湖北省武汉市武钢三中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份湖北省武汉市武钢三中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由可得抛物线标准方程为：，由焦点和准线方程即可得解.
【详解】由可得抛物线标准方程为：，
所以抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离为.
故选：C.
2. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，然后列出方程组，从而求解.
【详解】由题意得：，离心率：，
从而可得方程组：，解得：.
故椭圆的标准方程为：，故A项正确.
故选：A.
3. 与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为，利用即可得解.
【详解】因曲线为椭圆，焦点在轴上，且，
又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，
所以设所求双曲线为，即，
则，解得，
所以所求双曲线为.
故选：A.
4. 已经点在抛物线上运动，过点引圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用距离公式及二次函数性质求出的最小值，然后利用切线长公式求得最值即可.
【详解】由圆，可得圆心为，半径为，
设，则，
当时，取得最小值，最小值为，
在直角中，可得，
所以.
故选：D
5. 已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
求出上焦点F1的坐标，由双曲线的定义可得，从而求得的值，推出结果．
【详解】解：∵F是双曲线的下焦点，
∴，c＝4，F（0，−4），
上焦点为（0，4），
由双曲线的定义可得
，
当A，P，H三点共线时，取得最小值9．
故选：A．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
6. 在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射后经过另一个焦点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义得，，进而结合余弦定理得，再求离心率即可.
【详解】解：由椭圆的定义得：，
因为，所以．
所以，在中，由余弦定理得，
所以，整理得，
所以，．
故选：D
7. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.
【详解】∵ 抛物线的方程为，
∴ ，抛物线的准线方程为，
∵ 方程可化为，
∴过定点，
设，设的中点为，则，因为，为垂足，
∴，所以，
即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
过点作准线的垂线，垂足为，则,
∴ ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
∴ ，
过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，
∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，
所以的最小值为，
故选：A.
8. 已知直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，两点，点的坐标为，若，则该双曲线的离心率是( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】联立直线与双曲线的渐近线的方程组，求出线段AB中点Q坐标，由PQ⊥AB列式求解而得.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，
由，
设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB中点Q(x0,y0)，，
，因，则PQ⊥AB，
所以直线PQ斜率为-2，即：，
双曲线的离心率e有.
故选：C
【点睛】利用所给条件建立a，b，c的关系等式是求双曲线的离心率的关键.
二、多选题（本大题共4小题，共20分）
9. 对于方程，下列说法中正确的是（ ）
A. 当时，方程表示椭圆
B. 当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
C. 存实数，使该方程表示双曲线
D. 存在实数，使该方程表示圆
【答案】BCD
【解析】
【分析】由m与之间的关系，以及圆、椭圆、双曲线标准方程的特征，逐个进行判断.
【详解】方程，当，即或时表示椭圆，故A不正确；
当时，，则方程表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
当，即或时，方程表示双曲线，故C正确；
当，即时，方程为，表示圆，故D正确.
故选: BCD
10. 已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）．
A. 抛物线的方程是B. 抛物线的准线方程是
C. 直线的方程是D. 的面积是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据已知可得横坐标和，再由焦半径公式，求出，判断选项A；求出抛物线的准线方程，判断选项B；设直线方程为，与抛物线方程联立，设得到关系，进而求出的值，建立的方程求解，可判断选项C；利用利用关系，即可求解，判断选项D.
【详解】设，，
根据抛物线的定义可知，
又的中点到轴的距离为6，∴，
∴，∴．
∴所求抛物线的方程为．故A项正确；
抛物线的准线方程是，故B项错误；
设直线的方程是，联立，
消去得，则，
所以，解得，
故直线的方程是或．故C项错误；
．
故D项正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查抛物线方程和性质、直线与抛物线的位置关系，注意根与系数关系设而不求的方法求解相交弦问题，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.
11. 在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A.
B. 的面积为
C. 直线与圆相交
D. 的离心率
【答案】ABD
【解析】
【分析】先计算出，再计算即可判断A，C；由可判断B；在中，由余弦定理可得的齐次式，计算可得的离心率.
【详解】设的半焦距为，则，，
不妨设双曲线的一条渐近线为，即，
由点到直线的距离公式，得，
在Rt中，，
所以与圆相切，则正确，C错误；
因为为的中点，所以，则B正确；
在Rt中，，
在中，由余弦定理，得，即，化简得，
又，所以，解得，D正确.
故选：.

12. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一动点，直线交抛物线于两点，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在直线，使得两点关于对称
B. 的最小值为6
C. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D. 若分别以为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则两点的纵坐标之和的最小值为4
【答案】BCD
【解析】
【分析】由于抛物线的焦点，对于A，假设存在直线，使得，两点关于直线对称，设直线的方程为，联立抛物线的方程，由△得，
设，，，，求出线段的中点为坐标，再代入直线上，解得，即可判断A是否正确；
对于B：设为抛物线的准线，则准线的方程为，过点作于点，，当且仅当，， 三点共线时等号成立，即可判断B是否正确；
对于C：当直线过焦点时，设，，由抛物线的定义可得为点到准线的距离，即，求出以为直径的圆心为的中点坐标，进而可得圆心到轴的距离，即可判断C是否正确；
对于D：设，，，，求导得，写出切线的方程，的方程，联立解得交点的坐标，又点在准线上，得，再计算，即可判断D是否正确．
【详解】解：由于抛物线的焦点，
对于A，假设存在直线，使得，两点关于直线对称，
则设直线的方程为，联立，所以，
所以△，即，
设，，，，线段的中点为，所以，
所以，，因为点在直线上，
所以，解得，与矛盾，故A不正确；
对于B：设为抛物线的准线，则准线的方程为，过点作于点，

