举一反三：六年级数学上册第四单元《比》（1）期末重难点题型（原卷版+解析版）人教版

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【题型1 比、比值、连比、最简整数比（基本概念）】
【例1】填一填。
（1）小明看一本书，已经看了25页，还剩13页，他已看的页数和没看的页数比是（ 25:13 ），看了的页数和全书总页数的比是（ 25:38 ）。
（2）两个数相除的商是0.8，这两个数的最简整数比是（ 4:5 ）。
（3）在一道减法算式中，减数是被减数的，差与被减数的比是（ 4：7 ）。
解：
（1）已看的页数和没看的页数比是25:13；
总页数：25+13=38（页）
因此，看了的页数和全书总页数的比是25：38。
（2）两数的比=0.8:1=8:10=4:5。
（3）减数：被减数=3：7，
被减数：减数：差=7：3：4，
故，差：被减数=4：7。
点拨：第（2）题中，根据“两个数相除的商是0.8”可知，两数的比=0.8:1；接下来，利用比的性质将上步得到的比化为最简整数比即可。第（3）题中，设减数是3份，则被减数是7份，依据被减数-减数=差，即可求出差；然后利用比的认识，直接写出差与被减数的比即可。
【变式1-1】一辆汽车6小时行驶了360km，这辆汽车行驶的路程和时间的比是（60:1），比值是（ 60），这个比值表示的是（ 速度）；这辆汽车行驶的时间和路程的比是 （1:60），比值是（ ），这个比值表示的是（ 行驶1千米所用的时间 ）。
解：
一辆汽车6小时行驶了360km，这辆汽车行驶的路程和时间的比是60:1，比值是60，这个比值表示的是速度；这辆汽车行驶的时间和路程的比是1:60，比值是，这个比值表示的是行驶1千米所用的时间。
点拨：化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个数，可以是整数、小数或分数。
【变式1-2】把8：12化成最简整数比是 ，比值是 ；把0.25：0.45化成最简整数比是 ，比值是 。
解：
8：12
=（8÷4）：（12÷4）
=2：3；
8：12
=8÷12
=；
0.25：0.45
=（0.25×20）：（0.45×20）
=5：9；
0.25：0.45
=0.25÷0.45
=；
答：把8：12化成最简整数比是2：3，比值是；把0.25：0.45化成最简整数比是5：9，比值是。
故答案为：2：3，；5：9，。
点拨：化简比是根据比的性质将比化成最简比，在此基础上用比的前项除以比的后项所得的数值就是比值。
【变式1-3】甲数是乙数的，甲数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
答案：4；7；11。
解：把甲数看作4份，则乙数是7份，丙数是11份，甲、乙、丙三数的比是4:7:11。
点拨：把甲数看作4份，根据甲数是乙数的，甲数是丙数的，即可把乙数和丙数表示出来；
再根据比的意义，可知甲、乙、丙三数的比是甲、乙、丙所占份数的比，进而求出它们的比。
【题型2 基本概念的应用（反比关系）】
【例2】完成一份数学作业，乐乐用了15分钟，东东用了18分钟，他们写作业速度的最简整数比是（ D ）。
A.15:18 B.18:15 C.3:18 D.6：5
解：
他们写作业的效率比是:=18:15=6：5。
故选D。
点拨：将写数学作业这一工作量看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间=工作效率分别表示出两人写作业的效率；接下来用乐乐写作业的速度:东东写作业的速度，即可得到答案。
【变式2-1】判断题。加工零件，师傅一分钟加工2个，而徒弟2分钟加工一个。那么，师傅与徒弟的工效比为2：1。（ ）
解：
徒弟的工作效率：1÷2= ，
师傅与徒弟的工效比为2：=4：1，
原题师傅与徒弟的工效比为2：1是错误的。
故答案为：×。
【变式2-2】一项工程，甲队单独做16天完成，乙队单独做24天完成。
（1）写出甲、乙两队完成这项工程所用的时间比，并化简。
（2）写出甲、乙两队每天完成这项工程量的比，并化简。
解：
（1）甲、乙两队完成这项工程所用的时间比为：
16:24=2:3。
答：甲、乙两队完成这项工程所用的时间比为2:3。
（2）甲、乙两队每天完成这项工程量的比为：
:=3:2。
答：甲、乙两队每天完成这项工程量的比为3:2。
点拨：甲队单独做完这项工程所用时间比乙两队单独做完这项工程所用时间即可；
把这项工程的总工作量看成单位“1”，甲的工作效率是1÷16，乙的工作效率是1÷24，写出相应的比，化简即可；化简比可根据比的基本性质来解答，即比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），比值不变。
【变式2-3】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走的路，而乙走的时间比甲少，求甲、乙两人速度的比。
解：
假设乙走的路程为1，则甲走的路程为（1+），
假设甲走的时间为1，则乙走的时间为（1-），
则甲与乙的速度比：
:=12:11。
答：甲、乙两人的速度比是12:11。
点拨：已知甲比乙多走的路程，不妨设乙走的路程为1，那么甲走的路程为（1+）；乙比甲走的时间少，假设甲走的时间为1，则乙走的时间为（1-），根据“速度=路程÷时间”可得到两人的速度，再结合比的知识求解即可。
