2024成都外国语学校高二上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024成都外国语学校高二上学期12月月考试题数学含解析，共29页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为，25B， 方程，化简的结果是， 已知的三个顶点都在椭圆等内容，欢迎下载使用。

（测试时间120分钟，满分150分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
3. 在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出，之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ）
A 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.75
4. 方程，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
6. 已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（ ）
A. B. 1C. D.
7. 已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 数据的第65百分位数为35，则的取值可以是（ ）
A. 20B. 35C. 42D. 53
10. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，则（ ）
A. 事件A与事件B互斥B.
C. 事件A与事件相互独立D.
11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A. 的实轴长为2
B. 的离心率为
C. 面积为
D. 的平分线所在直线的方程为
12. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A. 满足MP//平面的点P的轨迹长度为
B. 满足的点P的轨迹长度为
C. 存在点P，使得平面AMP经过点B
D. 存在点P满足
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．
14. 已知向量，，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
15. 已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为______.
16. 过点作抛物线两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数、将数据分成7组：，，…，，并整理得到如图的频率分布直方图．
（1）估计总体400名学生中分数小于60的人数；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
（3）根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考．
18. 已知圆和圆相交于两点，求：
（1）线段的长；
（2）两圆有公切线方程.
19. 如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.
（1）证明：当为棱的中点时，平面；
（2）是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
20. 甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率.
21. 已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2．
（1）求抛物线C的方程和点坐标；
（2）过点的直线l交抛物线C于A、B，若的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
22. 已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线过定点；
（3）求面积的最大值.成都外国语学校2023~2024学年度上期高二上12月考试
数学试题
（测试时间120分钟，满分150分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线的斜率，进而可得出该直线的倾斜角.
【详解】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为.
故选：A.
2. 已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A B. C. 1D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解
【详解】因为，分别是平面的法向量，且，
所以，即，解得
故选：B
3. 在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出，之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ）
A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.75
【答案】A
【解析】
【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.
【详解】组数据中，都不含的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；
故三只豚鼠都没被感染的概率为：.
故选：.
4. 方程，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.
【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12，
即，
所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，
则，，
所以，，
故方程为.
故选：B.
5. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.
【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，
故选：B.
6. 已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】
因为，，
所以
，
因为，所以，，，
所以.
故选：C
7. 已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，可知，再结合双曲线的定义，得，在中用余弦定理可知，又，整理可得，可得的斜率.
【详解】由已知直线的方程为，即，点，
则，
因为，所以为线段的中点，
则，
设双曲线的左焦点为，
则，
在中，
，
又，
所以，
故的斜率为，
故选：B.
8. 已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范围
【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点，
由 得，
所以或，
当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件；
当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要，
即，即，解得，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 数据的第65百分位数为35，则的取值可以是（ ）
A. 20B. 35C. 42D. 53
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据第百分位数的概念进行计算并判断.
【详解】因为，
所以第百分位数是这组数据的第个，即为，
又因为本组数据中小于的数据已有个，所以，
故选：BCD.
10. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，则（ ）
A. 事件A与事件B互斥B.
C. 事件A与事件相互独立D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.
【详解】由题意可得：，则，
∵，
∴，即事件A与事件B不互斥，A错误；
可得：，
故，
可知B正确，D错误；
又∵，
∴事件A与事件相互独立，C正确；
故选：BC.
11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A. 的实轴长为2
B. 的离心率为
C. 的面积为
D. 的平分线所在直线的方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出双曲线的解析式，即可求出实轴长和离心率，求出焦点即可得出面积，利用倾斜角即可求出的平分线所在直线的方程.
【详解】由题意，
在中，
∵关于的平分线的对称点恰好在上，
∴，，三点共线，且，
∵，∴.
设，，
根据双曲线定义可得，，
解得，，即，∴.
