西藏自治区拉萨市2024届高三上学期第一次模拟数学试题（理）（Word版附解析）

这是一份西藏自治区拉萨市2024届高三上学期第一次模拟数学试题（理）（Word版附解析），共21页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数为纯虚数，则实数值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
3. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
4. 将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ）
A B. C. D.
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A. B. C. 4D. 5
7. 二项式的展开式中的第3项为（ ）
A. 160B. C. D.
8. 若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9. 若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B.
C. D.
10. 的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
11. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（ ）

A. B. C. D.
12. 已知函数的定义域为R，，，且，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，空间向量．若，则______．
14. 已知正数，满足，则的最小值为______.
15. 如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________．
16. 已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数______；当函数有三个零点时，函数的极大值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知等差数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求．
18. 如图，正方体的棱长为2．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．
（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；
（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望．
20. 设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线方程.
21. 已知函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若方程有解，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；
（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值.
【选修4-5：不等式选讲】
23 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）证明：，，使得.拉萨市2024届高三第一次模拟考试
数学理科
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案.
【详解】因为，，所以，
因为，所以.
故选：A
2. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】化简后，得到方程与不等式，求出.
【详解】因为为纯虚数，
所以，解得.
故选：D．
3. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，进而求得焦点坐标.
【详解】因为，，所以，得，
所以焦点坐标为和.
故选：C
4. 将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换求得的解析式，然后根据为偶函数求得.
【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
因为为偶函数，且，所以，得.
故选：A
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据趋于正无穷时函数值大于0可得到答案.
【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除CD；
根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除B.
故选：A.
6. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求得点的坐标，进而求得.
【详解】设，由得，又，得，
所以，
故选：B
7. 二项式的展开式中的第3项为（ ）
A. 160B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式展开式公式即可求解.
【详解】因为，所以，故C项正确.
故选：C．
8. 若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出可行域，然后利用斜率的知识求得的最小值.
【详解】根据约束条件画出如图所示的可行区域，
再利用几何意义知表示点与点连线的斜率，
直线的斜率最小，由，得，
所以.
故选：C
9. 若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积.
【详解】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，
所以圆锥的母线长，底面圆半径，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B
10. 的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据正切的两角和公式变形可得.
【详解】因为，
变形得，
所以.
故选：D．
11. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得圆的直径，结合正弦定理，即可求得的长.
【详解】因为，所以为圆的直径，
根据题意，可得，
又因为在以为直径的圆上，即以为直径的圆为的外接圆，
由正弦定理，可得.
故选：A.
12. 已知函数的定义域为R，，，且，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据单调性的定义和对称性知关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，把不等式转化为，利用变量与对称轴的位置关系列不等式求解即可.
【详解】因为函数的定义域为R，，所以函数图象关于对称，
又，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
记，
因为关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，
所以关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，
由得，等价于，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，空间向量．若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据，从而可求出，即可求解.
【详解】因为，所以，即，得．
故答案为：.
14. 已知正数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】正数，满足，利用“1”的代换，将已知转化为，再利用基本不等式求解即可.
【详解】正数，满足，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
15. 如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出半径之比，从而可求体积之比.
【详解】根据球的表面积公式，可求得两个球的半径之比为，
利用球的体积公式可得出两个球的体积比为
故答案为：.
16. 已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数______；当函数有三个零点时，函数的极大值为______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】因式分解得，然后根据零点互为相反数可得解析式；当函数有三个零点时，求出解析式后利用导数求极值即可.
【详解】，
当时，函数有两个零点，其中一个为，另一个必为1，
于；
当有3个零点时，因为函数的图象与轴的交点关于轴对称，
所以0是函数的零点，
从而1也是函数的零点，
于是，
由，得，
当或时，；当时，.
所以，当时，函数有极大值，极大值为．
故答案为：；.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知等差数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组并求解，结合等差数列的通项公式可得答案；
（2）利用裂项相消法可求得结果.
【小问1详解】
设的公差为，
由已知得解得．
故．
【小问2详解】
，
所以
．
18. 如图，正方体的棱长为2．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由线面平行的判定定理证明即可.
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量、平面的法向量，由线面角的正弦值公式运算即可.
【小问1详解】
平面平面，
平面．
【小问2详解】
如图，以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
所以，
设平面的法向量为，
由得，
令，得，
．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．
（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；
（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望值为
【解析】
【分析】（1）根据组合知识得到BAT中有1个和有0个的情况，从而求出相应的概率；
（2）求出的可能取值和对应的概率，求出分布列，得到期望值.
【小问1详解】
选取的3个科技企业中，BAT中有1个的情况为种，
BAT中有0个的情况为种，
故BAT中至多有1个的概率为．
【小问2详解】
由题意，的所有取值为，
，
，
所以的分布列为
．
20. 设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.
（1）求标准方程；
（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，可直接求出点，，从而确定基本量的值，进而求出椭圆的方程；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，直曲联立，解方程即可进行取舍；当斜率存在时，直曲联立，结合韦达定理和中点坐标公式列方程即可求.
【小问1详解】
由题意，直线与轴的交点为，与轴的交点为，
所以，，，
因此标准方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，：，
联立，解得或，
故，，不满足，即不是的中点，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线：，，.
联立可得，
即.
所以.
由于为的中点，所以，即，解得.
综上，直线的方程为，即.
21. 已知函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若方程有解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）时，设，利用导数判断出的单调性可得答案；
（2）即有解，构造函数设，利用导数判断出的单调性，可得方程有解转化为在上有解，再构造函数，利用导数求出值域可得答案．
【小问1详解】
当时，，
，
设，则，
在上单调递增，且，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以；
【小问2详解】
即，
即，
设，则，
，设，则，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，即，在上单调递增，
所以方程有解即在上有解，
有解，即有解，
设，则，
时，，单调递增，
时，，单调递减，所以，
当时，，
所以，即实数a的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：构造函数利用导数判断出单调性及求出最值是本题解题的关键点，构造函数是求解导数问题的常用策略，而构造函数的方法技巧较为众多，需要结合具体问题合理选用.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线直角坐标方程以及曲线的普通方程；
（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过消参的方法求得直线的直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化公式求得曲线的普通方程.
（2）根据直线和圆相切时的几何性质来求得的最小值.
【小问1详解】
依题意，由，消去，得直线的直角坐标方程为；
因为，故，
即曲线的普通方程为.
【小问2详解】
由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆.
所以，要使得最小，只需最小，
又，
所以的最小值为.
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）证明：，，使得.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过分类讨论去绝对值，从而求得不等式的解集.
（2）先利用绝对值三角不等式求得的最小值，然后利用基本不等式证得结论成立.
【小问1详解】
因为，所以.
当时，原式化为，解得，则；
当时，原式化为，解得；
当时，原式化为，解得，则，
综述，原不等式的解集为.
【小问2详解】
证明：依题意，，
当且仅当时取等号，
又，
当且仅当时取等号，
故，，使得.
0
1
2
3