的正弦；
(2)求二面角MCBP的余弦值.
解：(1)因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD.
又因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥CD，即PD，AD，CD两两垂直.
所以以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，
由PD＝CD＝4，AD＝2，得A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，P(0，0，4)，M(1，0，2)，
则 eq \(AP,\s\up6(→))＝(－2，0，4)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2，0，0)， eq \(MB,\s\up6(→))＝(1，4，－2)，
设平面CMB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))·n1＝0，,\(MB,\s\up6(→))·n1＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x1＝0，,x1＋4y1－2z1＝0，))
令y1＝1，得x1＝0，z1＝2，
所以n1＝(0，1，2).
所以cs〈 eq \(AP,\s\up6(→))，n1〉＝ eq \f(\(AP,\s\up6(→))·n1,|\(AP,\s\up6(→))|·|n1|)＝ eq \f(8,2\r(5)×\r(5))＝ eq \f(4,5)，
故AP与平面CMB所成角的正弦值为 eq \f(4,5).
(2)由(1)可得 eq \(PC,\s\up6(→))＝(0，4，－4)，设平面PBC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))·n2＝0，,\(PC,\s\up6(→))·n2＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＝0，,4y2－4z2＝0，))
令y2＝1，得x2＝0，z2＝1，
所以n2＝(0，1，1)，
所以cs〈n1，n2〉＝ eq \f(3,\r(5)×\r(2))＝ eq \f(3\r(10),10)，
故二面角MCBP的余弦值为 eq \f(3\r(10),10).
B级——能力提升练
11.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则二面角PEFQ的正弦值是( )
A. eq \f(\r(5),5)B. eq \f(\r(10),10)C. eq \f(3\r(10),10)D. eq \f(2\r(5),5)
【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则Q(2，0，4)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，所以 eq \(QA,\s\up6(→))＝(2，0，－4)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，4，0)，平面QEF即平面QAB，设平面QAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(QA,\s\up6(→))＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－4z＝0，,4y＝0，))令z＝1，则n＝(2，0，1)，同理可求得平面ABC1D1的法向量为m＝(1，0，1)，设二面角PEFQ为θ，所以|cs θ|＝|cs 〈m，n〉|＝ eq \f(|m·n|,|m||n|)＝ eq \f(2＋1,\r(2)×\r(5))＝ eq \f(3\r(10),10)，故sin θ＝ eq \r(1－cs2θ)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(10),10).故选B.
12.(多选)如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则( )
A.A1D与B1D1是异面直线
B.A1D与EF所成角的大小为45°
C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为 eq \f(1,3)
D.二面角CD1B1B的余弦值为 eq \f(\r(6),3)
【答案】AD 【解析】对于A，由图知A1D与B1D1是异面直线，故A正确；对于B，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，2，0)，F(0，1，0)，所以 eq \(A1D,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)， eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，设A1D与EF所成角为θ，则csθ＝ eq \f(|\(A1D,\s\up6(→))·\(EF,\s\up6(→))|,|\(A1D,\s\up6(→))|·|\(EF,\s\up6(→))|)＝ eq \f(2,\r(8)×\r(2))＝ eq \f(1,2).又因为0°＜θ≤90°，所以θ＝60°，故B错误；对于C，由题知：平面B1EB的法向量为 eq \(DC,\s\up6(→))，因为 eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，2，0)， eq \(A1F,\s\up6(→))＝(－2，1，－2)，设A1F与平面B1EB所成角为θ，则sin θ＝ eq \f(|\(A1F,\s\up6(→))·\(DC,\s\up6(→))|,|\(A1F,\s\up6(→))|·|\(DC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(2,2\r(9))＝ eq \f(1,3)，cs θ＝ eq \f(2\r(2),3)，故C错误；对于D， eq \(D1B1,\s\up6(→))＝(2，2，0)， eq \(BB1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，设平面D1B1B的法向量m＝(x1，y1，z1)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(D1B1,\s\up6(→))＝2x1＋2y1＝0，,m·\(BB1,\s\up6(→))＝2z1＝0，))令x1＝1得m＝(1，－1，0)，设平面D1B1C的法向量n＝(x2，y2，z2)， eq \(B1C,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(D1B1,\s\up6(→))＝2x2＋2y2＝0，,n·\(B1C,\s\up6(→))＝－2x2－2z2＝0，))令x2＝1得n＝(1，－1，－1)，设二面角CD1B1B的平面角为θ，则|cs θ|＝ eq \f(|m·n|,|m|·|n|)＝ eq \f(2,\r(2)×\r(3))＝ eq \f(\r(6),3)，又因为θ为锐角，所以cs θ＝ eq \f(\r(6),3)，故D正确.故选AD.
13.如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cs 〈 eq \(DP,\s\up6(→))， eq \(AE,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\r(3),3)，若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________.
【答案】(1，1，1) 【解析】设PD＝a(a>0)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(a,2)))，所以 eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，0，a)， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(a,2))).因为cs 〈 eq \(DP,\s\up6(→))， eq \(AE,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\r(3),3)，所以 eq \f(a2,2)＝a eq \r(2＋\f(a2,4))× eq \f(\r(3),3)，所以a＝2，所以点E的坐标为(1，1，1).
14.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则异面直线A1E，CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________.
【答案】 eq \f(π,6) eq \f(3\r(14),14) 【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以 eq \(A1E,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)， eq \(CF,\s\up6(→))＝(0，－1，1).设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ，所以cs θ＝ eq \f(|\(A1E,\s\up6(→))·\(CF,\s\up6(→))|,|\(A1E,\s\up6(→))||\(CF,\s\up6(→))|)＝ eq \f(3,\r(6)×\r(2))＝ eq \f(\r(3),2).因为θ∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以θ＝ eq \f(π,6).又因为 eq \(A1F,\s\up6(→))＝(－2，1，0)，设平面A1EF的一个法向量m＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(A1F,\s\up6(→))＝0，,m·\(A1E,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋y＝0，,－x＋2y－z＝0.))令x＝1，则m＝(1，2，3)，平面A1B1C1D1一个法向量n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角为α，所以cs α＝ eq \f(|m·n|,|m||n|)＝ eq \f(3,\r(14))＝ eq \f(3\r(14),14).
15.(2023年山东模拟)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.
(2)作EM⊥AB，垂足为M，
则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝ eq \r(EH2－EM2)＝6，所以AH＝10.
以D为坐标原点， eq \(DA,\s\up6(→))的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)， eq \(FE,\s\up6(→))＝(10，0，0)， eq \(HE,\s\up6(→))＝(0，－6，8).
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的一个法向量，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(FE,\s\up6(→))＝0，,n·\(HE,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x＝0，,－6y＋8z＝0.))
所以可取n＝(0，4，3).
又因为 eq \(AF,\s\up6(→))＝(－10，4，8)，
故|cs 〈n， eq \(AF,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|n·\(AF,\s\up6(→))|,|n||\(AF,\s\up6(→))|)＝ eq \f(4\r(5),15).
所以AF与平面α所成角的正弦值为 eq \f(4\r(5),15).