【题型3 连比的求法及应用】
【例3】甲数是乙数的，甲数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（ 4 ）:（ 5 ）:（
9 ）。
解：
丙数：甲数=9：4，
甲数：乙数=4：5，
所以，丙数：甲数：乙数=9：4：5，
故，甲数：乙数：丙数=4：5：9。
点拨：先根据已知条件进行排序，使第一个比的后项与第二个比的前项相同，如上都为甲数，然后根据比的基本性质，把相应数字化为相同，最后写出三个数的比。
【变式3-1】甲数是乙数的，乙数是丙数的，求甲、乙、丙三数的比。
解：
甲数：乙数=3：10=6：20，
乙数：丙数=4：9=20：45，
甲数：乙数：丙数=6:20:45。
答：这三个数的连比是6:20:45。
点拨：根据比的基本性质将两个比中的第二个比的值化相同，即求10和4的最小公倍数，来确定比的前项和后项同时扩大的倍数。
【变式3-2】甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是多少？
解法1：
甲数：乙数=2：3=8：12，
乙数：丙数=4：5=12：15，
甲数：乙数：丙数=8:12:15。
答：甲、乙、丙三个数的连比是8:12:15。
解法2：
设丙数为1，则乙数为，甲数为×，
甲数：乙数：丙数
=（×）：：1=：1=8:12:15。
答：甲、乙、丙三数的比是8:12:15。
点拨：解法2中，把丙数看作单位“1”，由“乙数是丙数的”，可得乙数相当于丙数的；
由“甲数是乙数的”，可得甲数相当于丙数的×，写成比的形式，化简即可。
【变式3-3】甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的和是152。甲、乙、丙三个数各是多少？
解：
甲数：乙数=5：6，
乙数：丙数=3：4=6：8，
甲数：乙数：丙数=5：6：8，
152÷（5+6+8）=8，
甲数：8×5=40，
乙数：6×8=48，
丙数：9×9=64。
答：甲数是40，乙数是48，丙数是64。
点拨：先求出三个数的比，再求出一份量，最后根据占的份数，求每个数的值。
【题型4 比的基本性质及拓展】
【例4】判断。（对的画“√”，错的画“×”）
（1）比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变。（ ）
（2）比的前项和后项同时加上或减去相同的数，比值不变。（ ）
（3）5:6的前项加上5，要使比值不变，后项应加上6。（ ）
答案：（1）×；（2）×；（3）√。
解：
（1）比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。故原题错误。
（2）比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以一个非0的数，不是加上或减去相同的数，故原题错误。
（3）5+5=10，10÷5=2，6×2-6=6，所以比的后项应加上6。故原题正确。
【变式4-1】在3:8中，把比的前项加上9，要使比值不变，比的后项应加上 24 。
解法1：
（3+9）÷3=4，
8×4-8=24。
解法2：
9÷3=3，
8×3=24。
点拨：解法1中，根据题意可知比的前项加上9等于12，这样前项相当于乘以4；根据比的性质要想比值不变，那么后项也应同时乘以4，已知原来的后项是8，就可以求我们要求的数值。解法2中，比的前项加几倍，比的后项也加几倍，即前项3加自身的3倍，后项8也要加自身的3倍。
【变式4-2】把甲班人数的调入乙班，两班人数相等，原来乙班与甲班的人数比是多少？
解：
（1-×2）:1=（1-）:1
=:1=（×5）:（1×5）
=3:5。
点拨：甲班原来比乙班多甲班人数的（×2）。将原来甲班人数看作单位“1”，原来乙班人数占（1-×2）。
【变式4-3】在学校召开的春季运动会上，李小强、刘小刚、王小林三人参加百米赛跑，在赛跑的过程中，李小强的速度比刘小刚慢，刘小刚比王小林慢。他们三人速度的比是多少？
解：
设王小林的速度：1，则
刘小刚的速度：（1-）=，
小强的速度：×（1- ）=，
则他们三人的速度比为：
：：1=81：90：100。
答：他们三人速度的比是81：90：100。
点拨：【分析】把王小林的速度看作单位“1”，则刘小刚的速度是（1- ）=，再把刘小刚的速度看作单位“1”，则李小强的速度是王小林的×（1- ），再据比的意义即可求解。
【题型5 一份量（三角形、长方形、长方体问题）】
【例5】一块长方形地周长400米，长和宽的比是3：2，这块地的面积是多少平方米？
解：
一份：
400÷2÷（3+2）
=200÷5
=40（米），
长：40×3=120（米），
宽：40×2=80（米），
面积：120×80=9600（平方米），
答：这块地的面积是9600平方米。
点拨：长方形周长÷2=长+宽。
【变式5-1】用一根长96 cm的铁丝，按长、宽、高之比为3:2:1剪断后，焊接成一个长方体框架。
（1）这个长方体的体积是多少？
（2）将这个长方体的外面用彩纸糊上，需要准备多少平方厘米的彩纸？
解：
（1）每份：
96÷4÷（3＋2＋1）
=24÷6
=4（厘米）。
长：4×3=12（厘米），
宽：4×2=8（厘米），
高：4×1=4（厘米），
体积：4×8×12
=32×12
=384（立方厘米）。
答：长方体的体积是384 立方厘米.
