2023-2024学年海南省海口市海南华侨中学高一（上）第二次月考数学试卷（备用B）（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省海口市海南华侨中学高一（上）第二次月考数学试卷（备用B）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|19≤3x≤1}，B={x|x2<1}，则A⋂B=( )
A. [0,1)B. (−1,1)C. (−1,0]D. (−2,1)
2.下列函数是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=−x4B. f(x)=x12
C. f(x)=1−lg12|x|D. f(x)=2x
3.下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则1b>1aB. 若aC. 若a>b，c>d，则a−cb，则ac2>bc2
4.函数f(x)=lnx+3x−6的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (2,3)C. (1,2)D. (3,4)
5.函数f(x)=lga|x|+1(0A. B.
C. D.
6.已知ab=−3，则a −ba+b −ab的值是( )
A. 2B. −2 2C. ±2D. 0
7.若函数f(x)=x2+2x+ax+1在[1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,4]B. [0,1]C. (−∞,5]D. [1,2]
8.已知函数f(x)=x2,x≥0−x2,x<0，若对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(x+t)≥9f(x)恒成立，则实数t的取值范围是( )
A. [−2,+∞)B. (−∞,−2]C. [−4,+∞)D. (−∞,1]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有( )
A. B.
C. y2=xD.
10.下面选项中所给的不等式正确的是( )
A. lg84>lg94>lg4B. lg84C. lg0.34>0.32>20.4D. lg0.34<0.32<20.4
11.已知正实数a，b满足lna+lnb=ln(a+9b)，则下列结论正确的是( )
A. ab的最小值为36B. 81a2+1b2的最小值为12
C. a+b的最小值为16D. 9aa+1+bb+1的最大值为10011
12.函数f(x)=e−|x|，g(x)=|lnx|，h(x)=−kx+2，则下列说法正确的有( )
A. 函数F(x)=f(x)−h(x)有且仅有一个零点
B. 设方程f(x)=g(x)的所有根的乘积为p，则p∈(0,1)
C. 当k=0时，设方程g(x)=h(x)的所有根的乘积为q，则q=1
D. 当k=1时，设方程f(x)=h(x)的最大根为xM，方程g(x)=h(x)的最小根为xm，则xM+xm=2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=(−x)12(x≤0)lg2x(x>0)，则f[f(14)]= ______ ．
14.若“|x|>2”是“x15.艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程A后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于112，最多在n(n∈N)个星期之后对所学内容进行复习，则n= ______ .(lg3≈0.477,lg2≈0.3)
16.已知f(a12+a−12)=a32+a−32a12+a−12，则f(32)= ______ ，f(x)= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列各式的值：
(1)2lg214+(6427)−13+lg53⋅(lg310−lg32)；
(2)8−13+lg3127+lg65⋅(lg52+lg53)+10lg3．
18.(本小题12分)
已知一元二次不等式x2−2x+a<0的解集为{x|−2(1)求a，t的值；
(2)c为何值时，(c+a)x2+2(c+a)x−1<0的解集为R．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R的偶函数，当x>0时，f(x)=x+2．
(1)请画出函数f(x)图像，并求f(x)的解析式；
(2)g(x)=4−x2，对∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，写出函数M(x)的解析式(不需要写解答过程)，并求M(x)的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2⋅4x4x+4−x．
