2022-2023学年安徽省六安市霍邱县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省六安市霍邱县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若反比例函数y=k−1x的图象经过点(−1,2)，则k的值是( )
A. 1B. −2C. −1D. 3
2.抛物线y=−12x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是( )
A. y=−12x2+xB. y=−12x2−4
C. y=−12x2+2021x−2022D. y=−x2+x+1
3.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，csB= 22，则此三角形是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 形状不能确定
4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是( )
A. 23B. 1C. 32D. 2
5.一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC=6m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为( )
A. (4+3sinα)m
B. (4+3tanα)m
C. (4+3sinα)m
D. (4+3tanα)m
6.如图，已知∠A=∠CBD，AC=4，CD=2，则BC的长是( )
A. 2
B. 2 2
C. 2 3
D. 4
7.一次函数y=ax+1与反比例函数y=−ax在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为
( )
A. (3,2)B. (3,1)C. (2,2)D. (4,2)
9.已知点A(a,2)，B(b,2)，C(c,7)都在抛物线y=(x−1)2−2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是( )
A. 若c<0，则aC. 若c>0，则a0，则a10.如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )
A. 14B. 15C. 4D. 17
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若yx=34，则x+yy的值为______．
12.已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点(AP13.如图，点A是反比例函数y=kx(x>0)图象上的任意一点，过点A作垂直x轴交反比例函数y=1x(x>0)的图象于点B，连接AO，BO，若△ABO的面积为1.5，则k的值为______ ．
14.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(−32,2)，(52,2)，连接AB.已知抛物线y=12(x−h)2．
(1)当抛物线同时经过A，B点时，h的值为______；
(2)若抛物线与线段AB有公共点，则h的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：sin260°−tan30°⋅cs30°+tan45°．
16.(本小题8分)
已知抛物线y=a(x−1)2+h，经过点(0,−3)和(3,0)．
(1)求a、h的值；
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
17.(本小题8分)
在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，BC=20，求△ABC的周长和面积．
18.(本小题8分)
如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，△ABC是格点三角形(顶点在网格线交点上)，且点A1是点A以点O为位似中心得到的．
(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1；
(2)△A1B1C1与△ABC的相似比为______ ；
(3)△A1B1C1与△ABC的面积之比为______ ．
19.(本小题10分)
如图，一次函数y=−32x+1与反比例函数y=kx的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为−2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点B的坐标是(−3,0)，若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．
20.(本小题10分)
如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面点P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°，已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高.(结果取整数，参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90)
21.(本小题12分)
如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM/​/CD交AD于M.连接CM交DB于N．
(1)求证：BD2=AD⋅CD；
(2)若CD=6，AD=8，求MN的长．
22.(本小题12分)
某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm(如图)．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
23.(本小题14分)
如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F.设CEEB=λ(λ>0)．
(1)若AB=2，λ=1，求线段CF的长．
(2)连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=k−1x的图象经过点(−1,2)，
∴把点(−1,2)代入得，k−1=−1×2，解得k=−1．
故选：C．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
直接把点(−1,2)代入反比例函数y=k−1x，求出k的值即可．
2.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=−12x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴经过平移后二次项系数a不发生改变，抛物线y=−12x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y=−x2+x+1．
故选：D．
根据抛物线的平移规律可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，由平移规律得出a不变是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵sinA=12，csB= 22，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°−30°−45°=115°．
故选：C．
根据特殊角的三角函数值即可求得∠A和∠B的度数，然后求得∠C的度数，据此即可判断．
本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例.过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则ABBC=ADDE，即3BC=2，
