2022-2023学年广西南宁三十六中等3校高一（下）开学数学试卷（2月份）（含解析）

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这是一份2022-2023学年广西南宁三十六中等3校高一（下）开学数学试卷（2月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|3≤x<5}，集合B={x|4A. (3,6)B. [3,6)C. (4,5]D. (4,5)
2.已知函数f(x)=x2+1,x≥0f(x+3),x<0，则f(−1)=( )
A. 5B. 3C. 2D. −2
3.cs24°cs36°−sin24°cs54°=( )
A. cs12°B. −cs12°C. −12D. 12
4.已知a=lg23，b=2−0.4，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系为
( )
A. a5.果农采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，若某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h=m⋅at.若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为5%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%.则采摘下来的这种水果失去20%新鲜度大概是后( )
A. 第12天B. 第13天C. 第15天D. 第18天
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象与直线y=1的相邻两个交点的距离分别为π3和2π3，若f(π3)=1，则φ的值为( )
A. π6B. −π6C. −π3D. π3
7.函数y=ln|ex−e−x|的部分图象是( )
A. B. C. D.
8.定义在R上的奇函数f(x)，在(−∞,0)上单调递增，且f(1)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是( )
A. [−1,0]∪[1,2]B. (−∞,1]∪[2,+∞)
C. [−1,1]∪[3,+∞)D. [−1,1]∪[2,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某同学用二分法求函数f(x)=2x+3x−7的零点时，计算出如下结果：f(1.5)≈0.33，f(1.25)≈−0.87，f(1.375)≈−0.28，f(1.4375)≈0.02，f(1.40625)≈−0.13.下列说法正确的有( )
A. f(x)的零点在区间(1.375,1.40625)内B. f(x)的零点在区间(1.25,1.4375)内
C. 精确到0.1的近似值为1.4D. 精确到0.1的近似值为1.5
10.已知函数f(x)=xa的图象经过点(12,2)，则( )
A. f(x)的图象经过点(2,4)B. f(x)的图象关于原点对称
C. f(x)在(0,+∞)上单调递增D. f(x)在(0,+∞)内的值域为(0,+∞)
11.以下说法正确的有( )
A. 实数x>y>0是1x<1y成立的充要条件
B. ab≤(a+b2)2对a，b∈R恒成立
C. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1<0”
D. 若2x+1y=1，x>0，y>0，则x+2y的最小值是8
12.已知sin(α−β)csα−cs(α−β)sinα=35，则cs(β+π4)的可能值为( )
A. −7 210B. − 210C. 210D. 7 210
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= 1−lg2x的定义域为______．
14.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为1，圆心角为2π3，则此弧田的面积为．
15.若“∃x∈(0,+∞)，λx>x2+1”是假命题，则实数λ的取值范围是．
16.已知函数f(x)=−x2−2x+1,x≤0|lg0.5x|,x>0，若方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax−1(a>0，且a≠1)满足f(1)+f(2)=−149．
(1)求a的值；
(2)解不等式f(x)>2．
18.(本小题12分)
已知π2<α<π,sinα=45．
(1)求sin(α−π3)；
(2)若角β的终边上有一点P(7,1)，求tan(α+2β)．
19.(本小题12分)
某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为x米，写出泳池的总造价f(x)，问泳池的长为多少米时，可使总造价f(x)最低，并求出泳池的最低造价．
20.(本小题12分)
已知f(x)=2+lg3x，x∈[1,9]，g(x)=[f(x)]2+f(x2)，
(1)求g(x)的定义域；
(2)求g(x)的最大值以及g(x)取最大值时x的值．
21.(本小题12分)
设函数f(x)是定义在R上的增函数，对于任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)证明f(x)是奇函数；
