人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．设复数z＝a＋bi＝r(cs θ＋isin θ)，其中a，b∈R，eq \r(a2＋b2)＝r，arg z＝θ，下列说法正确的是( D )
A．r>0，θ∈[0,2π) B．r≥0，θ∈(0,2π)
C．r∈R，θ∈(－π，π) D．r≥0，θ∈[0,2π)
[解析] 由复数三角形式的特征知，r≥0,0≤θ<2π.故选D．
2．复数－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,5)＋isin \f(π,5)))辐角的主值是( C )
A．eq \f(π,5) B．eq \f(4π,5)
C．eq \f(6π,5) D．eq \f(9π,5)
[解析] 解法一：∵－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,5)＋isin \f(π,5)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(6π,5)＋isin \f(6π,5)))，
∴辐角的主值为eq \f(6π,5)，故选C．
解法二：复数对应点在第三象限，
∴辐角主值是第三象限角．
3．将代数形式的复数z＝2i改写成三角形式为( D )
A．2＋cs eq \f(π,2)＋isin eq \f(π,2) B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)－isin \f(π,2)))
C．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,2)＋ics \f(π,2))) D．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)＋isin \f(π,2)))
[解析] 因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝eq \f(π,2)，
从而可知2i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)＋isin \f(π,2))).
4．复数－2eq \r(3)－2i的辐角主值为( C )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6)
C．eq \f(7π,6) D．eq \f(11π,6)
[解析] ∵－2eq \r(3)－2i＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))
＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,6)＋isin \f(7π,6)))，
又∵eq \f(7π,6)∈[0,2π)，故－2eq \r(3)－2i的辐角主值为eq \f(7π,6).
5．复数(sin 10°＋ics 10°)(sin 10°＋ics 10°)的三角形式是( B )
A．sin 20°＋ics 20° B．cs 160°＋isin 160°
C．cs 20°＋isin 20° D．sin 160°＋ics 160°
[解析] 令z＝sin 10°＋ics 10°，其三角形式为z＝cs 80°＋isin 80°，所以z·z＝(cs 80°＋isin 80°)2＝cs 160°＋isin 160°，故选B．
二、填空题
6．设z＝eq \r(3)－i，对应的向量为eq \(OZ,\s\up6(→))，将eq \(OZ,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为_2__.
[解析] 根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：(eq \r(3)－i)(cs 30°＋isin 30°)＝(eq \r(3)－i)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝2.
7．2(cs 15°＋isin 15°)×5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝ 5eq \r(2)＋5eq \r(2)i (用代数形式表示)．
[解析] 原式＝2(cs 15°＋isin 15°)×5(cs 30°＋isin 30°)
＝2×5[cs(15°＋30°)＋isin(15°＋30°)]
＝10(cs 45°＋isin 45°)
＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))
＝5eq \r(2)＋5eq \r(2)i.
8．计算(cs 40°＋isin 40°)÷(cs 10°＋isin 10°)＝ eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i .
[解析] (cs 40°＋isin 40°)÷(cs 10°＋isin 10°)＝cs(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cs 30°＋isin 30°＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i.
三、解答题
9．复数的代数形式与三角形式互化．
(1)－1－eq \r(3)i；
(2)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π)).
[解析] (1)－1－eq \r(3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4,3)π＋isin\f(4,3)π)).
(2)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝－eq \r(3)＋i.
10．设复数z＝(1－eq \r(3)i)5，求z的模和辐角的主值．
[解析] (1－eq \r(3)i)5＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))5
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,3)＋isin\f(5π,3)))5
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(25π,3)＋isin\f(25π,3)))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))，
∴复数z的模为32，辐角的主值为eq \f(π,3).