解得：BC=32．
5.【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=12BC=3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC=ADBD，
∴AD=BD⋅tanα=3tanα m．
∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3tanα)m，
故选：B．
过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系求得AD，用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．
本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得AD的长是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠A=∠CBD，∠BCA=∠DCB，
∴△ABC∽△BDC，
∴BCAC=CDBC，
∵AC=4，CD=2，
∴BC2=AC⋅CD=4×2=8，
∴BC=2 2(负值已舍去)．
故选：B．
通过证明△ABC∽△BDC，利用相似三角形的性质得出BC2=AC⋅CD，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，正确得出对应边成比例的关系是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：分两种情况：
(1)当a>0时，一次函数y=ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y=−ax图象在第二、四象限，无选项符合；
(2)当a<0时，一次函数y=ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=−ax图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：B．
根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0，和a<0，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OA的长是解题关键．
直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，结合△OAD∽△OBG，列比例式进而得出OA的长，即可得出答案．
【解答】
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，
∴ADBG=13，
∵BG=6，
∴AD=BC=AB=2，
∵AD/​/BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴OAOB=ADBG=13，
∴OA2+OA=13，
解得：OA=1，
∴OB=3，
∴C点坐标为：(3,2)，
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=(x−1)2−2，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，
∵点A(a,2)，B(b,2)，C(c,7)都在抛物线y=(x−1)2−2上，点A在点B左侧，
∴若c<0，则c若c>0，则a故选：D．
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当c<0时，a、b、c的大小关系或当c>0时，a、b、c的大小关系．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10.【答案】D
【解析】解：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，
∵DB=DE=2，∠BDE=90°，点A是DE的中点，
∴BE= BD2+DE2= 22+22=2 2，DA=EA=1，
∴AB= BD2+AD2= 22+12= 5，
∵AB=BC，
∴BC= 5，
∵AE⋅BD2=AB⋅EG2，
∴1×22= 5⋅EG2，
解得EG=2 55，
∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF=90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EG=BF=2 55，
∵BE=2 2，BF=2 55，
∴EF= BE2−BF2= (2 2)2−(2 55)2=6 55，CF=BF+BC=2 55+ 5=7 55，
∵∠EFC=90°，
∴EC= EF2+CF2= (6 55)2+(7 55)2= 17，
故选：D．
根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．
本题考查勾股定理、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出EF和CF的长．
11.【答案】73
【解析】解：∵yx=34，
∴设y=3k，x=4k，
∴x+yy=4k+3k3k=73．
故答案为73．
利用yx=34，则可设y=3k，x=4k，所以x+yy=4k+3k3k，然后约分即可．
本题考查了比例的性质：灵活运用比例的性质计算．
12.【答案】 5−1
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP∴PB= 5−12AB= 5−1，
故答案为： 5−1．
直接根据黄金分割的定义求出PB的长即可．
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金分割比值是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】解：设AB与x轴交于点C，
点B在反比例函数y=1x的图象上，
∴S△BOC=12|k|=12，
又∵S△AOB=1.5，
∴S△AOC=1.5−12=1=12|k|，
又∵k<0，
∴k=−2，
故答案为：−2．
根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是得出正确答案的关键．
14.【答案】12 −72≤h≤92
【解析】解：(1)∵抛物线y=12(x−h)2，
∴对称轴为直线x=h，
当抛物线同时经过A，B点时，点A，B的坐标分别为(−32,2)，(52,2)，
则抛物线的对称轴为直线x=−32+522=12，
∴h=12，
故答案为：12；
(2)当抛物线经过A点时，则2=12(−32−h)2，解得h=−72或12，
当抛物线经过B点时，则2=12(52−h)2，解得h=92或12，
∴若抛物线与线段AB有公共点，则h的取值范围是−72≤h≤92，
故答案为：−72≤h≤92．
(1)根据抛物线的对称性即可求解；
(2)求得抛物线分别经过A、B点时的h的值，即可得出结论．
本题考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】解：原式=( 32)2− 33× 32+1
=54．
【解析】根据特殊角的三角函数值，可得sin60°、tan30°、cs30°、tan45°的值，代入原式可得答案．
本题考查特殊角的三角函数值，要求学生准确记忆．
16.【答案】解：(1)解：将点(0,−3)和(3,0)代入抛物线y=a(x−1)2+h得：a(0−1)2+h=−3a(3−1)2+h=0．
解得：a=1h=−4，
∴a=1，h=−4；
(2)∵原函数的表达式为：y=(x−1)2−4，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得平移后的新函数表达式为：y=(x−1−1)2−4+2=x2−4x+2即y=x2−4x+2．