（2）表面积：（4×8＋4×12＋8×12）×2
=（32＋48＋96）×2
=176×2
=352（平方厘米）。
答：需要准备352 平方厘米彩纸。
点拨：长方体棱长总和÷4=长+宽+高。
【变式5-2】一个三角形，底是4dm，底与其对应高的比是2:3，这个三角形的面积是多少平方分米？
解：
高：
4÷2×3=6（dm），
面积：
4×6÷2=12（dm2）
答：这个三角形的面积是12平方分米。
点拨：根据底的长度及底与高的比，求出高；再由三角形的面积=底×高÷2，代入数据解答即可。
【变式5-3】一个三角形三个内角度数的比是6：2：1，这个三角形是（ C ）。
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
解：
180÷（6+2+1）=20（度），
最大角：
20×6=120 （度），
所以这是一个钝角三角形，
故本题选择C。
点拨：根据三个内角度数的比是6：2：1，计算出最大内角的度数，从而解答问题。
【题型6 一份量（工作量问题）】
【例6】三个修路队共同修一段路，第一队修了48千米，占这段路的，第二队与第三队所修路长度的比是3∶5,第三队修了多少千米？
解：
（48÷ - 48）÷（3+5）×5
=72÷5×8
=45（千米）。
答：第三队修了45千米。
点拨：先根据分数除法的意义求出这段路的总长度，用总长度减去第一队修的长度即可求出第二队与第三队修的长度之和，然后用长度之和乘第三队修的占两队之和的分率即可求出第三队修的长度。
【变式6-1】甲、乙两位工人的工作效率比是3:2，乙工人每小时生产36个零件，甲、乙两人合作10分钟一共生产多少个零件？
解：
36÷2×（3+2）×10÷60
=15（个）。
答：甲、乙两人合作10分钟一共生产15个零件。
【变式6-2】三个小队共植树210棵，第一小队植了总数的，第二小队与第三小队植树的比为2:5，这三个小队各植树多少棵？
解：
第二小队、第三小队共植：
210×（1-）=126（棵），
第二小队：
126÷（2+5）×2=36（棵），
126-36=90（棵）。
第一小队：
210-126=84（棵）。
答：第一小队植树84棵，第二小队植树36棵，第三小队植树90棵。
【变式6-3】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组人数比是4:5，这三个小组各有多少人？
解：
第一小组、第二小组和第三小组人数的比：8:12:15，
一份：
140÷（4+12+15）=4（人），
第一小组：4×8=32（人），
第二小组：4×12=48（人），
第三小组：4×15==60（人）。
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
【题型7 一份量（行程问题）】
【例7】A、B两地相距500km，甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是12：13，则甲、乙两车每小时各行多少千米？
解：
速度和：
500÷4=125（千米/时）
甲每小时行：
125÷（12+13）×12=60（千米），
乙每小时行：
125-60=65（千米）。
答：甲、乙两车每小时各行60千米、65千米。
点拨：根据总路程÷时间可求出两车的速度和；再根据甲、乙两车的速度比是12:13，求甲、乙两车的速度。
【变式7-1】三种动物赛跑，狐狸的速度是兔子速度的，兔子的速度是松鼠速度的2倍，那么狐狸、兔子、松鼠的速度比是多少？若狐狸每分钟比松鼠多跑14m，那么兔子半分钟比狐狸多跑多少米？
解：
狐狸、兔子、松鼠的速度比：
（×2）：2：1=4：6：3，
一份：
14÷（4-3）=14（米/分），
兔子半分钟比狐狸多跑：
14×（6-4）÷2=14（米）。
答：狐狸、兔子、松鼠的速度比是4:6:3，兔子半分钟比狐狸多跑14米。
点拨：要先把松鼠的速度看作1倍量，然后得出兔子和狐狸的速度，写出最简的整数比；再根据14和对应的份数，求出兔子半分钟比狐狸多跑的路程。