(1)判断函数g(x)=f(x)−1的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域；
(2)若实数m满足g(m)+g(m−2)>0，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
一种药在病人血液中的含量不低于2g时，它才能起到有效治疗的作用.已知每服用m(1≤m≤4)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(单位：g)随着时间x(单位：h)变化的函数关系式近似为y=mf(x)，其中f(x)=104+x,(0≤x<4)4−x2,(4≤x≤6)．
(1)若病人一次服用2个单位的药剂，求有效治疗的时间；
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，4h后再服用n个单位的药剂，要使接下来的2h中能够持续有效治疗，求n的最小值．
22.(本小题12分)
若函数f(x)满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则称函数f(x)具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f(x)不具有性质M．
(1)证明：函数f(x)=3x具有性质M，并求出相应的x0；
(2)已知函数g(x)=lga2x2+1具有性质M，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为19=3−2≤3x≤1=30，所以−2≤x≤0，所以A={x|−2≤x≤0}，
B={x|x2<1}={x|−1所以A⋂B=(−1,0]．
故选：C．
求出集合A、B，再根据交集运算求解即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对A：f(x)=−x4在(0,+∞)上单调递减不满足，故A错误；
对B：f(x)=x12定义域为[0,+∞)不具有对称性，所以既不是偶函数也不是奇函数，故B错误；
对C：定义域为(−∞,0)⋃(0,+∞)，f(x)=1−lg12|x|，故f(x)为偶函数；
又y=lg12x在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，故C正确；
对D：f(−x)=2−x≠f(x)，故f(x)不是偶函数．
故选：C．
根据函数奇偶性与单调性判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对A选项，反例2>−1，但12>1−1=−1，故A错误；
对B选项，由不等式的基本性质，若a对C选项，如100>−1，2>1，而100+(−2)=98>−1+(−1)=−2，故C错误；
对D选项，若a>b，c=0，则ac2=bc2，故D错误．
故选：B．
根据不等式的基本性质和结合举反例分别对四个选项进行判断．
本题考查不等式的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵函数y=lnx与y=3x−6在其定义域内均为增函数，
∴函数f(x)=lnx+3x−6在(0,+∞)单调递增，
∵f(1)=−3<0，f(2)=ln2>0，则f(1)⋅f(2)<0，
根据函数零点存在定理可知函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
故选：C．
判断函数的单调性，由f(1)<0，f(2)>0，结合函数零点存在定理即可求解．
本题考查函数零点的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：考查函数f(x)=lga|x|+1(0知其在(0,+∞)上是减函数，故排除B，C，
又当x=±1时，y=1，故函数图象过(1,1)与(−1,−1)两点，可以排除D，由此得A正确．
故选：A．
考查函数的性质，根据其性质来选取对应的图象，此函数是一个偶函数，由于对数式底数范围为0本题考点是对数函数的图象，考查对数型函数图象的特征，研究此类函数图象的性质需要借助对数函数的图象特征类比研究，做本题时用了排除法，可以看出排除法做选择题是一个很好的方法．
6.【答案】D
【解析】解：∵ab=−3，
故a −ba+b −ab=a|a| −ab+b|b| −ab=(a|a|+b|b|) −ab，
由ab=−3<0，可得a与b一正一负，
∴a|a|和b|b|二者中一个为1，另一个为−1，即a|a|+b|b|=0，
即a −ba+b −ab=0．
故选：D．
运用根式的运算性质即可得出．