(2)解不等式12f(x2)−f(x)>12f(3x)．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=4sinωx2csωx2+1，其中常数ω>0．
(1)y=f(x)在[−π4,3π4]上单调递增，求ω的取值范围；
(2)若ω<4，将函数y=f(x)图象向左平移π3个单位，得到函数y=g(x)的图象，且过P(π6,1)，若函数g(x)在区间[a,b](a，b∈R且a答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为A=[3,5)，B=(4,6)，
所以A∩B=(4,5)．
故选：D．
根据交集的概念求解即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=x2+1,x≥0f(x+3),x<0，则f(−1)=f(2)=4+1=5，
故选：A．
由题意，利用分段函数，分类讨论，求得f(1)的值．
本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：cs24°cs36°−sin24°cs54°
=cs24°cs36°−sin24°sin36°
=cs(24°+36°)=cs60°=12．
故选：D．
根据三角函数公式即可求解．
本题考查三角函数公式的应用，属基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查对数函数的公式，以及指数函数的单调性，属于基础题．
根据已知条件，结合对数函数的公式，以及指数函数的单调性，即可求解．
【解答】
解：a=lg23>lg22=1，
∵b=2−0.4=0.50.4，y=0.5x 在R上单调递减，
∴b=0.50.4>，
∵0∴a>b>c．
故选C．
5.【答案】C
【解析】解：由题可得，5%=m⋅a510%=m⋅a10，解得a5=2m=140，
故a=215，
故h=140⋅2t5，
由20%=140⋅2t5，解得t=15．
故选：C．
根据已知条件，先求出m，a，可得h=140⋅2t5，令20%=140⋅2t5，解出t，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象与直线y=1的相邻两个交点的距离分别为π3和2π3，
∴13⋅T=2π3ω=π3，∴ω=2．
∵f(π3)=1=2sin(2×π3+φ)，即sin(2π3+φ)=12，则φ=π6，
故选：A．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，求得φ的值．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，函数f(−x)=ln|e−x−ex|=ln|ex−e−x|=f(x)，所以函数是偶函数，排除选项A、C．
当x=1时，y=ln(e−e−1)>0，排除选项D．
故选：B．
利用函数的奇偶性，排除选项，结合特殊值求解即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是判断函数的图象的常用方法，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：函数f(x)是定义在R上的奇函数，在区间(−∞,0)上单调递增，且f(1)=0，
可得f(0)=0，f(−1)=0，f(x)在(0,+∞)单调递增，
若x=0时，xf(x−1)≥0成立；若x=1，则xf(x−1)≥0成立；
若x>1，即x−1>0，可得f(x−1)≥0=f(1)，即有x−1≥1，可得x≥2；
若x<0，则x−1<0，f(x−1)≤0=f(−1)，可得x−1≤−1，解得x<0；
若0综上可得，x的取值范围是(−∞,1]⋃[2,+∞)．
故选：B．
由题意可得f(0)=0，f(−1)=0，f(x)在(0,+∞)单调递增，分别讨论x=0，x=1，x>1，0本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：易知f(x)是增函数，因为f(1.375)≈−0.28<0，f(1.4375)≈0.02>0，所以零点在(1.375,1.4375)内，所以A错误，B正确，
又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．
故选：BC．
根据二分法基本原理判断即可．
本题主要考查二分法的定义与应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：将点(12,2)的坐标代入f(x)=xa，可得a=−1，
则f(x)=1x显然不过(2,4)点，A错误；
f(x)在(0,+∞)上单调递减，且为奇函数，图象关于原点对称，B正确，C错误．
根据反比例函数的图象与性质可得D正确．
故选：BD．
由已知点的坐标先求出幂函数的解析式，然后结合反比例函数的性质检验各选项即可．
本题主要考查了幂函数解析式的求解及反比例函数性质的判断，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断以及不等式的性质和基本不等式的应用，存在量词命题的否定，属于中档题．
利用充分性与必要性的判断与不等式的性质、基本不等式、命题的否定方法逐项判断．
【解答】
解：由1x<1y⇔1x−1y<0⇔y−xxy<0⇔y>0>x，或0故实数x>y>0是1x<1y成立的充分不必要条件，故A错误；
