高中数学6.4 平面向量的应用第1课时课后作业题

这是一份高中数学6.4 平面向量的应用第1课时课后作业题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(\r(6),3)，b＝2eq \r(2)，c＝eq \r(3)，则a＝( D )
A．2 B．eq \r(2)
C．3 D．eq \r(3)
[解析] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝3，得a＝eq \r(3).
故选D．
2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq \r(3)b＝12，则c的值为( C )
A．4 B．8
C．4或8 D．无解
[解析] 由3a＝eq \r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq \r(3)，
利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccs A，
即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( D )
A．eq \f(5,18) B．eq \f(3,4)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(7,8)
[解析] 设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，
由余弦定理得
cs A＝eq \f(4x2＋4x2－x2,2·2x·2x)＝eq \f(7,8)，故选D．
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cs B等于( B )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(3,4)
C．eq \f(\r(2),4) D．eq \f(\r(2),3)
[解析] ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，即b＝eq \r(2)a，
由余弦定理得，
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq \f(3,4).
5．(2022·平顶山高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acs A，则cs A＝( D )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(6),3)
[解析] 因为c＝2acs A，
由余弦定理可得c＝2a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，将a＝3，b＝5代入整理得c＝2eq \r(6)，所以cs A＝eq \f(c,2a)＝eq \f(\r(6),3).故选D．
二、填空题
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2[解析] 由a2＋b2－c2<0知cs C<0，所以C为钝角．故C＝eq \f(2,3)π.
7．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq \r(10)，AB＝2，则BC＝ 3eq \r(2) .
[解析] 由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcs B，又因为B＝45°，AC＝eq \r(10)，AB＝2，所以(eq \r(10))2＝BC2＋22－2×BC×2×cs 45°，
整理，得BC2－2eq \r(2)BC－6＝0，
所以(BC－3eq \r(2))(BC＋eq \r(2))＝0，
解得BC＝3eq \r(2)或BC＝－eq \r(2)(舍去)，
所以BC边的长为3eq \r(2).
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，a2＋c2－ac＝9，则角B＝ eq \f(π,3) .
[解析] 因为b＝3，a2＋c2－ac＝9，即a2＋c2－ac＝b2，
所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
故答案为eq \f(π,3).
三、解答题
9．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角．
[解析] 由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)．因此c是最大边，其所对角C为最大内角．
由余弦定理推论得：
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(9k2＋25k2－49k2,2·3k·5k)＝－eq \f(1,2)，
∵0°10．在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.
[解析] 在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－2bc－2bccs A，
即72＝82－2bc＋bc，
∴bc＝15.又b＋c＝8，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝5，,c＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,c＝5.))
B 组·素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( D )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(2,3)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,2)
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs 〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉，
由向量模的定义和余弦定理可以得出|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，cs 〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(1,4).
故eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝3×2×eq \f(1,4)＝eq \f(3,2).
2．在△ABC中，cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝( A )
A．4eq \r(2) B．eq \r(30)
C．eq \r(29) D．2eq \r(5)
[解析]cs C＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5)，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cs C，
所以AB2＝1＋25－2×1×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，
所以AB＝4eq \r(2).
3．(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为( AC )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(5π,6) D．eq \f(2π,3)
[解析] 由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得eq \f(a2＋c2－b2sin B,\f(a2＋c2－b2,2ac))＝ac，
∴sin B＝eq \f(1,2)，∴B＝eq \f(π,6)或eq \f(5,6)π.故选AC．
二、填空题
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝ eq \f(4,3) .
[解析] 因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcs 60°，
即c2＝a2＋b2－ab.①
又因为(a＋b)2－c2＝4，
所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②
由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝eq \f(4,3).
5．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为 eq \f(π,3) .
[解析] ∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，
∵0三、解答题
6．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2eq \r(3)，试判断△ABC的形状．
[解析] (1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccs A，∴2cs A＝1，∴cs A＝eq \f(1,2).
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A，且a＝eq \r(3)，
∴(eq \r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq \f(1,2)＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2eq \r(3)，与①联立，解得bc＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝eq \r(3)，
于是a＝b＝c＝eq \r(3)，即△ABC为等边三角形．
C 组·探索创新
在△ABC中，b＝asin C，c＝acs B，试判断△ABC的形状．
[解析] 由余弦定理知cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
代入c＝acs B，得c＝a·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
∴c2＋b2＝a2.
∴△ABC是以A为直角的直角三角形．
又∵b＝asin C，∴b＝a·eq \f(c,a).∴b＝c.
∴△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．