高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时训练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．(2023·黑龙江省哈尔滨)在平面直角坐标系中，向量eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,4)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(x,1)，若A，B，C三点共线，则x的值为( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 因为A，B，C三点共线，
则eq \(PC,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋μeq \(PB,\s\up6(→))，(λ＋μ＝1)，
即(x,1)＝λ(1,4)＋μ(2,3)＝(λ＋2μ，4λ＋3μ)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝λ＋2μ，,1＝4λ＋3μ，,λ＋μ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(μ＝3，,λ＝－2，,x＝4.))
故选C．
2．已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若eq \(AB,\s\up6(→))∥a，则实数y的值为( C )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，y－1)，又eq \(AB,\s\up6(→))∥a，
所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7.
3．已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，sin α))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α，\f(1,6)))，若a∥b，则锐角α为( A )
A．30° B．60°
C．45° D．75°
[解析] ∵a∥b，∴sin2α＝eq \f(3,2)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,4)，
∴sin α＝±eq \f(1,2).
∵α为锐角，∴α＝30°.
4．(2023·云南省楚雄州)已知A(1,1)，B(7,4)，若点C是靠近点B的三等分点，则C的坐标为( A )
A．(5,3) B．(3,2)
C．(6,2) D．(9,5)
[解析] 设C(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(6,3)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(7－x,4－y)，
因为点C是靠近点B的三等分点，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(CB,\s\up6(→))，
即6＝3(7－x)，3＝3(4－y)，解得x＝5，y＝3.
故选A．
5．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( A )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．2 D．－2
[解析] 2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，
a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)，
∵(2a＋b)∥(a－mb)，
∴－2＝(1＋3m)×4，∴6m＝－3，解得m＝－eq \f(1,2).
二、填空题
6．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝ eq \f(8,5) .
[解析] 由已知，a∥b，则2×4＝5λ，故λ＝eq \f(8,5).
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为_λ＝u__.
[解析] ∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．
又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，
∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0.∴λ＝u.
8．已知a＝(1,1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，则实数λ的最小值是 －eq \f(1,4) .
[解析] 因为a∥b，所以x2－x－λ＝0，即λ＝x2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4).
三、解答题
9．(2023·四川成都)已知O(0,0)，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(3，－2)．
(1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；
(2)若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标．
[解析] (1)设点C的坐标为(x，y)，
因为O(0,0)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(3，－2)，可得A(2,1)，B(3，－2)，则eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，
若四边形OACB为平行四边形，可得eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝2，,y＋2＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝－1，))
故点C的坐标为(5，－1)．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
由(1)可知：A(2,1)，B(3，－2)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－2，y－1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－3)，
若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝\f(2,3)×1，,y－1＝\f(2,3)×－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,3)，,y＝－1，))
故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－1)).
10．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))
∴m＝eq \f(5,9)，n＝eq \f(8,9).
(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．
又∵(a＋kc)∥(2b－a)，
∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－eq \f(16,13).
B 组·素养提升
一、选择题
1．如图，已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，∠AOC＝30°，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则x＋y＝( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，
根据条件不妨设A(1,0)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，则由eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝x(1,0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)y＝\f(3,2)，,\f(\r(3),2)y＝\f(\r(3),2).))
解得x＝2，y＝1，所以x＋y＝3.
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1,1)，c＝(m－2，－n)，且(a＋b)∥c，则mn的最大值为( B )
A．1 B．2
C．2eq \r(2) D．4
[解析] a＋b＝(1,2)，c＝(m－2，－n)，(a＋b)∥c，故－n＝2(m－2)，即2m＋n＝4，
当m≤0，n>0或n≤0，m>0时，mn≤0；
当m>0且n>0时，2m＋n＝4≥2eq \r(2mn)，mn≤2，当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立；
综上所述：mn的最大值为2.故选B．
3．(多选题)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点构成三角形，则实数k的值可能为( ABD )
A．k＝－2 B．k＝eq \f(1,2)
C．k＝1 D．k＝－1
[解析] 因为若A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，又eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，
即k＝1.故选ABD．
二、填空题
4．已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq \r(3))．若a－2b与c共线，则k＝_1__.
[解析] a－2b＝(eq \r(3)，3)．因为a－2b与c共线，
所以eq \f(k,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，解得k＝1.
5．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且|eq \(P1P,\s\up6(→))|＝eq \f(2,3)|eq \(PP2,\s\up6(→))|，则点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5))) .
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
由于点P在线段P1P2上，则有eq \(P1P,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PP2,\s\up6(→))，
又eq \(P1P,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq \(PP2,\s\up6(→))＝(－1－x,3－y)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝\f(2,3)－1－x，,y＋1＝\f(2,3)3－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,5)，,y＝\f(3,5)，))
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5))).
三、解答题
6．设eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(3,4)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(t,1)．
(1)当t＝2时，试用向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))表示eq \(OC,\s\up6(→))；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数t应满足的条件．
[解析] (1)当t＝2时，eq \(OC,\s\up6(→))＝(2,1)．
设eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，所以(2,1)＝x(1，－2)＋y(3,4)＝(x＋3y，－2x＋4y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝2，,－2x＋4y＝1，))所以x＝y＝eq \f(1,2).
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→)).
(2)由已知eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,6)≠0，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(t－1,3)
若A，B，C三点共线，由向量共线定理可知，
存在唯一的λ∈R，使得eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→)).
所以(t－1,3)＝λ(2,6)＝(2λ，6λ)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－1＝2λ，,3＝6λ，))所以λ＝eq \f(1,2)，t＝2.
所以当t≠2时，A，B，C三点能构成三角形．
C 组·探索创新
(2023·合肥高一检测)如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \r(3)λ－μ的最小值是( D )
A．0 B．eq \r(3)
C．2 D．－1
[解析] 以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，设P(cs θ，sin θ)，(0°≤θ≤150°)，
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
所以(cs θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－\f(\r(3),2)μ＝cs θ，,\f(1,2)μ＝sin θ，))
解得λ＝cs θ＋eq \r(3)sin θ，μ＝2sin θ，
那么eq \r(3)λ－μ＝sin θ＋eq \r(3)cs θ＝2sin(θ＋60°)，
因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，
故sin(θ＋60°)≥－eq \f(1,2)，
因此eq \r(3)λ－μ的最小值为－1.