高中人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算随堂练习题

这是一份高中人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算随堂练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．点C在直线AB上，且eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(BC,\s\up6(→))等于( D )
A．－2eq \(AB,\s\up6(→)) B．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
C．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)) D．2eq \(AB,\s\up6(→))
[解析] eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→)).
2．已知λ、 μ∈R，下面式子正确的是( C )
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
[解析] A项，当λ>0时正确，否则错误；B项，0·a是向量而非数0；D项，若b＝λa，则|b|＝|λa|.当λ>0时，|b|＝λ|a|，当λ<0则不成立．
3．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( A )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))不共线，所以AB与CD不平行．又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b，显然eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))，所以AD∥BC，所以四边形ABCD为梯形．故选A．
4．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( D )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且d与c反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且d与c反向
5．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝( D )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
[解析] 由图形可知a＝e1＋3e2，λ＝1, μ＝3，λ＋μ＝4.故选D．
二、填空题
6．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))则使得eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))的实数λ＝_－2__.
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，则A在线段BC上，且AC＝2AB，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，
所以λ＝－2.故答案为－2.
7．点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(3,5) eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝ －eq \f(2,5) eq \(AB,\s\up6(→)).
[解析] ∵eq \f(AC,CB)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5)，且eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))同向，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))；又BC＝eq \f(2,5)AB，且eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AB ,\s\up6(→))反向，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→)).
8．已知向量a与b不共线，若向量ka＋2b与向量2a－b共线，则实数k＝_－4__.
[解析] ∵向量ka＋2b与向量2a－b共线，
∴ka＋2b＝λ(2a－b)＝2λa－λb(λ∈R)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2λ,2＝－λ))，解得k＝－4.
故答案为－4.
三、解答题
9．计算：(1)eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))))－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；
(2)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解析] (1)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b
＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0.
(2)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝(10－3－7)a＋(－8＋9)b＋(2－3)c＝b－c.
10．已知两个非零向量e1、e2不共线，若eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共线．
[解析] ∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)).
又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知向量e1，e2不共线， eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2, eq \(AC,\s\up6(→))＝4e1－e2，eq \(AD,\s\up6(→))＝5e1－4e2，则( C )
A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，B，D三点共线
[解析] 设eq \(AB,\s\up6(→))＝aeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝3，,－a＝2，))无解，故A，B，C三点不共线，A错误；
设eq \(AC,\s\up6(→))＝beq \(AD,\s\up6(→))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5b＝4，,－4b＝－1，))无解，故A，C，D三点不共线，B错误；
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝4e1－e2－(3e1＋2e2)＝e1－3e2，
eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝5e1－4e2－4e1＋e2＝e1－3e2，
故eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，故B，C，D三点共线，C正确；
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝5e1－4e2－3e1－2e2＝2e1－6e2，
设eq \(AB,\s\up6(→))＝ceq \(BD,\s\up6(→))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c＝3，,－6c＝2，))无解，故A，B，D三点不共线，D错误．
故选C．
2．(多选题)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是( ABC )
A．eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－b B．eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b
C．eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b D．eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a
[解析] 在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－b－eq \f(1,2)a，故A正确；eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，故B正确；eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝－b－a，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)AB＝b＋eq \f(1,2)(－b－a)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，故C正确；eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a，故D不正确．故选ABC．
3．(2022·新高考Ⅰ卷) 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( B )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
[解析] 因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DA,\s\up6(→))，即eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝2(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))，
所以eq \(CB,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))－2eq \(CA,\s\up6(→))＝3n－2m＝－2m＋3n.
故选B．
二、填空题
4．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC．若eq \(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 eq \f(1,2) .
[解析] 由已知eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，从而λ1＋λ2＝eq \f(1,2).
5．e1，e2是平面内两个不共线的向量，且a＝e1＋ke2，b＝4ke1＋e2，若a∥b，则实数k＝ ±eq \f(1,2) .
[解析] 因为a∥b，所以∃λ∈R，使得b＝λa成立，即e1＋ke2＝4kλe1＋λe2.
因为e1，e2不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝4kλ,k＝λ))，解得k＝±eq \f(1,2).
故答案为±eq \f(1,2).
三、解答题
6．已知向量m，n不共线，且eq \(OM,\s\up6(→))＝3m－2n，eq \(ON,\s\up6(→))＝m－3n，eq \(OQ,\s\up6(→))＝2m＋λn.
(1)用m，n表示eq \(MN,\s\up6(→))；
(2)若eq \(OM,\s\up6(→))∥eq \(OQ,\s\up6(→))，求λ的值．
[解析] (1)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝m－3n－(3m－2n)＝－2m－n.
(2)因为eq \(OM,\s\up6(→))∥eq \(OQ,\s\up6(→))，eq \(OM,\s\up6(→))＝3m－2n，eq \(OQ,\s\up6(→))＝2m＋λn，
所以∃t∈R，eq \(OM,\s\up6(→))＝teq \(OQ,\s\up6(→))，即3m－2n＝t(2m＋λn)，
又向量m，n不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝2t，,－2＝tλ，))
解得t＝eq \f(3,2)，λ＝－eq \f(4,3)，即λ的值为－eq \f(4,3).
C 组·探索创新
在△ABC中，D，E，F，分别是边BC，CA，AB的中点，M是△ABC的重心，若eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))＝λeq \(MF,\s\up6(→))，则λ＝_4__.
[解析] 因F为AB的中点，所以eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＝2eq \(MF,\s\up6(→))，
因M是△ABC的重心，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(MC,\s\up6(→))))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(MF,\s\up6(→))))，所以eq \(MC,\s\up6(→))＝－2eq \(MF,\s\up6(→))，
eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))＝2eq \(MF,\s\up6(→))－(－2eq \(MF,\s\up6(→)))＝4eq \(MF,\s\up6(→))，
故λ＝4，故答案为4.