四川省宜宾市叙州区第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市叙州区第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合并集的定义，结合数轴进行运算即可.
【详解】，，∴.
故选：C
【点睛】本题考查了集合并集的定义，考查了解绝对值不等式，考查了数学运算能力.
2. 已知命题p：∀x∈R+，lnx＞0，那么命题为（ ）
A. ∃x∈R+，lnx≤0B. ∀x∈R+，lnx＜0
C. ∃x∈R+，lnx＜0D. ∀x∈R+，lnx≤0
【答案】A
【解析】
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
故命题“p：∀x∈R+，lnx＞0”的否定为：∃x∈R+，lnx≤0.
故选：A.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两个方面的变化：1.量词，2.结论，属于基础题.
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.
【详解】不等式，
解得.
故选：C．
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举反例说明A,B,D不正确，根据幂函数单调性证明C成立.
详解】当时满足，，但
所以A,B,D不正确，
因为为上单调递减函数，且
所以，
故选：C
【点睛】本题考查利用不等式性质比较大小、幂函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
5. 设是定义在上的周期为3的函数，当时，
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用周期性得并代入求值，再计算外层即可.
【详解】由周期性可得，.
故选：B.
6. 已知的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由值域为可得函数可以取到任意的正实数，对二次项系数分两种情况讨论，结合二次函数的性质列不等式求解即可.
【详解】因为的值域为，
所以函数可以取到任意的正实数，
若，该式为，符合题意
若，则，解得，
所以实数a的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题主要考查对数型复合函数的值域，考查了转化思想的应用，解题的关键是将值域为转化为真数可以取到任意的正实数，属于中档题.
7. 2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成.若按上述规定，若王华收到的密文是，那么原来的明文是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别得出、对应的自然数，将、代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案.
【详解】对应的自然数为21，即，则或，解得：(舍)，即对应的明文为，故排除A，D；
对应的自然数为23，即，则或，解得：(舍)，，即对应的明文为，故排除B；
故选：C
【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.
8. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原不等式恒成立可化为恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得，故只需恒成立，解关于a的不等式可得．
【详解】正实数x，y满足，可得，
不等式恒成立，
即恒成立，
变形可得恒成立，
即恒成立，
，，，当且仅当时等号成立，
，即，
解不等式可得，或舍
可得，要使恒成立，只需恒成立，
化简可得，即，解得或，
故实数a的取值范围是
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 可以作为“”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合的包含关系判断可得出合适的选项.
【详解】因为，，
，
所以，可以作为“”的一个必要不充分条件可以是或.
故选：AC.
10. 若关于x的不等式的解集为，则函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由不等式的解集确定且，求出，，从而判断出大致图象.
【详解】不等式的解集为，
故且，解得：，
即，解得：，
故，
开口向下，且对称轴在轴左侧，与轴交点为1，
显然BC选项符合要求.
故选：BC
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 定义域、值域分别是，B. 单调减区间是
C. 定义域、值域分别是，D. 单调减区间是
【答案】BC
【解析】
【分析】首先根据题意得到，从而得到函数的定义域为，结合二次函数的性质得到函数和单调减区间是，再依次判断选项即可.
【详解】要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为．
因为，，
时，，或时，，
所以．
因为抛物线的对称轴为直线，开口向下，，
所以的单调减区间是．
故选：BC．
12. 已知函数，则使的可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，求出的值，然后结合函数的解析式可求得的值.
【详解】①当时，由，可得，
若时，则，此时无解，
若时，由，解得；
②当时，由，可得或.
若时，则，由可得，方程无解，
若时，由可得或，由可得或.
综上所述，满足的的取值集合为.
故选：BCD.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：“”是假命题等价于，即，解之得，即实数的取值范围是.
考点：1.特称命题与全称命题；2.不等式恒成立与一元二次不等式.
