湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知直线，已知，，，，若，则的最小值为，若曲线的方程为等内容，欢迎下载使用。

考试时间：2023年12月18日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C． D．
2．若圆：与圆：有三条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（ ）
A．B．C．D．1
5．彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位，且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的短半轴长度为（ ）天文单位．
A．B．C．D．
6．若点为椭圆上的点，、为其左右焦点，且，则的面积为（ ）
A．1B．C．D．2
7．已知直线：与双曲线：的右支交于、两点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知，是空间中两条不同的直线，，是不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
10．若曲线的方程为：，则下列说法不正确的是（ ）
A．当曲线为直线时，B．当时，曲线为焦点在轴的双曲线
C．当时，曲线不存在D．当曲线表示焦点在轴上的椭圆时，
11．已知点，在等轴双曲线：的图像上，点是双曲线的右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点到两渐近线距离的乘积为2
C．以为切点作双曲线的切线交轴于点
D．的面积为
12．已知、分别为棱长为2的正方体棱、上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段长度的最小值为2
B．三棱锥的外接球体积的最大值为
C．直线与直线所成角的余弦值的范围为
D．当、为中点时，平面截正方体所形成的图形的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若经过，两点的直线的倾斜角为，则________．
14．若事件与相互独立，且，，且，则________．
15．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点。现将双曲线：上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为________．
16．已知过抛物线：的焦点的直线与交于、两点，线段的中垂线与的准线交于点，若，则直线的方程为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线：与抛物线：恒有两个交点、．
（1）求的取值范围；
（2）当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度．
18．在斜三棱柱中，，，，、、分别为、、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19．已知圆：，圆：．
（1）求经过点以及圆与圆交点的圆的方程；
（2）若动圆和圆、圆均外切，求点的轨迹方程。
20．如图，在直三棱柱中，平面平面，，，的面积为10．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21．荆城小理论能力很强，计划高考后参加机动车驾驶证考试。了解到某平驾校学费4000元，包含各
科目第一场考试费用（若第一场考试不合格，补考费需学员自己通过交管12123另缴）。现通过随机抽样调查了解到本校已毕业的100名学长参加驾驶证考试所花费用，将数据分成4组：
，，，，并整理得到如下频率分布直方图。小汽车驾驶证考试通俗的讲分为理论考试：科目一、科目四；实际操作考试：科目二、科目三（路考）。认为自己理论无敌，科一、科四逢考必过，不在此题研究范围内。只略微担心实际操作考试，现了解到考试规则如下：
科目二通过才能进行科目三的考试预约，且科目二每场两次机会，每次通过概率为，补考费150元每场；科目三补考费200元每场，每场也是两次机会，每次通过概率为；以上两科目均可补考4场，即每科最多考试10次。
（根据《机动车驾驶证申领和使用规定》第三十七条：在驾驶技能准考证明有效期内，科目二和科目三道路驾驶技能考试预约考试的次数不得超过五次。第五次预约考试仍不合格的，已考试合格的其他科目成绩作废。）
（1）试求样本中费用的平均数和中位数（中位数结果取整数）；
（2）若同一科目第五次预约考试不合格，则需要重新缴纳学费4000元。求同学出现重新缴纳学费
从头再来的概率；（，，用含有，的式子表示结果）
（3）求小同学预估自己所花学费和补考费不超过4300元的概率。
22．已知既是椭圆短轴端点，又是双曲线的顶点，椭圆离心率为，双曲线离心率为，且、是方程的两根．过点的动直线与椭圆交于、，与双曲线交于、．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）若直线的斜率为1时，求；
（3）过点作的平行线交直线于点，问：线段的中点是否在定直线上，若在，求出该直线；若不在，请说明理由．
2023年宜荆荆随恩高二12月联考
高二数学答案
一、单项选择题
1-4 CAAA 5-8 CBDD
二、多项选择题
9．AB 10．BD 11．ABD 12．ABC
三、填空题
13． 14． 15． 16．或
四、解答题
17．（1）法1：由题，：，则直线为过定点且斜率不为0的直线
又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以定点在抛物线开口内部、焦点附近所以，所以；
法2：将直线与抛物线方程联立，得，又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以对恒成立．
所以，又，所以解得；
（2）由题，当时，：，由过焦点得；，所以抛物线：．将直线与抛物线方程联立，并令，，得
，，，由抛物线焦点弦公式得
．
18．（1）连接，如下图所示：因为，分别为，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面；
（2）连接，，
因为，，
所以全等，且与均为等边三角形，所以，又因为，所以，
所以，所以，所以是等腰直角三角形，
因为为的中点，所以且，
又因为，，所以是等腰直角三角形，
所以，所以，所以，
又因为，所以平面，
所以点到平面的距离，所以三棱锥的体积为
19．答案：（1）；（2）点的轨迹方程为：．
（1）设所求圆方程为：，
将代入上面方程，得
解得，所以该圆方程为：，
化简为：
（2）由题圆：，圆心，半径
圆：，圆心，半径
又因为圆和圆，圆均外切，令，圆的半径为，则
，，所以，
所以点在以，为左右焦点，以2为实轴长的双曲线靠近点的一支上，且，所以，， ，所以点坐标满足如下关系：
，解得．
所以点的轨迹方程为：．
20．（1）证明：因为直三棱柱，，，
所以平面，所以，所以，
又因为的面积为10，，
所以，即，所以，
又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以，又直三棱柱，所以．
（2）由（1）知，平面，，由题意知，，则
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，可得，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，所以，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21．（1）
由前两组频率和为：，
第三组频率为：，所以中位数在第三组，则
；
（2）由题，分两种情况考虑：
①科目二预约五场共10次均未通过：；
②科目二通过，科目三预约五场共10次均未通过：；
所以同学出现重新缴纳学费从头再来的概率为：
；
（3）由补考费150元每场，科目三补考费200元每场，故可分类如下：
①无补考费，总费用4000元，概率为：
②补考科目二一次，总费用4150元，概率为：；
③补考科目三一次，总费用4200元，概率为：；
④补考科目二两次，总费用4300元，概率为：；
故小同学预估自己所花学费和补考费不超过4300元的概率为：．
22．（1）由题、是方程的两根，，
解得，，又既是椭圆短轴端点，又是双曲线的顶点，
所以，，由，，解得，，
所以椭圆的标准方程为：，双曲线的标准方程为：；
（2）当直线的斜率为1时，直线的方程为：，令，，，，将直线的方程与椭圆和双曲线的方程分别联立如下，得
，其中，则，
所以；
，其中，则，
所以；
所以；
（3）易知的斜率存在且不为0，设：，，，与椭圆的方程联立，得，其中，且，
又因为，
，
则，此时：，所以，令线段的中点为，则，则
，将*代入上式，得
，所以，所以线段的中点在定直线上．（此题背景：二次曲线极点极线与调和点列）
8．法一：令，，为坐标原点，则，，即，设：，则，由几何关系，可取线段靠近点的三等分点点，则上式，即点到直线距离的倍，
由定比分点得，所以（自己算哈）
所以，
所以所求，选D．
法二：由法一知，可令，为参数，，则，所以
，所以选D．
16．法一：取线段中点，则在中，，可得，过点作准线于，则由抛物线几何性质：以焦点弦为直径的圆和准线相切，知中，
，所以，所以线段的中垂线的斜率为，
所以:或．
法二：代数法：通过联立方程求解即可．