在中，根据勾股定理可得，，解得，
∴的实轴长为2，所以A正确；
又，，∴的离心率为，所以B不正确；
的面积为，∴C正确；
∵，∴，
∵，易得的平分线的倾斜角为，
∴的平分线所在直线的方程为，即，所以D正确.
故选：ACD.
12. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A. 满足MP//平面的点P的轨迹长度为
B. 满足的点P的轨迹长度为
C. 存在点P，使得平面AMP经过点B
D. 存在点P满足
【答案】AD
【解析】
【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，为正方形上的点，可设，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.
【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，
由正方体的性质知，，，，
所以平面平面，又平面，平面，
故点的轨迹为线段，故A正确；
对B，方法一：在平面中过作，交于，设，
则，，，
由，可解得，
同理，在平面中过作，交于，可得，
因为，所以平面，
因为，所以平面，所以点P的轨迹为线段，长度为，故B不正确；
方法二：以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，设，且，，
，，
，即，
又，，则点的轨迹为线段，,
且，故B错误；
对于C，方法一：取中点，连接，正方体中，易得，所以平面截正方体的截面为平面，显然平面，故不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；
方法二：设，且，，
若平面AMP经过点B，则，且，
又,
所以，即，
因此，从而，不合题意，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B,故C错误；
对于D，方法一：延长至，令，则，
所以，
因为，所以存在点满足，故D正确.
方法二：点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，
故，故存在点满足，故D正确.
故选：AD.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．
【答案】或
【解析】
【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．
【详解】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
14. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线.
【详解】由；
由.
综上：且.
故答案为：.
15. 已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为______.
【答案】8
【解析】
【分析】由椭圆的定义以及三角形中位线的性质，即可得到本题答案.
【详解】由椭圆，得，
由题意可知如图：
连结，点M是线段的中点，
可得OM为的中位线，
所以，
由椭圆的定义可知，得，
所以的周长为：.
故答案为：8
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，其中涉及到三角形中位线的应用.
16. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.
【答案】4
【解析】
【分析】由题意，利用两种方法化简所求代数式，
方法一：设出过与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则，可得方程，根据题意，结合韦达定理，可得，同样的思路，设出过焦点的直线，联立方程，结合韦达定理，可得，故可得第一种所求代数式的表示；
方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得，结合方法一中，可得第二种所求代数式的表示；
综上建立方程，求得的值，进而求得答案.
【详解】由题意，显然过点作抛物线的切线的斜率存在，设该斜率为，
则该切线方程，即，
联立，消去可得，
由于切线与抛物线只有唯一交点，则，
整理可得，
由题意，可知为方程的两个根，则，
由题意，设直线的方程为，
联立可得，消去可得，由题意可知为该方程的两个根，则，
故，
由抛物线方程，可得函数与函数，则与
不妨设在第一象限，则，即，且，
由设在第一象限，则在第四象限，即，可得，且，故，
由，则，
综上可得，解得，故.
故答案为：.
【点睛】对于抛物线的焦点弦，要熟记直线与抛物线联立，消元选择消去一次项，根据韦达定理，可得两个交点坐标与之间的等量关系；
对于切线的斜率，利用导数的几何意义进行计算，要善于化简表达式，可用纵坐标表示，结合韦达定理，可得简化计算.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数、将数据分成7组：，，…，，并整理得到如图的频率分布直方图．
（1）估计总体400名学生中分数小于60的人数；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
（3）根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考．
【答案】（1）80 （2）20
（3）65分
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图求出分数不小于60的频率，即可得到分数小于60的频率，即可估计人数；
（2）由频率分布直方图求出分数在区间内的人数，即可估计总体中分数在区间内的人数；
（3）根据百分位数计算规则计算可得.