【解析】(1)将点(0,−3)和(3,0)，代入解析式求解即可；
(2)将y=(x−1)2−4，按题目要求平移即可．
本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
17.【答案】解：由sinA=BCAB=45，BC=20，
得出：AB=25，
由勾股定理得出：AC= AB2−BC2=15，
则C△ABC=AB+BC+AC=25+20+15=60，
故S△ABC=12BC⋅AC=12×20×15=150．
【解析】本题考查了解直角三角形，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．
根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出△ABC的周长和面积．
18.【答案】3：1 9：1
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)∵由图可知，OAOA1=13，
∴△A1B1C1与△ABC的位似比为3：1；
故答案为：3：1；
(3)∵S△A1B1C1=12×9×3=272，S△ABC=12×1×3=32，
∴△A1B1C1与△ABC的面积比为9：1．
故答案为：9：1．
(1)直接利用A点对应点位置结合位似中心得出B，C点对应点；
(2)利用所画图形，结合对应点与位似中心的距离得出位似比；
(3)得出三角形面积即可得出答案．
此题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】解(1)∵一次函数y=−32x+1与反比例函数y=kx的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为−2，
当x=−2时，y=−32×(−2)+1=4，
∴A(−2,4)，
∴4=k−2，
∴k=−8，
∴反比例函数的解析式为y=−8x；
(2)设P(0,m)，
∵△AOP的面积与△AOB的面积相等，
∴12×|m|×2=12×3×4，
∴m=±6，
∴P(0,6)或(0,−6)．
【解析】(1)首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可；
(2)设P(0,m)，构建方程求解．
本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型．
20.【答案】解：设AP=x米，
∴AB=AP⋅tan35°≈0.7x(米)，
∵BC=32米，
∴AC=AB+BC=(32+0.7x)米，
∴tan42°=ACAP=0.7x+32x≈0.9，
∴x=160，
经检验：x=160是原分式方程的根，
∴AB=0.7x=112(米)，
∴这座山AB的高度约为112米．
【解析】设AP=x米，在Rt△APB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出AC的长，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵∠ABD=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴ADBD=BDCD，
∴BD2=AD⋅CD，
(2)∵BM//CD，
∴∠MBD=∠BDC，
由(1)易得，∠ADB=∠BDC，
∴∠ADB=∠MBD，
∴BM=MD，
又∠ABD=90°，则∠MAB=∠MBA，
∴BM=MD=AM=4，
由(1)得，BD2=AD⋅CD，且CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
∴BC2=BD2−CD2=12，
∴MC2=MB2+BC2=28，
∴MC=2 7，
∵BM/​/CD，
∴∠MBN=∠CDN，∠BMN=∠DCN，
∴△MNB∽△CND，
∴BMCD=MNCN，
则46=MNCN，
又MC=MN+NC=2 7，
即可得MN=45 7．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
(1)通过证明△ABD∽△BCD，可得ADBD=BDCD，可得结论；
(2)由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC，即可证AM=MD=MB=4，由BD2=AD⋅CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得BMCD=MNCN=23，即可求MN的长．
22.【答案】解：(1)根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为24−x−2x3=(8−x) m，
∴(x+2x)(8−x)=36，
解得x=2或x=6，
当x=6时，3x=18>10，不符合题意，舍去，
∴x=2，
答：此时x的值为2m；
(2)设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为10，
∴0根据题意得：y=(x+2x)(8−x)=−3x2+24x=−3(x−4)2+48，
∵−3<0，
∴x<4时，y随着x的增大而增大，
∴当x=103时，y取最大值，最大值为−3×(103−4)2+48=1403(m2)，
答：当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403m2．
【解析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
(1)根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为24−x−2x3=(8−x) m，可得(x+2x)(8−x)=36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2m；
(2)设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得023.【答案】(1)解：∵在正方形ABCD中，AD//BC，
∴∠DAG=∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG=∠EAG，
∴∠EAG=∠F，
∴EA=EF．
∵AB=2，∠B=90°，CEEB=λ=1，
∴点E为BC的中点，BE=EC=1，
∴AE= AB2+BE2= 5，
∴EF= 5，
∴CF=EF−EC= 5−1．
(2)①证明：由(1)得，EA=EF，
又∵EG⊥AF，
∴AG=FG．
在△ADG和△FCG中
∠D=∠GCF=90°∠AGD=∠FGCAG=FG,
∴△ADG≌△FCG(AAS)，
∴DG=CG，
即点G为CD的中点．
②解：设CD=2a，则CG=a，
由①知，CF=DA=2a．
∵EG⊥AF，∠GCF=90°，
∴∠EGC+∠CGF=90°，∠F+∠CGF=90°，∠ECG=∠GCF=90°，
∴∠EGC=∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴ECCG=GCFC．
∵GC=a，FC=2a，
∴GCFC=12，
∴ECGC=12，
∴EC=12a，BE=BC−EC=2a−12a=32a，
∴λ=CEEB=12a32a=13．
【解析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用．
(1)根据AB=2，λ=1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
(2)①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FCG即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FCG的条件，从而可以证明结论成立；
②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．