初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形练习题
展开一、单选题
1.如图,下列三角形中全等的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
2.已知且的面积为则边上的高等于( )
A.13B.3C.4D.6
3.如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是( ).
A.∠M=∠NB.AM=CNC.AB=CDD.AM∥CN
4.如图,已知AB=DC,AC=DB,能直接判断△ABC≌△DCB的方法是( )
A.SASB.AASC.SSSD.ASA
5.如图,小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识,画出一个与试卷原图完全一样的三角形,那么两个三角形完全一样的依据是( )
A.ASAB.SASC.SSSD.AAS
6.下列几种说法:①全等三角形的对应边相等;②面积相等的两个三角形全等;③周长相等的两个三角形全等;④全等的两个三角形的面积相等.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
7.如图的四个三角形中,与全等的是( )
A.B.
C.D.
8.如图,在和中,,还需再添加两个条件才能使≌,则不能添加的一组条件是( )
A.,B.,
C.,D.,
9.如图,,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若,则点P到BC的距离是( )
A.10B.8C.5D.2
10.如图,点B、E、C、F在同一条直线上, , ,要用SAS证明 ≌ ,可以添加的条件是
A.B.C.D.
二、填空题
11.如图,已知AE∥BF,∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是 .
12.如图,在△ABC 中,AB=3,AC=5,则 BC 边的中线 AD 的取值范围为 .
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若BC=10,且BD∶DC=3∶2,则点D到边AB的距离是 .
14.如图,点A,C,F,B在同一直线上,CD平分 , ,若 的度数为70°,则 的度数为 .
三、解答题
15.已知:如图,AB平分∠CAD,∠C=∠D=90°.求证:AC=AD.
16.如图,在中,,将边绕点逆时针旋转得到,过点作,交的延长线于点.
求证:
(1);
(2).
17.已知:如图,AB⊥AC,且AB=AC,AD=AE,BD=CE.求证:AD⊥AE.
18.若将四根木条首尾相连,在相连处用螺钉连结,就能构成一个平面图形.图1是一个四边形的木架,AB=AD=2cm,BC=5cm.
(1)如图2,若固定三根木条AB,BC,AD不动,量得第四根木条CD=5cm,判断此时∠B与∠D是否相等,并说明理由.
(2)在扭动这个木架的过程中,四根木条始终构成一个四边形,当测得A,C之间的距离为6cm时,若CD的长度也是整数,那么CD的长应为多少?
四、综合题
19.如图所示,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°,
(1)求证:△ADE≌△CDE.
(2)求∠BDC度数.
20.如图,在 中, 是边 上一点, ,作 交 的延长线于点 .
(1)证明: .
(2)若 , , ,求 .
21.如图, 和 都是等边三角形,并且 .
求证:
(1) ;
(2)求 的度数.
22.如图,△ABC为等边三角形,D为边BA延长线上一点,连接CD,以CD为一边作等边三角形CDE,连接AE.
(1)求证:△CBD≌△CAE.
(2)判断AE与BC的位置关系,并说明理由.
23.
(1)模型的发现:
如图1,在中,,,直线经过点,且、两点在直线的同侧,直线,直线,垂足分别为点,.请直接写出、和的数量关系.
(2)模型的迁移1:位置的改变
如图2,在(1)的条件下,若,两点在直线的异侧,请说明、和的关系,并证明.
(3)模型的迁移2:角度的改变
如图3,在(1)的条件下,若三个直角都变为了相等的钝角,即,其中,(1)的结论还成立吗?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明、和的关系,并证明.
答案解析部分
1.【答案】A
【解析】【解答】解:根据“SAS”可判断图①的三角形与图②的三角形全等.
②③,③④,①④均不符合题意,
故答案为:A.
【分析】观察各选项图形中已知的边长和角度,用“两边及夹角对应相等的两个三角形全等”可判断求解.
2.【答案】D
【解析】【解答】解:∵
∴的面积为
∴的面积为
∵
∴边上的高=,
故答案为:D.
【分析】全等的三角形面积也相等,可得的面积=的面积=再利用三角形的面积公式即可求解.
3.【答案】B
【解析】【分析】根据普通三角形全等的判定定理,有AAS、SSS、ASA、SAS四种.逐条验证.
【解答】A、∠M=∠N,符合ASA,能判定△ABM≌△CDN,故A选项不符合题意;
B、根据条件AM=CN,MB=ND,∠MBA=∠NDC,不能判定△ABM≌△CDN,故B选项符合题意;
C、AB=CD,符合SAS,能判定△ABM≌△CDN,故C选项不符合题意;
D、AM∥CN,得出∠MAB=∠NCD,符合AAS,能判定△ABM≌△CDN,故D选项不符合题意.
故选:B.
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理,本题是一道较为简单的题目.