本题考查根式的运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，f(x)=x2+2x+ax+1=x+1+a−1x+1，
设t=x+1，则y=t+a−1t，
而x+1=t，则有t∈[2,+∞)，
故y=t+a−1t，t∈[2,+∞)，
当a−1<0，即a<1时，y=t+a−1t在[2,+∞)上单调递增，满足要求，
当a−1=0，即a=1时，y=t在[2,+∞)上单调递增，满足要求，
当a−1>0，即a>1时，由对勾函数性质得到y=t+a−1t在[ a−1,+∞)上单调递增，
故0< a−1≤2，解得1综上，实数a的取值范围是(−∞,5]．
故选：C．
根据题意，设t=x+1，变形换元得到y=t+a−1t，t∈[2,+∞)，考虑a−1<0，a−1=0和a−1>0三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数a的取值范围．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及复合函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由9f(x)=9x2,x≥0−9x2,x<0，可化为 f(3x)=(3x)2,x≥0−(3x)2,x<0，
又函数f(x)=x2,x≥0−x2,x<0，可知f(x)在R上单调递增，
不等式f(x+t)≥9f(x)在x∈[t,t+1]恒成立，
即不等式f(x+t)≥f(3x)在x∈[t,t+1]恒成立，
即x+t≥3x在x∈[t,t+1]恒成立，
即x≤t2在x∈[t,t+1]恒成立，
即t+1≤t2，解得t≤−2，
故实数t的取值范围是(−∞,−2]．
故选：B．
转化为不等式f(x+t)≥f(3x)在x∈[t,t+1]恒成立即可求解．
本题考查了二次函数的性质、分段函数的性质及转化思想，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：A.满足函数的定义，故A正确；
B.由对应关系可知，满足函数的定义，故B正确；
C.y2=x⇒y=± x，不满足函数的定义，故C错误；
D.由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确．
故选：ABD．
根据函数的定义，结合对应关系，即可判断选项．
本题主要考查函数的概念，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：lg84=lg4lg8，lg94=lg4lg9，
∵0∴lg84>lg94>lg4，故A正确，B错误，
∵lg0.34<0<0．32<1<20.4，
∴lg0.34<0．32<20.4，故C错误，D正确．
故选：AD．
根据换底公式比较lg84，lg94，lg4的大小，进而判断AB，根据lg0.34，0.32，20.4与0、1的大小关系判断CD．
本题主要考查了对数函数的性质，考查了换底公式的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：由lna+lnb=ln(a+9b)可得ln(ab)=ln(a+9b)，即ab=a+9b，
所以ab=a+9b≥2 a⋅9b，
解得ab≥36，当且仅当a=18，b=2，等号成立；即A正确；
由81a2+1b2=81b2+a2a2b2=(a+9b)2−18aba2b2=1−18ab≥12，当且仅当a=18，b=2，等号成立，即B正确；
由ab=a+9b可得9a+1b=1，
所以a+b=(a+b)(9a+1b)=9+ab+9ba+1≥10+2 ab⋅9ba=16，当且仅当a=12，b=4时等号成立，即C正确；
易知9aa+1+bb+1=91a+1+11+1b=819a+9+11+1b=111(819a+9+11+1b)(9a+9+1+1b)
=111(81+81(1+1b)9a+9+9a+91+1b+1)≥111×(82+2 81(1+1b)9a+9⋅9a+91+1b)=10011，
当且仅当a=b=10时，等号成立，即9aa+1+bb+1的最小值为10011，所以D错误．
故选：ABC．
根据对出运算法则可得ab=a+9b，利用基本不等式可解得A正确；由完全平方式可知B正确；由基本不等式“1”的妙用即可求得C正确；将9aa+1+bb+1整理变形可得其最小值为10011，即D错误．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：A选项，令F(x)=0，则f(x)=h(x)，
其中h(x)=−kx+2恒过定点(0,2)，
当k=0时，h(x)=2，
画出f(x)=e−|x|，h(x)=2的图象，如下：
可以看出两函数的图象无交点，F(x)=f(x)−h(x)没有零点，A错误；
B选项，画出f(x)=e−|x|，g(x)=|lnx|的图象，
可以看出两函数的图象有2个交点，设交点横坐标分别为x1，x2，x1其中e−x1=−lnx1，e−x2=lnx2，
