人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后测评

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后测评，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))等于( A )
A．eq \(BC,\s\up6(→)) B．eq \(DB,\s\up6(→))
C．eq \(BD,\s\up6(→)) D．eq \(CB,\s\up6(→))
[解析] eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)).
2．(多选题)下列各式中，结果为0的是( AD )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))
B．(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))
C．eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))
D．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))
[解析] 根据三角形法则和向量加法的运算律，可得A、D正确．
3．(多选题)下列等式中正确的是( ABD )
A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b| D．eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))
[解析] 当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
4．已知a∥b，且|a|＝4，|b|＝9，则a＋b的方向( C )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
[解析] 因为a∥b，且|a|＝4，|b|＝9.
所以|b|>|a|>0，
所以当a，b同向时，a＋b的方向与b相同，当a，b反向时，因为|b|>|a|，所以a＋b的方向仍与b相同．
5．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))等于( B )
A．eq \(CD,\s\up6(→)) B．eq \(DC,\s\up6(→))
C．eq \(DA,\s\up6(→)) D．eq \(DO,\s\up6(→))
[解析] eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
二、填空题
6．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上的一点，则eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＝ 0 .
[解析] eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝0.
7．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为_20__，_4__.
[解析] 当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋b|＝8＋12＝20，
当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a|＋|b|，
即4<|a＋b|<20，综上知，4≤|a＋b|≤20，
所以最大值为20，最小值为4.
8．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝_1__.
[解析] 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，则BD＝1，所以|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|＝1.
三、解答题
9．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
[解析] (1)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝c，eq \(CD,\s\up6(→))＝d，则eq \(OD,\s\up6(→))＝a＋b＋c＋d，
(2)由向量三角不等式知|a＋e|≤|a|＋|e|＝3，当且仅当a，e同向时等号成立，
故|a＋e|的最大值为3.
10．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))＝0.求证：eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)).
[解析] 因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))，
eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→)).
又因为eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)).
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝7，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的取值范围是( A )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
[解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线时的情况求解．
即|eq \(AB,\s\up6(→))|－|eq \(AC,\s\up6(→))|≤|eq \(BC,\s\up6(→))|≤|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(AB,\s\up6(→))|，故3≤|eq \(BC,\s\up6(→))|≤17.
2．设P是△ABC所在平面内的一点，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝2eq \(BP,\s\up6(→))，则( C )
A．eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝0 B．eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0
C．eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PA,\s\up6(→))＝0 D．eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0
[解析] ∵eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝2eq \(BP,\s\up6(→))，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PA,\s\up6(→))＝0.故选C．
3．(多选题)已知平行四边形ABCD，设eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝a，且b是一非零向量，则( AC )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b|
[解析] 在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0，所以a为零向量．因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，A、C正确，B错误；|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，D错误．
二、填空题
4．某人在静水中游泳，速度为4eq \r(3) km/h.如果他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际
_沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为_8_km/h__.
[解析] ∵OB＝4eq \r(3)，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.
5．如图所示，若P为△ABC的外心，且eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，则∠ACB＝_120°__.
[解析] 因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.
三、解答题
6．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))；
(2)eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→)).
[解析] (1)eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GE,\s\up6(→)).
(2)eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝0.
C 组·探索创新
在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，向量|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，设a＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))，则|a|＝ eq \r(3) .
[解析] 因为在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，所以∠BAD＝60°，又AB＝AD＝2，所以△ABD为等边三角形，因此BD＝2，连接AC与BD且交于O点，则△ABO为直角三角形，且AB＝2，BO＝1，AO⊥BO，所以AO＝eq \r(AB2－BO2)＝eq \r(3)，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))＋\(CD,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BD,\s\up6(→))))＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))|＝|eq \(AO,\s\up6(→))|＝eq \r(3).