【变式7-2】某高速公路收费站对于过往车辆的收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5：6，小客车与小轿车之比是4：11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天三种车辆通过的数量各是多少？
解：
大客车的数量:小客车的数量=5:6=10:12,
小客车的数量:小轿车的数量=4:11=12:33，
则大客车的数量:小客车的数量:小轿车的数量=10:12:33，
大客车钱:小客车钱:小轿车钱=（10×30）:（12×15）:（33×10）=300:180:330，
一份：
210÷（330-300）=7（辆），
大客车：10×7=70（辆），
小客车：12×7=84（辆），
小轿车：33×7=231（辆）。
答：大客车70辆，小客车84辆，小轿车231辆。
【变式7-3】大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶,大货车先走1.5小时,小轿车出发后4小时后追上了大货车；如果小轿车每小时多行5千米,那么出发后3小时就追上了大货车。问：小轿车实际上每小时行多少千米？
解：
大货车的速度是小轿车速度的：
4：（1.5+4）
=4：5.5,
=；
小轿车实际上每小时行：
5×3÷（1-）
=15÷
=15×
=55（千米）。
答：小轿车实际上每小时行55千米。
点拨：从大货车先走1.5小时,小轿车出发4小时后追上大货车，可知大货车5.5小时的路程等于小轿车走4小时的路程,则大货车的速度是小轿车的；从小轿车每小时多走5千米,出发后3小时就可以追上大货车,所以每小时的速度差是5×3=15（千米）,因为大货车的速度是小轿车的，所以小轿车的速度是：15÷（1-）,解决问题．
【题型8 一份量（图书类问题）】
【例8】图书馆运来一批新书，其中科技书与文艺书的数量比为3:4，文艺书与连环画的数量比为2:3，科技书比连环画少21本。你能计算出连环画有多少本吗？
解：
科技书与文艺书的比是3:4，
文艺书与连环画的比是2:3=4:6，
则科技书、文艺书、连环画的比是3:4:6，
连环画：
21÷（6-3）×6=42（本）。
答：连环画有42本。
点拨：由科技书与文艺书的比、文艺书与连环画的比，可求出三种书的数量比；根据比的应用方法，用科技书比连环画少的本数，除以它们的份数差，可求出每份是多少；然后用每份的本数与连环画所占的份数相乘，至此问题得解。
【变式8-1】学校图书馆买来了540本新书，其中连环画占，其余的是文艺书和科技书，文艺书和科技书的比是3:2。文艺书有多少本？
解：
连环画：
540×=180（本），
其他书：
540-180=360（本），
文艺书：
360÷（3+2）×3
=360÷5×3
=72×3
=216（本）。
答：文艺书有216本。
点拨：根据连环画占，求540的是多少，列出乘法算式，即可求出连环画的本数；然后用减法求出文艺书与科技书的本数之和，根据文艺书和科技书的比是3:2，用除法求出每份是多少，最后用乘法求出3份就是文艺书的本数。
【变式8-2】学校新进一批图书，按3∶4∶5分配给四、五、六年级，五年级分得120本，四年级和六年级各分多少本？
解：
120÷4＝30（本），
30×3＝90（本），
30×5＝150（本）。
答：四年级分90本，六年级分150本。
点拨：用五年级分的本数除以五年级分的份数求出每份是多少本，用每份的本数分别乘四年级和六年级分的份数即可分别求出两个年级分得的本数。
【变式8-3】一个书架有三层，共放540本书，上层与中层图书本数比是4：5，中层与下层图书比是10：9，上层中层下层图书各多少本．
解：
上层放书本数和中层的比是4：5，中层放书本数和下层的比是10：9，
上层放书本数、中层放书本数和下层放书本数的比是8：10：9。
一份：
540÷（8+10+9）=20（本），
上层：20×8=160（本），
中层：20×10=200（本），
下层：20×9=180（本）。
答：上层放书160本，中层放书200本，下层放书180本。