由图象可得e−x2∈(0,1),e−x1∈(0,1)，且e−x2故lnx2+lnx1=e−x2−e−x1，即lnx2x1=e−x2−e−x1∈(−1,0)，
故x2x1∈(e−1,1)⊆(0,1)，则p∈(0,1)，B正确；
C选项，当k=0时，h(x)=2，方程g(x)=2，即|lnx|=2，
lnx=2时，x=e2，lnx=−2时，x=e−2，
故q=e2⋅e−2=1，C正确；
D选项，当k=1时，h(x)=−x+2，画出f(x)，h(x)的图象，
可以看出e−xM=−xM+2，
再画出g(x)，h(x)的图象，
g(x)=h(x)的最小根为xm，则−lnxm=−xm+2，
由于y=−lnx与y=e−x互为反函数，关于y=x对称，
而y=−x+2也关于y=x对称，
故−lnxm=−xm+2与e−xM=−xM+2相加得，
−lnxm+e−xM=−xm+2−xM+2=2，解得xM+xm=2，D正确．
故选：BCD．
A选项，求出h(x)=−kx+2恒过定点(0,2)，当k=0时，无交点；B选项，画出f(x)=e−|x|，g(x)=|lnx|的图象，由图象可得e−x2∈(0,1),e−x1∈(0,1)，且e−x2本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】 2
【解析】解：f[f(14)]=f(lg214)=f(−2)=(−(−2))12= 2．
故答案为： 2．
根据分段函数代入求值即可．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：|x|>2，得x>2或x<−2，
若“|x|>2”是“x2或x<−2}的真子集，
所以a≤−2，即a的最大值为−2．
故答案为：−2．
根据条件转化为集合的包含关系，即可求解．
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
15.【答案】10
【解析】解：根据题意一个星期后，记忆内容剩余80%=45；二个星期后，记忆内容剩余(45)2，
n个星期后，记忆内容剩余(45)n，为使得所记忆的内容不低于112，
则有(45)n≥112>0，y=lgx为增函数，对上式两边取对数有lg(45)n≥lg112，
所以nlg45≥lg112，nlg810≥lg112，
又因为lg810所以n≤lg112lg810，
即n≤−(2lg2+lg3)3lg2−1，即n≤2lg2+lg31−3lg2≈10.77，
所以最多在10个星期之后对所学内容进行复习．
故答案为：10．
根据已知条件列出不等式(45)n≥112，两边取对数得lg(45)n≥lg112，根据对数运算性质解不等式求解n．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】6 x2−3，(x≥2)
【解析】解：因为f(a12+a−12)=a32+a−32a12+a−12=a+a−1−1=( a+1 a)2−3，
所以f(x)=x2−3，(x≥2)，
则f(3)=9−3=6．
故答案为：6；x2−3，(x≥2)．
由已知，利用整体代换的思想即可求解函数解析式，进而可求函数值f(3)．
本题主要考查了函数解析式及函数值的求解，属于基础题
17.【答案】解：(1)2lg214+(6427)−13+lg53⋅(lg310−lg32)=14+(2764)13+lg53⋅lg35=14+34+1=2；
(2)8−13+lg3127+lg65⋅(lg52+lg53)+10lg3=(12)13+lg33−3+lg65⋅lg56+3=12−3+1+3=32．
【解析】结合指数运算及对数运算即可求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为不等式x2−2x+a<0的解集为{x|−2所以−2，t是方程x2−2x+a=0两个根，且−2可得−2+t=2−2×t=a，解得t=4，a=−8；
(2)由(1)知a=−8，即(c−8)x2+2(c−8)x−1<0的解集为R，
若c=8，则0×x2+0×x−1=−1<0成立；
若c≠8，由(c−8)x2+2(c−8)x−1<0的解集为R，
可得c−8<04(c−8)2+4(c−8)<0，解得7综上所述，7即{c|7【解析】(1)利用−2，t是方程x2−2x+a=0两个根可得答案；
(2)分c=8、c≠8讨论，根据一元二次不等式的解集为R解出答案．
本题主要考查了三个二次转化关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据函数的奇偶性，结合题意，画出函数f(x)的图像，如图所示：

设x<0，则−x>0，则f(−x)=−x+2，
又函数f(x)是定义在R的偶函数，
所以f(x)=f(−x)=−x+2，
则f(x)=−x+2,x<02,x=0x+2,x>0；