则，当且仅当，， 三点共线时等号成立，
所以的最小值为6，故B正确；
对于C：当直线过焦点时，设，，
则以为直径的圆心为的中点，，，
所以圆心到轴的距离为，
由抛物线的定义可得为点到准线的距离，即，所以，
所以当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D：设，，，，由，即，所以，
则切线的方程为，即，
同理切线的方程为，
联立，解得，，
由题意，点在准线上，则，所以，
所以，
所以当时，取得最小值4，故D正确；
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为______.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根据三角形面积公式，即可求出点，然后抛物线定义，求出长度，根据等面积法即可求出.
【详解】，设，因为，所以，不妨取，则,,则，故 到距离为.
故答案为：
14. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点，若内切圆半径为，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆的定义求出三角形的周长，结合三角形内切圆的性质可得答案.
【详解】由题意可知的周长为， 的面积为，解得，
平方可得，由，整理可得，
解得，即.
故答案为：.
15. 已知双曲线的左右焦点分别为过的直线与双曲线右支交于A，B两点，且则的面积为_____.
【答案】．
【解析】
【分析】
设，由余弦定理得出的一个关系式，然后由双曲线的定义又得一个，两者结合可求得，从而得三角形面积．
【详解】由已知，所以，即，
设，∵所以，而，所以，，
．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由于涉及到焦点三角形问题，可设焦半径为，利用余弦定理，双曲线的定义可求得（只要求得），然后由面积公式计算出面积．
16. 已知椭圆，点，设椭圆上不同的两点满足，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】当直线的斜率不存在时，通过向量坐标运算求得，当直线的斜率存在时，设直线方程，与椭圆联立，韦达定理，结合向量坐标运算得，利用不等式性质求范围即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，，，，
因为，所以，解得；
当直线的斜率存在时，设直线AB为，，，
联立椭圆，得，，
则，，又，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
又点在椭圆内部，所以，即，所以，
综上可得，.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，焦距为8，M是双曲线上的一点．
（1）求C的离心率和渐近线方程；
（2）若，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知直接求a、b、c，再求离心率和渐近线方程；
（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为.
【小问1详解】
由题知：，
所以
所以双曲线C的离心率，渐近线方程为.
【小问2详解】
由双曲线定义知：
，或
又，故不满足
.
18. 已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）求过点与圆相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）先得到过点且与直线：垂直的直线方程，与联立求得圆心即可；
（2）若过点的直线斜率不存在，即直线是判断，若过点的直线斜率存在，设直线方程为，再根据直线与圆相切求解.
【详解】（1）过点与直线：垂直的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
由，解得.
所以.
故圆的方程为：.
（2）①若过点的直线斜率不存在，即直线是，与圆相切，符合题意；
②若过点的直线斜率存在，设直线方程为，
即，
若直线与圆相切，则有，
解得.
此时直线的方程为，即.
综上，切线的方程为或.
19. 已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由动点到点的距离比到轴的距离大，可得点到的距离等于到直线的距离，从而可得点的轨迹为以为焦点的抛物线，即可求得轨迹的方程；（2）设，，，直线，代入可得，由根与系数的关系可得，，由，可得，计算可求得的值，即可得结论．
【小问1详解】
动点到定点的距离比到轴的距离大，
又，到的距离等于到直线的距离，
动点的轨迹为以为焦点的抛物线，
轨迹方程；
【小问2详解】
设，，，
直线过点，
设直线方程：，
代入， 可得，显然，
则，，


得
又，
得
，即
故在轴上存在点使得
20. 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
（1）求双曲线C的方程．
（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．
【答案】（1）x21 （2）y＝4x﹣7，弦长
【解析】
【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，结合离心率，联立求解a,b,c得到双曲线的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，用点差法求出直线斜率，弦长公式求弦长即可.
【详解】（1）由题意得椭圆的焦点为F1（，0），F2（，0），
设双曲线方程为1，a＞0，b＞0，
则c2＝a2+b2＝3，
∵e
∴ca，
解得a2＝1，b2＝2，
∴双曲线方程为x21．
（2）把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入双曲线x12y12＝1，x22y22＝1，
两式相减，得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
把x1+x2＝4，y1+y2＝2代入，得4（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，
∴kAB4，
∴直线L的方程为y＝4x﹣7，
把y＝4x﹣7代入x21，
消去y得14x2﹣56x+51＝0，
∴x1+x2＝4，x1x2＝ ，k＝4，
∴|AB|•．
【点睛】本题考查了直线和椭圆的中点弦和弦长问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
21. 试问是否能找到一条斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，且使到点的距离相等?若存在，试求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，
【解析】
【分析】设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出MN中点P坐标，欲满足条件则，利用斜率关系结合判别式列不等式求解即可.
【详解】设直线为，联立椭圆，得，
设，，则，，
设P为线段MN的中点，若满足条件，则，
故，，所以，
由得，所以，所以
由得，所以，
所以，即，所以，又，所以或.
所以当时，存在满足条件的直线.
22. 已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足.
（1）求抛物线的方程；
（2）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点，设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）设，，，不妨设，直线的方程为，由直线与圆相切的条件：，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
则过点且斜率为1的直线方程为，
联立抛物线方程，
消去得：，
设，则，
由抛物线的定义可得，解得，
所以抛物线的方程为
（2）设，，，
不妨设，
化简得：，
圆心到直线的距离为1，
故，
即，不难发现，
上式又可化为，
同理有，
所以可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
由条件：
，
当且仅当时取等号.
∴面积的最小值为8.