由ab≤(a+b2)2得ab≤(a+b)24⇔a2+b2≥2ab，a，b∈R成立，故B正确；
命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1<0，故C正确；
因为2x+1y=1，x>0，y>0，
则x+2y=(x+2y)(2x+1y)
=4+4yx+xy≥4+2 4yx⋅xy=8，
当且仅当x=2y=4时取等号，故D正确．
故选：BCD．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的三角函数，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．
逆用两角差的正弦公式求得sinβ=−35⇒csβ=±45，由两角和的余弦即可求得cs(β+π4)的值．
【解答】
解：∵sin(α−β)csα−cs(α−β)sinα=sin[(α−β)−α]
=sin(−β)=−sinβ=35，
∴sinβ=−35，
∴csβ=± 1−sin2β=±45，
若csβ=45，则cs(β+π4)=csβcsπ4−sinβsinπ4
=45× 22−(−35)× 22=7 210；
若csβ=−45，同理可得cs(β+π4)=− 210，
故选：BD．
13.【答案】(0,2]
【解析】解：要使原函数有意义，则1−lg2x≥0，即lg2x≤1，
解得0∴函数f(x)= 1−lg2x的定义域为(0,2]．
故答案为：(0,2]．
由根式内部的代数式大于等于0，求解对数不等式得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．
14.【答案】π3− 34
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
先求出△AOB的面积，再求出扇形AOB的面积，进而求出弧田的面积即可．
【解答】
解：∵OA=OB=1，∠AOB=2π3，
∴S△AOB=12OA⋅OB⋅sin2π3=12×1×1× 32= 34，
又∵扇形AOB的面积S=12×2π3×12=π3，
∴弧田的面积为S−S△AOB=π3− 34．
故答案为：π3− 34．
15.【答案】(−∞,2]
【解析】【分析】
本题考查了存在量词命题的应用问题，也考查了不等式恒成立与转化思想，是基础题．
根据“∃x∈(0,+∞)，λx>x2+1”是假命题，它的否定是真命题；再利用基本不等式，即可求出实数λ的取值范围．
【解答】
解：若“∃x∈(0,+∞)，λx>x2+1”是假命题，
则“∀x∈(0,+∞)，λx≤x2+1”是真命题；
所以，x∈(0,+∞)时，λ≤x+1x恒成立，
又x+1x≥2 x⋅1x=2，当且仅当x=1时取“=”；
所以实数λ的取值范围是λ≤2．
故答案为：(−∞,2]．
16.【答案】[1,2) 4
【解析】解：f(x)=−x2−2x+1,x≤0|lg0.5x|,x>0，作出f(x)的图象，如图所示：
方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1由图象得1≤a<2，即a∈[1,2)，
由图象得x1+x2=2×(−1)=−2，，
又|lg12x3|=|lg12x4|=a，即1≤lg12x3<2，1≤−lg12x4<2，解得14则x3x4=1，
∴16x3x42+x4(x1+x2)=16x4−2x4，且x4∈[2,4)，
令y=16x4−2x4，x4∈[2,4)，
∴y=16x4−2x4在[2,4)上单调递减，
∴当x4=2时，ymax=4，即x4⋅(x1+x2)+16x3⋅x42的最大值是4，
故答案为：[1,2)；4．
根据分段函数的性质，作出f(x)的图象，题意转化为函数f(x)的图象与y=a有四个交点，且交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4，且x1本题考查函数零点与方程根之间的关系及分段函数的应用，考查转化思想和数形结合思想、函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由f(x)=ax−1，可得f(1)=a−1，f(2)=a2−1．
因为f(1)+f(2)=−149，所以a−1+a2−1=−149，
解得a=13或a=−43(舍去)．
故a=13．
(2)由(1)知f(x)=(13)x−1．
令f(x)>2，得到(13)x−1>2，
即3−x>3，解得x<−1，
所以不等式的解集为(−∞,−1)．
【解析】本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．
(1)由f(1)+f(2)=−149，得到a−1+a2−1=−149，再求出a的值；
(2)根据条件得到(13)x−1>2，再解不等式即可．
18.【答案】解：(1)因为sinα=45,α∈(π2,π)，则csα=−35，
故sin(α−π3)=12sinα− 32csα=12×45− 32×(−35)=4+3 310；
(2)∵角β终边上一点P(7,1)，∴tanβ=17，
则tan2β=2tanβ1−tan2β=724，
由(1)可得tanα=−43，
则tan(α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−34．
