四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析），共12页。

考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C:，则椭圆C的长轴长为
A．3B．4C．6D．9
2．若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为
A．B．C．D．
3．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是
A．90B．75C．95D．70
4．若方程表示一个圆，则m可取的值为
A．0B．1C．2D．3
5．有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为
A．B．C．D．
6．已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为
A．3B．C．D．
7．已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为
A．B．
C．D．
8．过点作圆的切线，切点分别为A，B，则弦长的最小值为
A．B．3C．2D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知甲、乙两蔬菜店春节假期一周销售蔬菜量统计如图所示，则下列说法正确的是
A．甲组数据的极差小于乙组数据的极差
B．甲店在春节假期间每天的销售量越来越大
C．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
D．若甲、乙两组数据的标准差分别为，则
10．一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A表示事件“骰子向上的点数大于等于3”，B表示事件“骰子向上的点数为奇数”，则
A．B．
C．D．
11．已知曲线，直线，点A为曲线C上的动点，则下列说法正确的是
A．直线l恒过定点
B．当时，直线l被曲线C截得的弦长为
C．若直线l与曲线C有两个交点，则m的范围为
D．当时，点A到直线l距离的最小值为
12．已知椭圆的上、下焦点分别为F2，F1，上顶点为A，右顶点为B，原点为O，直线与椭圆C交于D，E两点，点，则
A．四边形面积的最大值为
B．四边形的周长为12
C．直线BD，BE的斜率之积为
D．若动点Q满足，且点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为______．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，若，则______．
15．正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为______．
16．已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为______（写成集合或区间形式）．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知直线，．
（1）若直线，求m的值；
（2）若直线，求l1与l2的距离．
18．（12分）
已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．
19．（12分）
传唱红色歌曲能够弥补青少年面对社会多元化的彷徨，有助于在红歌中受到启迪，树立积极的生活态度和健康的价值观．某重点高中在纪念“一二·九”活动中，举办了“唱青春之序曲，展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛，由专业教师和学生会共50人组成评委团，评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱比赛．评委对各节目的给分相互独立，互不影响．现有两个特等奖节目：《在太行山上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表，如下所示：
（1）从两个节目各自的平均分来看，应该推选哪个节目参加区合唱比赛（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值，从两个节目的“印象值”分数中各随机抽取一个分数，试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率．
20．（12分）
圆C经过点和点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程及原点O到直线AB距离最大时m的值．
21．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，点E是线段PC（不含端点）上的一个动点．
（1）设平面ADE交PB于点F，求证：EF平面PAD；
（2）当点E到平面PAD的距离为时，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．
22．（12分）
已知椭圆C的方程为，称圆心在坐标原点O，半径为的圆为椭圆C的“蒙日圆”，椭圆C的焦距为2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“蒙日圆”交于C，D两点，当时，求面积的最大值．
2023～2024学年度上期高中2022级期末联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．14．15．16．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1），
，
m的值为6；…………………………4分
（2），
，解得：或，…………………………7分
验证，，两直线重合，舍去，
时，，，
． ………………………10分
18．（12分）
解：（1）设动圆M的半径为r，
动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，
，且，…………………………2分
于是，…………………………3分
动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，
，，…………………………5分
当M点为椭圆左顶点时，不合题意，舍去
动圆圆心M的轨迹C的方程为；…………………………6分
（2）设，由题意，显然，
则有，，…………………………7分
两式作差可得，
所以有，…………………………9分
又，
所以直线l的斜率， …………………………10分
直线l的方程为，整理可得. …………………………12分
19．（12分）
解：（1）由频率分布直方图可知，《在太行山上》的平均得分约为：
，
由频率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分约为：
， ………………………5分
，故应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛；…………………………6分
（2）设“对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”为事件M，
设A9表示事件“对《在太行山上》印象值为9”，
设A10表示事件“对《在太行山上》印象值为10”，
设B8表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为8”，
设B9表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为9”，…………………………7分
则，…………………………8分
，，…………………………9分
，， ………………………10分
事件Ai与Bj相互独立，其中，，
，
估计对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率为0.284． …………………………12分
20．（12分）
解：（1）线段EF的中点坐标为，
线段EF的垂直平分线方程为，
联立，得C，
又
圆C的标准方程为；…………………………5分
（2）线段PC的中点坐标为，
以线段PC为直径的圆的标准方程为：，
即，
圆C方程化为：，
两式相减得：，即为直线AB的方程， …………………………10分
即
由，直线AB经过定点，
当时，原点O到直线AB的距离最大，
，
，解得． ……………………12分
21．（12分）
解：（1）证明：四边形ABCD为菱形，，
平面PBC，平面PBC，平面PBC，…………………………2分
平面ADE，平面平面，，…………………………3分
平面PAD，平面PAD，平面PAD；…………………………4分
（2）在AB上取中点O，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
…………………………5分
则，，，，，…………………………6分
，，，
设，
则，…………………………7分
设是平面PAD的一个法向量，
则，可得，…………………………8分
由点E到平面PAD的距离为得，
解得，…………………………9分
故点E为CP中点，，
，又，
设是平面ADE的一个法向量，
则，可得， …………………………10分
又，故是平面ABCD的一个法向量，
得， …………………………11分
平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为． …………………………12分
22．（12分）
解：（1）由得，
，，…………………………2分
椭圆C的方程为：；…………………………3分
（2）由题意，蒙日圆方程为，圆心为O，半径，…………………………4分
①当轴时，设直线CD:，
，解得：，代入椭圆C的方程可得：，，
，…………………………5分
②当CD不垂直x轴时，设直线CD：，即，
圆心O到直线CD的距离为，得，………………………6分
联立消去y得：，…………………………7分
，解得，
设，，
则，，…………………………8分
，
，…………………………9分
， …………………………10分
令，则，，代入上式，，
令，则，
，
当时，取得最大值， …………………………11分
又，
综上所述，面积的最大值为． …………………………12分
部分解析：
11．解：直线，，，直线过定点，A错误；当时，直线，半圆与直线相交，圆心到直线的距离为，弦长为，B正确；若直线与曲线有两个交点，则当时，有两个交点，当时，仅有一个交点，当直线与曲线相切时，点到直线的距离为2，，解得（舍）或，所以m的范围为，C正确；当时，直线，当A为原点时距离最小，且最小值为，D错误，故选：BC．
12．解：，因为直线过原点，所以四边形为平行四边形，即面积取最大值时，四边形面积取最大值，此时，四边形面积的最大值为，A正确；四边形的周长为，B正确；若，则，C错误；若动点Q满足，可得Q在圆上，，D正确，故选：ABD．
15．解：以D为原点建系如下，
则，，，，设，，，则，因为，所以，解得，，易得平面AB1C的法向量，直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为，故答案为：．
16．解：直线AB方程为，设点P的坐标为，，，所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，① 圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径，，，，，，，②若，，，综上的取值范围为．
分数区间
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
[75,85)
[85,95]
频数
1
4
10
22
11
2
频率
0.02
0.08
0.20
0.44
0.22
0.04
分数区间
[35,55)
[55,75)
[75,95]
印象值
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
A
D
C
B
B
A
9
10
11
12
AC
ACD
BC
ABD