高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后复习题，共3页。试卷主要包含了已知椭圆M与椭圆N等内容，欢迎下载使用。

1．已知a＝ eq \r(13)，c＝2 eq \r(3)，则该椭圆的标准方程为( )
A． eq \f(x2,13)＋ eq \f(y2,12)＝1B． eq \f(x2,13)＋ eq \f(y2,25)＝1或 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,13)＝1
C． eq \f(x2,13)＋y2＝1D． eq \f(x2,13)＋y2＝1或x2＋ eq \f(y2,13)＝1
【答案】D 【解析】由a2＝b2＋c2，得b2＝13－12＝1，分焦点在x轴和y轴上写标准方程，可知选D.
2．椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,25)＝1的焦点坐标为( )
A．(0，±3) B．(±3，0)
C．(0，±5) D．(±4，0)
【答案】A 【解析】根据椭圆方程可知焦点在y轴上，且c2＝25－16＝9，所以焦点坐标是(0，±3).
3．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,2)＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )
A． eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1 B． eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1
C．x2＋ eq \f(y2,2)＝1 D． eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,2)＝1
【答案】D 【解析】由题意知a2－2＝4，所以a2＝6，所以所求椭圆的方程为 eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,2)＝1.
4．如图，椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,9)＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C 【解析】由|MF1|＝2，得|MF2|＝8，又因为ON是△F1MF2的中位线，所以|ON|＝4.
5．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,25)＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．20
C．2 eq \r(41)D．4 eq \r(41)
【答案】D 【解析】因为a>5，所以焦点在x轴上．因为|F1F2|＝8，所以a2＝b2＋c2＝41.故△ABF2的周长为4a＝4 eq \r(41).
6．方程 eq \f(x2,3－a)＋ eq \f(y2,4)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
【答案】A 【解析】根据题意得3－a>4，所以a<－1，所以a∈(－∞，－1).
7．(多选)已知椭圆 eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,4)＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】ACD 【解析】由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝ eq \f(5,2)，|MF2|＝ eq \f(3,2)，又因为|F1F2|＝2c＝2，所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．
8．方程 eq \f(x2,|m|－1)＋ eq \f(y2,2)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，实数m的取值范围是_________________．
【答案】(1，3)∪(－3，－1) 【解析】根据题意得0<|m|－1<2，所以1<|m|<3，所以m∈(1，3)∪(－3，－1).
9．已知椭圆的方程为 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1，若C为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，并且|CF1|＝2，则|CF2|＝________．
【答案】8 【解析】根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为10，因为|CF1|＝2，所以|CF2|＝8.
10．已知椭圆M与椭圆N： eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,12)＝1有相同的焦点，且椭圆M过点(－1， eq \f(2\r(5),5)).
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝4，,\f(1,a2)＋\f(4,5b2)＝1，))
化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－ eq \f(16,5)(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为 eq \f(x2,5)＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为 eq \f(1,2)×4×|y0|＝1，解得y0＝± eq \f(1,2).
又因为 eq \f(x02,5)＋y02＝1，所以x02＝ eq \f(15,4)，x0＝± eq \f(\r(15),2).
所以点P有4个，它们的坐标分别为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，\f(1,2)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－\f(1,2)))，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，－\f(1,2))).
B级——能力提升练
11．P为椭圆 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7 C．13 D．15
【答案】B 【解析】由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.故选B.
12．(多选)已知椭圆 eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,4)＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】ACD 【解析】由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且已知|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝ eq \f(5,2)，|MF2|＝ eq \f(3,2)，因为|F1F2|＝2c＝2，所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．故选ACD.
13．已知椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．
【答案】12 【解析】取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝ eq \f(1,2)|AN|，|GF2|＝ eq \f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
14．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
【答案】6＋ eq \r(2) 6－ eq \r(2) 【解析】椭圆方程化为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,5)＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以|AF1|＝ eq \r(2)，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又因为－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋ eq \r(2)，|PA|＋|PF|≥6－ eq \r(2).
15．(2023年福建月考)设F1，F2分别为椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))到F1，F2两点的距离之和为4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．
解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又因为点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))在椭圆上，因此 eq \f(1,22)＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2),b2)＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1.
所以椭圆C的方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1，焦点为F1(－1，0)，F2(1，0).
(2)设椭圆C上的动点K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)，
则x＝ eq \f(－1＋x1,2)，y＝ eq \f(y1,2)，即x1＝2x＋1，y1＝2y.
因为点K(x1，y1)在椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1上，
所以 eq \f((2x＋1)2,4)＋ eq \f((2y)2,3)＝1，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(4y2,3)＝1，
此即为线段F1K的中点的轨迹方程．