【小问1详解】
解：据频率分布直方图可知，样本中分数不小于60的频率为，所以样本中分数小于60的频率为，
所以估计总体400名学生中分数小于60的人数为．
【小问2详解】
解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为，
分数在区间内的人数为，
所以总体中分数在区间内的人数估计为．
【小问3详解】
解：设分数的第25百分位数为，
分数小于70的频率为，
分数小于60的频率为，
所以，即，解得，
则本次考试的及格分数线为65分．
18. 已知圆和圆相交于两点，求：
（1）线段的长；
（2）两圆有公切线方程
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）两方程联立求出直线的方程，利用垂径定理和勾股定理即可求出线段的长；
（2）利用图象找出一条公切线，利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程.
【小问1详解】
由题意，
联立方程组，两式相减得到直线的方程为，
则原点到直线的距离为，
根据勾股定理得
【小问2详解】
由题意及（1）得，
在圆中， ，
∴，半径为，
在圆中，圆心，半径为，
可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线，
则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，
由和，可得两圆心所在直线为，
即，
联立方程组，解得，
即交点坐标为，
在直线上任取一点，
设点关于直线对称点为，
可得，解得，
即对称点的坐标为，
所求的另一条切线过点，
可得其方程为，
故所求切线方程为或.
19. 如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.
（1）证明：当为棱的中点时，平面；
（2）是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）取中点为，通过平行关系证明四边形为平行四边形，再结合线面平行的判定定理完成证明；
（2）建立合适空间直角坐标系，将垂直关系转化为向量的数量积为，结合结果进行判断即可.
【小问1详解】
当为的中点时，取中点为，连接，
因为分别为的中点，故可得，
根据已知条件可知：，故，
故四边形为平行四边形，则，
又平面平面，
故面；
【小问2详解】
因为平面平面，故，
又四边形为矩形，故，则两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，设，
若，则，
即，解得，不满足题意，
故不存在.
20. 甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设事件为甲胜乙，为甲胜丙，为乙胜丙，然后得出丙被淘汰可用事件，根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性，即可得出答案；
（2）分最终的冠军为甲，乙，丙，分别求解出概率，然后根据互斥事件的概率公式，即可得出答案.
【小问1详解】
记事件为甲胜乙，则，则，
事件为甲胜丙，则，，
事件为乙胜丙，则，.
则丙被淘汰可用事件来表示，
所以，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为
.
【小问2详解】
若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示，
；
若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示，
；
若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示，
.
所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为
.
21. 已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2．
（1）求抛物线C的方程和点坐标；
（2）过点的直线l交抛物线C于A、B，若的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
【答案】（1）抛物线方程为：， 点坐标为（2，1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出，则可得抛物线方程，再将代入抛物线方程可求出，从而可求得点的坐标，
（2）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再由的角平分线与y轴垂直，可得，化简可求出的值，再利用弦长公式可求得弦AB的长.
【小问1详解】
由可得：p＝2，
故抛物线方程为：，
当y＝1时，，
又因为x＞0，所以x＝2，
所以点坐标为（2，1）；
【小问2详解】
由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，，，
由，得，
所以，，，
因为的角平分线与y轴垂直，所以，
所以，即，
即，
所以，，，
所以.
22. 已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线过定点；
（3）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件列出方程组求解；
（2）设直线的方程为，根据已知条件，利用韦达定理和中点公式求得，，然后按照其横坐标是否相等，分别研究直线的方程，从而得到结论；
（3）求得△MNF2面积关于的表达式，然后利用换元思想，设转化为关于的函数，利用函数的单调性求解得到.
【小问1详解】
因为椭圆经过点，
所以，因为与短轴一个顶点构成一个等腰直角三角形，
所以，
所以，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
证明：设直线的方程为，
则直线的方程为，
联立，消去得，
设，则,
所以，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
当时，所在直线为，
当时，，直线的方程为，
整理得，
令，可得，即有，
所以直线过定点，且为.
【小问3详解】
方法一：面积为.
令，
由，，在上，∴递增，则在上递减，所以当，即时，取得最大值为，
则面积的最大值为.
方法二：，
则面积，
令，则，当且仅当，
即时，面积的最大值为.
所以面积的最大值为.