新教材适用2023_2024学年高中数学第8章立体几何初步8.5空间中直线平面的平行8.5.3平面与平面平行课件新人教A版必修第二册

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第八章　立体几何初步8．5　空间中直线、平面的平行8.5.3　平面与平面平行素养目标•定方向  1．借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明．2．会应用平面与平面平行的判定定理和性质定理证明平面与平面平行、直线与平面平行、直线与直线平行． 1．借助几何体判定平面与平面的位置关系，培养直观想象、逻辑推理核心素养．2．通过根据平行关系进行相关计算，培养数学运算核心素养.必备知识•探新知 两条相交直线[拓展]　剖析平面与平面平行的判定定理(1)具备两个条件判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件．①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.(2)体现了转化思想此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行．练一练：在正方体中，相互平行的面不会是( 　　)A．前后相对侧面 B．上下相对底面C．左右相对侧面 D．相邻的侧面[解析]　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.D平行a∥b[拓展]　1.解读平面与平面平行的性质定理(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理．可简述为“若面面平行，则线线平行”．(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线”的错误．2．两个平面平行的一些常见结论(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行．(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交．(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．练一练：已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( 　　)A．平行 B．相交C．异面 D．不确定[解析]　因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′，所以EF∥E′F′.故选A.A关键能力•攻重难 (多选题)下列命题中正确的是( 　　　 )A．若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行C．若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行D．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行题|型|探|究CD[解析]　对A选项，这两个平面可能平行，也可能相交；对B选项，这两个平面可能平行，也可能相交；对C选项，平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则一定存在两条相交直线平行于另一个平面，所以两平面一定平行；对D选项，是面面平行的判定定理．所以选CD.[归纳提升]　利用判定定理证明面面平行，必须具备两个条件：(1)有两条直线平行于另一平面；(2)这两条直线必须相交． 已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( 　　)A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α ∥βC．l∥m，l⊂α，m ⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥βD 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.[分析]　要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．[证明]　如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.[归纳提升]　平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (2023·哈尔滨高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.[证明]　连接SD，SB.因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，同理可证直线EG∥平面BDD1B1，又直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1. (1)如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝______.(2)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2，求证：l1∥l2.(2)证明：连接D1D，因为D与D1分别是BC与B1C2的中点，所以DD1綉BB1，又BB1綉AA1，所以DD1綉AA1，所以四边形A1D1DA为平行四边形，所以AD∥A1D1，又平面A1B1C1∥平面ABC，且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，平面A1D1B∩平面ABC＝l1，所以A1D1∥l1，同理可证：AD∥l2，因为A1D1∥AD，所以l1∥l2.[归纳提升]　(1)面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面．有时需要添加辅助面．(2)证明直线与平面平行，除了定义法，判定定理法以外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线面平行． (1)将本例(1)改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．(2)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点．求证：直线EE1∥平面FCC1.[证明]　因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1，因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.[归纳提升]　空间中各种平行关系相互转化关系的示意图 如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点．(1)求证：GH∥平面BFC；(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存在，说明理由．[解析]　(1)连接BD，∵四边形ABCD为平行四边形， G是线段BD的中点，∵G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF，又BF⊂平面BFC，GH⊄平面BFC，故有GH∥平面BFC.(2)存在，P是线段CD的中点，理由如下：连接PG，PH，由(1)可知：GH∥BF，GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP，∴BF∥平面GHP，∵P、H分别是线段CD、DF的中点，则HP∥CF，HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，∴CF∥平面GHP，BF∩CF＝F，BF⊂平面BCF，CF⊂平面BCF，故平面GHP∥平面BCF.易|错|警|示应用定理条件不足，推理论证不严密致误 　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.[错解]　∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理可证，HG∥平面ABCD.又EF⊂平面 EG，HG⊂平面EG，∴平面EFGH∥平面ABCD.[错因分析]　错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确．[正解]　∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.同理可证EH∥平面ABCD.又EF⊂平面EG，EH⊂平面EG，EF∩EH＝E，∴平面EFGH∥平面ABCD.[误区警示]　利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误． 如右图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( 　　)A．平行 B．相交C．异面 D．不确定A[解析]　∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，∴A1D1∥E1F1，又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点，∴A1E1綉BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1，又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1，又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.课堂检测•固双基1．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( 　　)A．1对 B．2对C．3对 D．4对[解析]　正六棱柱3对侧面和一对底面都是互相平行的．D2．下列结论中，错误的是( 　　)A．平行于同一直线的两个平面平行B．平行于同一平面的两个平面平行C．平行于同一平面的两直线关系不确定D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面[解析]　如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.故选A.A3．已知α，β是两个不重合的平面，直线a⊂α，命题p：a∥β，命题q：α∥β，则p是q的( 　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[解析]　充分性：如图所示在正方体中，取平面A1BCD1为面α，平面ABCD为面β，A1D1为直线a，满足直线a⊂α， a∥β，但是α，β相交，不平行．故充分性不满足．必要性：由面面平行的性质定理可知，若α∥β且a⊂α，则a∥β.故必要性满足．故p是q的必要不充分条件．故选B.4．已知异面直线l、m，且l∥平面α，m⊂平面α，l⊂平面β，α∩β＝n，则直线m、n的位置关系是_______.[解析]　由于l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝n，则l∥n.又直线l、m异面，则直线m、n相交．相交5．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.[证明]　∵AB綉A1B1，C1D1綉A1B1，∴AB綉C1D1.∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴AD1∥BC1.又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.同理BD∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.