4.【答案】C
【解析】【解答】解:∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SSS),
故答案为:C.
【分析】根据题干结合公共边BC即可利用“SSS”证明三角形全等。
5.【答案】A
【解析】【解答】根据题意,三角形的两个角和它们的夹边是完整的,所以可以利用“角边角”定理作出一个完全一样的三角形.
故答案为:A.
【分析】利用“ASA”证明三角形全等即可。
6.【答案】D
【解析】【分析】根据全等三角形的性质对各小题分析判断即可得解.
【解答】①全等三角形的对应边相等,正确;
②面积相等的两个三角形全等,错误;
③周长相等的两个三角形全等,错误;
④全等的两个三角形的面积相等,正确;
综上所述,正确的是①④.
故选D.
【点评】本题考查了全等三角形的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
7.【答案】B
【解析】【解答】解:在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=50°,
A选项中,已知两边和其中一边的对角对应相等,即SSA,不能判定与△ABC全等;
B选项中,已知两边及其夹角对应相等,即SAS,能判定与△ABC全等;
C选项中,两角的夹边应该是c时两个三角形才全等,所以不能判定与△ABC全等;
D选项中,两角的夹边应该是b时两个三角形才全等,所以不能判定与△ABC全等,
故答案为:B.
【分析】利用内角和定理求出∠C的度数,然后根据全等三角形的判定定理进行判断.
8.【答案】C
【解析】【解答】解: A、, ,可证 ≌ (SAS)
B、 , ,可证≡(SSS)
C、 , ,不可证≡
D、 , ,可证≡(AAS)
故答案为:C
【分析】根据三角形全等得判定定理AAS、SSS、SAS、ASA进行判断。
9.【答案】C
【解析】【解答】解:∵AD⊥BA,
∴∠BAP=90°,
∵AB∥CD,
∴∠PDC+∠BAP=180°,
∴∠PDC=90°,
如图,过点P作PE⊥BC于点E,
∵BP平分∠ABC,PE⊥BC,AP⊥BA,
∴PE=PA,
同理PE=PD,
∴PA=PE=PD=AD=5,
∴点P到BC的距离是5.
故答案为:C.
【分析】首先由平行线的性质可得∠PDC=90°,过点P作PE⊥BC于点E,进而由角平分线上的点到角两边的距离相等得PA=PE=PD=AD=5.
10.【答案】C
【解析】【解答】解:∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEF,
可添加条件BC=EF,
理由:∵在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS);
故答案为:C.
【分析】根据AB∥DE得出∠B=∠DEF,添加条件BC=EF,则利用SAS定理证明△ABC≌△DEF.
11.【答案】AE=BF(此题答案不唯一)
【解析】【解答】解:∵AE∥BF,
∴∠A=∠B,
又∵∠E=∠F,AE=BF,
∴△ADE≌△BCF(AAS).
故答案为:AE=BF(任意对应边即可).
【分析】利用平行线的性质可得∠A=∠B,现有∠E=∠F,∠A=∠B,要使△ADE≌△BCF,只需添加一边对应边相等即可(答案不唯一).
12.【答案】1<AD<4
【解析】【解答】如图延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.
在三角形ADC与三角形BDE中
AD=DEBD=DC∠ADC=∠EDB
∴ (SAS)
∴BE=AC
在三角形AEB中,有 ,
即 ,
∴
【分析】把AD延长到DE使DE=AD,构造三角形ABE,根据三角形三边直接的关键建立不等式组求范围.
13.【答案】4
【解析】【解答】解:∵BC=10,BD:DC=3:2
∴CD=4,
∵∠C=90°,AD平分∠BAC,
∴D到边AB的距离=CD=4.
故答案为:4.
【分析】根据题意首先由线段的比求得CD=4,然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离.
14.【答案】70°
【解析】【解答】解:∵DC为∠ECB的平分线
∴∠ECD=∠DCB=70°
∵FG∥CD
∴∠DCF=∠GFB=70°
【分析】根据角平分线的性质,计算得到∠DCF的度数,继而由两直线平行,同位角相等,即可得到∠GFB
15.【答案】解:∵AB平分∠CAD,∴∠CAB=∠DAB,在△ACB与△ADB中, ,∴△ACB≌△ADB,∴AC=AD.
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠CAB=∠DAB,然后利用AAS判断出△ACB≌△ADB,根据全等三角形对应边相等得出答案。
16.【答案】(1)证明:是直角三角形,,
由旋转的性质,得.
..
又,.
在与中,,
.
(2)证明:由(1),得.