14. 已知是定义在上的增函数，那么的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数在上单调递增，其在各段上单调递增，且界点左边函数值小于等于右边的函数值，即可列出等式，解出即为答案.
【详解】因为是定义在上的增函数.
所以
故答案为.
【点睛】本题考查由分段函数在上单调递增，求出参数的取值范围,属于基础题.本类题型有两种考法：①分段函数在上单调递增：其在各段上单调递增，且界点左边的函数值小于等于右边的函数值.②分段函数在上单调递减：其在各段上单调递减，且界点左边的函数值大于等于右边的函数值.
15. 已知函数，则的值域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，先求出的范围，再根据对数函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
则，可得，
已知单调递减，所以，
则的值域为.
故答案为：.
16. 若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】设，得到，转化为在上有两个不等的实根，设，列出不等式组，即可求解.
【详解】由方程等价于，
设，可得，
即方程等价于在上有两个不等的实根，
设，
则满足，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）.
（2）.
【答案】（1）；（2）1．
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的运算性质运算可得答案；
（2）根据立方和公式以及对数的运算性质计算可得答案.
【详解】（1）原式；
（2）原式
.
【点睛】关键点点睛：掌握指数幂的运算性质和对数的运算性质是解题关键.
18. 设集合，或，或．
（1），求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集求解；
（2）分类讨论，求解；
【小问1详解】
当时，集合或，或，
或.
【小问2详解】
若，则，
当时，，所以，符合题意；
当时，需满足，解得，
综上所述，m的取值范围为
19. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并证明;
（2）用定义证明: 在区间上单调递减.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，即可证明；
（2）利用单调性的定义法，即可证明.
【小问1详解】
函数的定义域为，定义域关于原点对称，

函数是奇函数
综上所述，结论是: 函数是奇函数
【小问2详解】
设，，
则

所以
所以在区间上单调递减.
20. 设函数．
（1）命题，使得成立．若为假命题，求实数的取值范围；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案；
（2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案.
【小问1详解】
为假命题，
，恒成立为真命题，即不等式在R上恒成立，
当时，恒成立，则满足题意．
当时，需满足，解得，
综上，．
【小问2详解】
不等式等价于．
当时，则，原不等式即为，解得；
当时，则，解得或；
当时，则，解得或；
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
21. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路､地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，一般情况下，该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度与车流密度之间满足函数关系式：，（为常数）.
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）
【答案】21.
22. 隧道内车流量的最大值为辆/小时，此时车流密度为辆/千米.
【解析】
【分析】（1）先根据时，得到，从而得到满足要求，时，解不等式，得到答案；
（2）分和两种情况，表达出车流量关于车流密度的关系式，由函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案.
小问1详解】
当时，
由题意得，当时，，即，解得，
当时，车流速度为60千米/小时，满足要求，
若，令，解得，
综上，，车流密度的取值范围为；
【小问2详解】
当时，，单调递增，
故当时，取得最大值，最大值为辆/小时；
当时，，
令，则
，
当且仅当，即时，等号成立，此时
由于，
故隧道内车流量的最大值为辆/小时，此时车流密度为辆/千米.
22. 已知函数，.
（1）若，求函数在的值域；
（2）令，已知函数在区间有零点，求实数的取值范围；
（3）若，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）1010.
【解析】
【分析】（1）若，先求出的表达式，结合一元二次函数的性质求函数在，的值域；
（2）先求出的表达式，利用换元法将函数进行转化求解；
（3）若，证明，利用倒序相加法，即可求值．
【详解】解：（1）若
，
当上函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为.
（2）令
，
设，当，则，
则函数等价为，
若函数在区间有零点，
则等价为在上有零点，
即在上有解，
即在上有解，
即，
设，则，
则，
则在上递增，
则当时，，当时，，
∴，
即，
即实数的取值范围是；
（3）若，则，
则，
设
则
两式相加得
即
则
故.
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，分别利用换元法，转化法以及倒序相加法将函数进行化简是解决本题的关键．