【解析】(1)利用正余弦的同角关系以及角的范围即可求出csα的值，再根据正弦的差角公式化简即可求解；(2)根据三角函数的定义即可求出tanβ的值，再根据正切的倍角公式即可求出tan2β的值，然后根据正切的和角公式化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，涉及到正切的倍角公式，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：因为泳池的长为x米，则宽为200x米．
则总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200(x∈(0,+∞))，
整理得到f(x)=800×(x+225x)+12000≥1600×15+12000=36000(x∈(0,+∞))，
当且仅当x=15时等号成立．
故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．
【解析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)的定义域为[1,9]，
要使函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)有意义，必须满足：
1≤x≤91≤x2≤9,可知1≤x≤3，
则g(x)的定义域为[1,3]．
(2)由f(x)的定义域为[1,9]可得g(x)的定义域为[1,3]，
又g(x)=(2+lg3x)2+(2+lg3x2)=(lg3x+3)2−3，
∵1≤x≤3，∴0≤lg3x≤1．
∴当x=3时，g(x)有最大值13．
【解析】(1)要使函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)有意义，必须满足1≤x≤91≤x2≤9,，解不等式即可得到所求定义域；
(2)根据f(x)的定义域为[1,9]，先求出g(x)的定义域为[1,3]，然后利用二次函数的最值再求函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)=(2+lg3x)2+(2+lg3x2)=(lg3x+3)2−3的最大值．
本题考查函数的最值的求法，根据f(x)的定义域先求出g(x)的定义域是正确解题的关键步骤．
21.【答案】解：(1)证明：令x=0，则由f(x+y)=f(x)+f(y)，
得f(y)=f(0)+f(y)，即f(0)=0；
令y=−x，则由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f(0)=0=f(x)+f(−x)，
即得f(−x)=−f(x)，
故f(x)是奇函数；
(2)12f(x2)−f(x)>12f(3x)，
所以f(x2)−2f(x)>f(3x)，则f(x2)>2f(x)+f(3x)，
即f(x2)>f(x)+f(x)+f(3x)，
因为f(x+y)=f(x)+f(y)，
所以f(x)+f(x)+f(3x)=f(5x)，
所以f(x2)>f(5x)，
又因为函数f(x)是增函数，
所以x2>5x，所以x<0或x>5．
所以x的解集为(−∞,0)∪(5,+∞)．
【解析】(1)对x，y赋值，利用奇函数的定义进行证明；
(2)先化简目标式为f(x2)>f(5x)，结合函数单调性可求答案．
本题考查了对奇函数的证明及利用抽象函数的单调性解不等式，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意，有f(x)=2sinωx+1，又ω>0，则最小正周期T=2πω．
由正弦函数的性质，当x=−π2ω，函数取得最小值，x=π2ω函数取得最大值，
∴[−π2ω,π2ω]是函数y=2sinωx一个单调递增区间．
若函数y=2sinωx(ω>0)在[−π4,3π4]上单调递增，
则−π2ω≤−π4且π2ω≥3π4，解得0<ω≤23；
故ω的取值范围为(0,23]．
(2)∵由(1)得f(x)=2sinωx+1，
∴将函数y=f(x)图象向左平移π3个单位，得到函数y=g(x)=2sin(ωx+π3ω)+1的图象，
∵g(x)的图象过P(π6,1)，∴g(π6)=2sin(π6ω+π3ω)+1=1，可得：sinπ2ω=0，
解得：π2ω=kπ，k∈Z，即：ω=2k，k∈Z，
∵0<ω<4，∴ω=2，可得g(x)的解析式为：g(x)=2sin(2x+2π3)+1，
∴g(x)的周期为T=2π2=π．
在区间[a,b](a，b∈R且a即sin(2x+2π3)=−12在[a,b]上至少有30个解．
∴有2x+2π3=2kπ−5π6或2x+2π3=2kπ−π6，解得：x=kπ−3π4或x=kπ−5π12．

直线y=−12与函数y=sin(2x+2π3)图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度kπ−5π12−(kπ−3π4)=π3，最大为波峰跨度：π−π3=2π3，
∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，b−a有最小值，
即在所有满足上述条件的[a,b]中b−a的最小值为14×π+π3=43π3．
【解析】(1)求出f(x)的单调递增区间，根据题意列出不等式可得答案；
(2)求出g(x)，y=g(x)在[a,b]上至少有30个零点，即sin(2x+2π3)=−12在[a,b]上至少有30个解，利用三角函数的图象和性质进行求解即可．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．