函数f(x)的图像，如图所示．
(2)因为M(x)=max{f(x),g(x)}，
当x<0时，令−x+2=4−x2，解得x=−1，
则当x<−1时，−x+2>4−x2，
当x>0时，令x+2=4−x2，解得x=1，
则当x>1时，x+2>4−x2，
所以M(x)=−x+2,x<−14−x2,−1≤x≤1x+2,x>1，
画出函数M(x)的图像，如图所示，

结合图像可知，当x=±1时，M(x)min=3．
【解析】(1)根据题意，由函数的奇偶性可得x<0时，f(x)解析式，然后画出函数图像即可；
(2)根据题意，由M(x)的定义可得其函数解析式，画出其函数图像，结合图像即可得到其最小值．
本题考查了函数的图像与性质应用问题，是基础题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=2⋅4x4x+4−x，则函数的定义域为R，且y=g(x)=2⋅4x4x+4−x−1=4x−4−x4x+4−x，
所以g(−x)=4−x−4x4−x+4x=−4x−4−x4x+4−x=−g(x)，
所以y=g(x)是奇函数，
因为y=g(x)=2⋅4x4x+4−x−1=21+4−2x−1，
因为1+4−2x>1，所以0<21+4−2x<2，则−1<21+4−2x−1<1，
所以函数y=g(x)的值域(−1,1)，
(2)因为g(x)=21+4−2x−1在定义域R上单调递增且是奇函数，
所以g(m)+g(m−2)>0，则g(m)>−g(m−2)，即g(m)>g(2−m)，
所以m>2−m，解得m>1，
所以实数m的取值范围：(1,+∞)．
【解析】(1)先求函数的定义域为R与函数g(x)=4x−4−x4x+4−x，再证明g(−x)=−g(x)，从而证明g(x)是奇函数，最后求函数y=g(x)的值域；
(2)先判断g(x)在定义域R上单调递增且是奇函数，再转化不等式g(m)+g(m−2)>0为m>2−m，最后求实数m的取值范围．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的性质在值域求解，不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当m=2时，y=2f(x)=204+x,(0≤x<4)8−x,(4≤x≤6)，
当0≤x<4时，由204+x≥2得x≤6，此时0≤x<4，
当4≤x≤6时，由8−x≥2得x≤6，此时4≤x≤6，
综上所述，0≤x≤6，
所以若病人一次服用2个单位的药剂，有效治疗的时间为6小时；
(2)由(1)若病人一次服用2个单位的药剂，有效治疗的时间为6小时，
当4≤x≤6时，由y=2×(4−x2)+n104+x−4=8−x+10nx，
因为8−x+10nx≥2对4≤x≤6恒成立，
所以n≥x(x−6)10对4≤x≤6恒成立，等价于n≥[x(x−6)10]max(4≤x≤6)，
令g(x)=x(x−6)10=110(x−3)2−910，
则函数g(x)在x∈[4,6]上单调递增，
所以x=6时，g(x)有最大值g(6)=0，
所以n的最小值为0．
【解析】(1)由题意可得m=2，则可得y=2f(x)的解析式，求解2f(x)≥2，即可得答案．
(2)求出当4≤x≤6时，y=8−x+10nx，若药剂有效，需满足8−x+10nx≥2，对4≤x≤6恒成立，参变分离求n的取值范围肯定答案．
本题主要考查函数的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)证明：f(x)=3x代入f(x0+1)=f(x0)+f(1)得：3x0+1=3x0+3，
即3x0=32，解得x0=lg332=1−lg32，
∴函数f(x)=3x具有性质M，x0=1−lg32；
(2)由题知g(x)的定义域为R，且a>0，
∵函数g(x)具有性质M，
∴存在x0，使得g(x0+1)=g(x0)+g(1)成立，
代入得：lga2(x0+1)2+1=lga2x02+1+lga3，
∴a2(x0+1)2+1=a2x02+1⋅a3，
∵a>0，∴12(x0+1)2+1=12x02+1⋅a3，
整理得：(2a−6)x02+4ax0+3a−3=0有实根，
①当a=3时，解得x0=−12，∴a=3；
②当a≠3时，得Δ=(4a)2−4(2a−6)(3a−3)≥0，
即a2−12a+9≤0，解得：6−3 3≤a≤6+3 3，∴a∈[6−3 3,3)∪(3,6+3 3]，
综上可得：a∈[6−3 3,6+3 3]．
【解析】(1)由新定义，将f(x)=3x代入f(x0+1)=f(x0)+f(1)，化简计算即可得证．
(2)由g(x)的定义域为R，可得a>0，根据函数g(x)具有性质M，存在x0，使得g(x0+1)=g(x0)+g(1)成立，代入化简整理得到关于x0的方程，转化为方程有解的问题，进而求出a的取值范围．
本题主要考查函数的方程的综合应用，属于中档题．x
1
2
3
4
y
2
4
3
3