【解析】【分析】根据旋转的性质得到AB=AD,∠BAD=90°,利用等角的余角相等得∠BAC=∠DAF, 然后根据”AAS"可判断△ABC△DAE;
(2)由(1)△АBC △DAF,得到BC=AF,再由AF=CF+AC,即可得到BC=CF+DF。
17.【答案】证明:在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SSS),
∴∠EAC=∠DAB,
∴∠DAE=∠BAC,
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°,
∴∠DAE=90°,
即AD⊥AE
【解析】【分析】只要证明△ABD≌△ACE(SSS),推出∠EAC=∠DAB,推出∠DAE=∠BAC,由AB⊥AC,推出∠BAC=90°,即可证明∠DAE=90°.
18.【答案】(1)解:∠B与∠D相等.
理由:连结AC,如图.
在△ACD和△ACB中,
∵AC=AC,AD=ABDC=BC,
(SSS),
;
(2)解:,
,
.
∵CD的长度也是整数,
∴CD的长应为5cm或6cm或7cm.
【解析】【分析】(1)∠B与∠D相等,理由如下:如图,连接AC,可用“SSS”判断出△ACD≌△ACB,由全等三角形的对应角相等得∠B=∠D;
(2)根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”在△ACD中可得4<CD<8,进而结合CD的长度是整数可得答案.
19.【答案】(1)证明:∵DE是线段AC的垂直平分线,
∴DA=DC,AE=CE,
在△ADE与△CDE中:
DA=DC,
AE=CE,
DE=DE
∴△ADE≌△CDE(SSS);
(2)解:∵△ADE≌△CDE.
∴∠DCA=∠A=50°,
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°
【解析】【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得出DA=DC,AE=CE,根据全等三角形的性质可得△ADE≌△CDE(SSS);
(2)利用三角形外角性质可得出∠BDC度数.
20.【答案】(1)证明:∵ ,
∴ .
又∵ ,
∴ , .
在 与 中, ∠A=∠ACF∠ADF=∠FAE=CE ,
∴ ,
∴ .
(2)解:∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
【解析】【分析】(1)由 得出 ,由平行线的性质得出 , ,则可证明 ,根据全等三角形的性质结论可证;(2)由 , ,可知 ,则利用 可求出AD的长度,根据 可知 则答案可求.
21.【答案】(1)证明:∵ 和 都是等边三角形,
∴ , , ,
∴ ,
∴ ,
在 和 中, ,
∴ (SAS);
(2)证明:∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在四边形 中, ,
∵ , ,
∴ ,
∴ .
【解析】【分析】(1)根据已知条件求出 ,然后利用SAS证明△ACE≌△BCD即可;(2)由全等三角形的性质得出 ,再通过角之间的转化,利用四边形内角和定理求出 即可解决问题.
22.【答案】(1)证明:∵△ABC、△DCE为等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=∠DBC=60°,
∵∠ACD+∠ACB=∠DCB,∠ECD+∠ACD=∠ECA,
∴∠ECA=∠DCB,
在△ECA和△DCB中,
AC=BC∠ECA=∠DCBEC=DC ,
∴△ECA≌△DCB(SAS);
(2)解:∵△ECA≌△DCB,
∴∠EAC=∠DBC=60°,
又∵∠ACB=∠DBC=60°,
∴∠EAC=∠ACB=60°,
∴AE∥BC.
【解析】【分析】(1)根据等边三角形各内角为60°和各边长相等的性质可证∠ECA=∠DCB,AC=BC,EC=DC,即可证明△ECA≌△DCB;(2)根据△ECA≌△DCB可得∠EAC=60°,根据内错角相等,平行线平行即可解题.
23.【答案】(1)解:DE=BD+CE,
理由如下:∵∠DAC=∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB,∠BAC=∠AEC=90°,
∴∠DAB=∠ECA,
在△DAB和△ECA中,
∠ADB=∠CEA∠DAB=∠ECAAB=CA
∴△DAB≌△ECA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AD+AE=BD+CE;
(2)解:BD=DE+CE,
证明如下:∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵CE⊥直线l,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠ACE,
在△BAD和△ACE中,
∴△BAD≌△ACE(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴BD=AE=AD+DE=DE+CE;
(3)解:(1)的结论成立,
理由如下:∵∠DAC=∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD,∠BAC=∠2,
∴∠BAD=∠ACE,
在△DAB和△ECA中,
∠BAD=∠ACE∠1=∠2BA=AC
∴△DAB≌△ECA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AD+AE=BD+CE.
【解析】【分析】(1)利用“AAS”证明△DAB≌△ECA,可得AE=BD,AD=CE,再利用线段的和差及等量代换可得答案;
(2)利用“AAS”证明△BAD≌△ACE,可得AE=BD,AD=CE,再利用线段的和差及等量代换可得答案;
(3)利用“AAS”证明△DAB≌△ECA,可得AE=BD,AD=CE,再利用线段的和差及等量代换可得答案。
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