四川省自贡市蜀光中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省自贡市蜀光中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共17页。
1．答卷前，考生务必将自己姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，考试结束后，只需将答题卡交回．
2．试卷中的选择题部分，请在选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．试卷上的非选择题部分，请用0.5mm黑色签字笔在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的作答无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为集合，，
则.
故选：B
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.
【详解】∵全称量词命题的否定是存在量词命题，
∴命题“”的否定是：“”,
故选:D.
3. 与角终边相同的最小正角是（ ）
A. B. 330°C. 30°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由终边相同角的定义，即可得到结果.
【详解】因为，
所以与角终边相同的最小正角是.
故选：C
4. 已知幂函数在为单调增函数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为幂函数，求得的可能取值，再由在上的单调性，求得的值.
【详解】由于为幂函数，所以，当时，在上递减，不符合题意，当时在上递增，符合题意.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.
5. 下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的性质逐项分析即得．
【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为，且在单调递减，
对于A，，定义域为，，
所以函数为奇函数，在单调递减，故A正确；
对于B，，定义域为，故B错误；
对于C，，定义域为，故C错误；
对于D，，定义域为，，函数为偶函数，故D错误.
故选：A．
6. 已知实数，，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由指数函数，对数函数的单调性，将与比较大小，即可得到结果.
【详解】因为，，即，
，所以.
故选：C
7. 已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A. 9B. 6C. 4D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，利用基本不等式可得 ，进而即得.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为1.
故选：D.
8. 已知函数是定义在R上的偶函数，对于，，且，都有成立，若实数m满足，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性化简不等式，进而求得的取值范围.
【详解】依题意，函数是定义在R上的偶函数，，
构造函数，则，
所以是奇函数，图象关于原点对称.
由于，，且，都有成立，
即，所以在上递减，
所以在上递减.
由，
即，，
即，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举例说明判断A；利用指数函数、对数函数、幂函数单调性质判断BCD.
【详解】对于A，取，满足且，而，A错误；
对于B，函数在上单调递减，由，得，B正确；
对于C，，函数在上单调递增，由，
得，则，C正确；
对于D，，函数在上单调递增，由，得，则，D正确.
故选：BCD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 与表示同一函数
C. 用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据充分不必要条件，结合不等式性质以及特殊值法，可得答案；
对于B，根据函数的定义域以及对数运算，可得答案；
对于C，根据弧度制的定义，可得答案；
对于D，根据弧度制的换算规律，可得答案.
【详解】对于A，由，则，所以；当时，由，则，故A正确；
对于B，由题意可知：函数与的定义域都为，
且，，故B正确；
对于C，根据弧度制的定义易知C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，以下说法正确的有（ ）
A. 若的定义域是，则
B. 若的定义域是，则
C. 若恒成立，则
D. 若，则的值域不可能是
【答案】CD
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知对任意的，，列出关于的各种情况，可判断B选项；利用对数运算求出的值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，若函数的定义域为，
则关于的不等式的解集为，故，A错；
对于B选项，若函数的定义域为，则对任意的，，
所以，或，B错；
对于C选项，由可得，
即，所以，，C对；
对于D选项，当时，则函数的值域为，
若函数的值域为，则，显然是不可能的，D对
故选：CD
12. 已知函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得，，所在区间，进而可判断ACD，由题可知，分别为，与直线的交点的横坐标，结合反函数的性质可判断B.
【详解】因为单调递增，又，，
所以，
因单调递增，，，
所以，则，故A错误；
因为单调递增， ，
所以，又，所以，故C正确；
因为，，所以，，故D错误；
由，可得，
由，可得，
又函数与互为反函数图象关于对称，
作出函数，及的图象，
又与垂直，由，可得，
则，与直线的交点的横坐标分别为，，且，故B正确.
故选：BC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角．
【答案】第三象限角
【解析】
【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，
可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，
则α是第三象限角．
考点：三角函数值的象限符号.
14. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的函数，列出不等式并求解即可.
【详解】函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
15. 已知函数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】设，求出的奇偶性，从而求解.
【详解】设，，则，
，
所以为奇函数，所以，
所以：.
故答案为：.
16. 函数，若关于的方程恰好有8个不同的实数根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】令，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数的图象，数形结合得到不同的时，两函数交点情况，得到答案.
【详解】令，由对勾函数的性质可知：
对于一个确定的值，关于的方程最多两个解，
画出的图象如下：
故值域为，
作出函数图象，如下：
令，解得：，
令，解得：，，
令，解得：，
当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解；
当时，存在使得，此时方程有三解，
其中时，有1个解，即，时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有四解，
时，无解，时，有2个解，时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有七解，
时，有1个解，即，时，有2个解，时，有2个解，
时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有八个解，
当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有六解，
当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有四解，
当时，有2个解，时，有2个解；
综上：实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，除第17题10分外，其余各题均为12分，考生根据试题要求作答．
17. （1）求值：；
（2）已知，求值：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，将原式分子分母同除，即可得到结果.
【详解】（1）原式
.
（2）原式.
18. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案；
（2）根据对数的运算，结合对数函数的单调性，结合二次不等式，可得答案.
【小问1详解】
由题意可得，解得，所以函数的定义域为.
【小问2详解】
由题意可得，则，
根据函数在其定义域内单调递增，则，
化简可得，分解因式为，解得或，
由函数的定义域为，则不等式的解集为.
19. 已知函数（，且）．
（1）若函数的图象过点，求b的值；
（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．
【答案】（1）1 （2）或
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入求出b值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.
【小问1详解】
，解得.
【小问2详解】
当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
20. 已知函数（，为常数，且）的图象经过点，．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于不等式对都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将，，代入函数，利用待定系数法即可得出答案；
（2）对都成立，即，，令，，令，求出函数的最小值即可得解.
【小问1详解】
解：∵函数的图象经过点，，
∴，即，
又∵，∴，，
∴，即；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∴对都成立，即对都成立，
∴，，
令，，则，
令，即，，
∴的图象是开口向下且关于直线对称的抛物线，
∴，
∴，
∴的取值区间为．
21. 道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，．已知当道路密度时，交通流量，其中．
（1）求的值；
（2）若交通流量，求道路密度取值范围；
（3）求车辆密度的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，建立方程，结合一元二次方程求解即可；
（2）分情况建立不等式，可得答案；
（3）根据函数性质，结合分情况，可得答案.
【小问1详解】
由题意可知：，即，由，解得.
【小问2详解】
当时，不等式，则，解得，故；
当时，不等式，则，解得，此时无解.
综上所述，.
【小问3详解】
由题意可得，
当时，；
当时，，因为，
所以此时当时，取得最大值.
因为，所以的最大值为.
22. 已知函数是奇函数，且.
（1）求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；
（2）已知函数且，已知在的最大值为2，求的值.
【答案】（1）；函数在区间上单调递减，在上单调递增
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质及，即可得到方程组，求出、的值，即可得到函数解析式，再根据对勾函数的性质判断即可；
（2）分和两种情况讨论，结合对数型复合函数的单调性计算可得；
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
是奇函数，且
，且
又
.
经检验，满足题意，
故.
当时，时等号成立，
当时，单调递减；当时，单调递增.
【小问2详解】
解：①当时，是减函数，
故当取得最小值时，且取得最大值2，
而在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，故的最大值是，
所以.
②当时，是增函数，
故当取得最大值时，
且取得最大值2，
而在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为，故的最大值是，
所以.
综上所述，或