人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置综合训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置综合训练题，共4页。试卷主要包含了已知点M在圆O，由直线y＝x＋1上的点向圆C，已知圆C等内容，欢迎下载使用。

1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交
D．相离
【答案】B 【解析】圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1，0)，点(－1，0)在直线x－y＋1＝0上．
2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相离B．相交
C．相切D．以上答案都不正确
【答案】B 【解析】因为点M在圆外，得a2＋b2>1，所以O到直线ax＋by＝1的距离d＝ eq \f(1,\r(a2＋b2))<1＝r，故直线与圆O相交．
3．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切，则k的值等于( )
A．1或－19 B．10或－1
C．－1或－19 D．－1或19
【答案】A 【解析】x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为(3，0)，半径r＝2，由题意得圆心到直线的距离d＝ eq \f(|3×3＋0＋k|,\r(32＋42))＝2，解得k＝－19或k＝1.
4．M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a>0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
【答案】C 【解析】点M在圆内，且不为圆心，则0 eq \f(a2,\r(a2))＝a，所以相离．
5．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y＋ eq \r(5)＝0或2x－y－ eq \r(5)＝0
B．2x＋y＋ eq \r(5)＝0或2x＋y－ eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
【答案】D 【解析】设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有 eq \f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝ eq \r(5)，解得c＝±5.所以所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
6．过点G(0，1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A． eq \r(3)B．2 eq \r(3)C．3 eq \r(3)D．4 eq \r(3)
【答案】B 【解析】当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0，1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d＝|OG|＝1，此时弦长最短，即 eq \f(|AB|,2)≥ eq \r(R2－d2)＝ eq \r(4－1)，即|AB|≥2 eq \r(3).故|AB|的最小值为2 eq \r(3).
7．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝ eq \f(4,3)x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为( )
A．6秒 B．8秒 C．10秒 D．16秒
【答案】AD 【解析】设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为 eq \f(|m＋4|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))\s\up12(2)))＝ eq \f(3,2)，得m＝－ eq \f(3,2)或m＝－ eq \f(13,2)，∴该圆运动的时间为 eq \f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))),0.5)＝6(秒)或 eq \f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,2))),0.5)＝16(秒).故选AD.
8．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________．
【答案】8或－18 【解析】由题意，得圆心C(1，0)，半径r＝1，则 eq \f(|5＋m|,\r(52＋122))＝1，解得m＝8或－18.
9．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
【答案】 eq \r(7) 【解析】直线y＝x＋1上点P(x0，y0)到圆心C的距离|PC|与切线长d满足d＝ eq \r(|PC|2－1)＝ eq \r((x0－3)2＋y02－1)＝ eq \r(2x02－4x0＋9)＝ eq \r(2(x0－1)2＋7)≥ eq \r(7).
10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2 eq \r(2)时，求直线l的方程．
解：x2＋y2－8y＋12＝0可化为x2＋(y－4)2＝4，
则圆心为(0，4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有 eq \f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2，
解得a＝－ eq \f(3,4).
(2)过圆心C作CD⊥AB，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|CD|＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，,|DA|＝\f(1,2)|AB|＝\r(2)，))
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
B级——能力提升练
11．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－ eq \f(5,3)或－ eq \f(3,5)B．－ eq \f(3,2)或－ eq \f(2,3)
C．－ eq \f(5,4)或－ eq \f(4,5)D．－ eq \f(4,3)或－ eq \f(3,4)
【答案】D 【解析】反射光线过点(2，－3)，设反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.反射光线与圆相切，圆心(－3，2)到直线的距离等于半径1，即 eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－ eq \f(4,3)或k＝－ eq \f(3,4).
12．(多选)(2022年莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a＞0，b＞0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是( )
A．ab≥ eq \f(1,2)B． eq \f(1,a2)＋ eq \f(1,b2)≥4
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)≤ eq \f(1,2)D． eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≤2 eq \r(2)
【答案】BC 【解析】∵直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切，∴圆心O(0，0)到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝ eq \f(|1|,\r(a2＋b2))＝1，即a2＋b2＝1.∴1≥2ab，∴ab≤ eq \f(1,2)，故A错误； eq \f(1,a2)＋ eq \f(1,b2)＝ eq \f(a2＋b2,a2b2)＝ eq \f(1,(ab)2)≥4，故B正确； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(a2＋2ab＋b2,4)＝ eq \f(1,4)＋ eq \f(1,2)ab≤ eq \f(1,4)＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(1,2)，故C正确； eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≥2 eq \r(\f(1,a)×\f(1,b))≥2 eq \r(2)，故D错误．故选BC.
13．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的“盲区”中的时长约为________秒(精确到0.1)(参考数据： eq \r(7)≈2.65).
【答案】4．4 【解析】以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得出直线PQ的方程y－10＋t＝ eq \f(20－2.5t,20)·(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2.5t－20,2)－t＋10)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20－2.5t,20)))\s\up12(2)))≤1，化为3t2＋16t－128≤0，结合t≥0，解得0≤t≤ eq \f(8\r(7)－8,3)，而 eq \f(8\r(7)－8,3)≈4.4，因此，点Q在点P的“盲区”中的时长约为4.4秒．
14．已知直线l1：2x－y＋4＝0，则过点(1，1)且与l1平行的直线l2的方程为________，若l2与圆x2＋y2－8y＋6＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
【答案】2x－y－1＝0 2 eq \r(5) 【解析】由题意，设l2的方程为2x－y＋m＝0，因为直线l2过点(1，1)，所以2－1＋m＝0，m＝－1，所以直线l2方程为2x－y－1＝0.已知圆标准方程为x2＋(y－4)2＝10，圆心为C(0，4)，半径为r＝ eq \r(10)，圆心C到直线l2的距离为d＝ eq \f(|0－4－1|,\r(22＋(－1)2))＝ eq \r(5)，所以|AB|＝2 eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(10－5)＝2 eq \r(5).
15．设圆上的点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2 eq \r(2)，求圆的方程．
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由已知可知，直线x＋2y＝0过圆心，则a＋2b＝0.①
又因为点A在圆上，则(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
因为直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2 eq \r(2)，
所以( eq \r(2))2＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a－b＋1,\r(12＋(－1)2)))) eq \s\up12(2)＝r2.③
由①②③，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝－3，,r2＝52,))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝14，,b＝－7，,r2＝244.))
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.