B 组·素养提升
一、选择题
1．在复平面中，把复数z＝eq \r(2)＋2i对应的向量按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为( D )
A．eq \f(\r(2)＋2,2)＋eq \f(\r(2)＋2,2)i B．eq \f(\r(2)－2,2)＋eq \f(\r(2)＋2,2)i
C．1＋eq \r(2)＋(1＋eq \r(2))i D．1－eq \r(2)＋(1＋eq \r(2))i
[解析] z对应向量逆时针方向旋转45°，由乘法的几何意义，得到的复数为zeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))＝(eq \r(2)＋2i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))＝1＋i＋eq \r(2)i－eq \r(2)＝1－eq \r(2)＋(1＋eq \r(2))i.故选D．
2．(多选题)在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i,3＋2i，则顶点C对应的复数可能是( CD )
A．eq \f(1－\r(3),2)＋eq \f(1＋\r(3),2)i B．eq \f(1＋\r(3),2)＋eq \f(1－\r(3),2)i
C．eq \f(5－\r(3),2)＋eq \f(3＋\r(3),2)i D．eq \f(5＋\r(3),2)＋eq \f(3－\r(3),2)i
[解析] eq \(AB ,\s\up6(→))对应的复数为 (3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，则eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数为(1＋i)(cs 60°＋isin 60°)＝eq \f(1－\r(3),2)＋eq \f(1＋\r(3),2)i，或(1＋i)[cs(－60°)＋isin(－60°)]＝eq \f(1＋\r(3),2)＋eq \f(1－\r(3),2)i，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数为eq \f(5－\r(3),2)＋eq \f(3＋\r(3),2)i或eq \f(5＋\r(3),2)＋eq \f(3－\r(3),2)i，故选CD．
3．向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))分别对应非零复数z1，z2，若eq \(OZ1,\s\up6(→))⊥eq \(OZ2,\s\up6(→))，则eq \f(z1,z2)是( B )
A．负实数
B．纯虚数
C．正实数
D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)
[解析] 设复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，由于eq \(OZ1,\s\up6(→))⊥eq \(OZ2,\s\up6(→))，
所以eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1cs θ1＋isin θ1,r2cs θ2＋isin θ2)
＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]
＝eq \f(r1,r2)[cs(±90°)＋isin(±90°)]
＝±eq \f(r1,r2)i，即eq \f(z1,z2)为纯虚数．故选B．
二、填空题
4．复数z＝(a＋i)2的辐角主值为eq \f(3π,2)，则实数a＝_－1__.
[解析] 由于复数z的辐角主值为eq \f(3π,2)，故z＝req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,2)＋isin \f(3π,2)))＝－ir，
又z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，所以a2－1＋2ai＝－ir，所以a2－1＝0,2a＝－r，故a＝－1.
5．eq \f(4,cs \f(π,4)＋isin \f(π,4))＝ 2eq \r(2)－2eq \r(2)i .
[解析] eq \f(4,cs \f(π,4)＋isin \f(π,4))＝eq \f(4cs 0＋isin 0,cs \f(π,4)＋isin \f(π,4))
＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i))＝2eq \r(2)－2eq \r(2)i.
三、解答题
6．回答下面两题
(1)求证：eq \f(1,cs θ＋isin θ)＝cs θ－isin θ；
(2)写出下列复数z的倒数eq \f(1,z)的模与辐角：
①z＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋isin\f(π,12)))；②z＝cseq \f(π,6)－isineq \f(π,6)；③z＝eq \f(\r(2),2)(1－i)．
[解析] (1)证法1：左边＝eq \f(cs 0＋isin 0,cs θ＋isin θ)＝cs(0－θ)＋isin(0－θ)＝cs θ－isin θ＝右边．
证法2：∵(cs θ＋isin θ)(cs θ－isin θ)＝cs2θ－(isin θ)2
＝cs2θ＋sin2θ＝1，
∴eq \f(1,cs θ＋isin θ)＝cs θ－isin θ，
∴原等式成立．
(2)①z＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋isin\f(π,12)))时，
eq \f(1,z)＝eq \f(1,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋isin\f(π,12))))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)－isin\f(π,12)))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(23π,12)＋isin\f(23π,12)))，
∴eq \f(1,z)的模为eq \f(1,4)，辐角为eq \f(23π,12)＋2kπ，k∈Z.
②z＝cseq \f(π,6)－isineq \f(π,6)时，
eq \f(1,z)＝eq \f(1,cs\f(π,6)－isin\f(π,6))＝cseq \f(π,6)＋isineq \f(π,6).
∴eq \f(1,z)的模为1，辐角为eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z.
③z＝eq \f(\r(2),2)(1－i)时，
eq \f(1,z)＝eq \f(\r(2),1－i)＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)i＝cseq \f(π,4)＋isineq \f(π,4)，
∴eq \f(1,z)的模为1，辐角为eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z.
C 组·探索创新
在复平面内，把与复数eq \f(3\r(3),4)＋eq \f(3,4)i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转eq \f(π,3)，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．
[解析] eq \f(3\r(3),4)＋eq \f(3,4)i＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))
＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，
由题意得
eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))×2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))
＝eq \f(3,2)×2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))))
＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,2)＋isin\f(π,2)))
＝3i，即与所得向量对应的复数为3i.