新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点1三角函数图象与性质的综合问题教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点1三角函数图象与性质的综合问题教师用书，共7页。
1. (2021·全国新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C．
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cs∠ABC．
【解析】 (1)证明：证法一：由正弦定理知，eq \f(b,sin∠ABC)＝eq \f(c,sin∠ACB)＝2R，
∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，
∵b2＝ac，∴b·2Rsin∠ABC＝a·2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC＝asin C，
∵BD sin∠ABC＝asin C．∴BD＝b；
证法二：由正弦定理知，
eq \f(b,sin∠ABC)＝eq \f(c,sin C)，∴bsin C＝csin∠ABC，
又∵b2＝ac，∴bsin C＝eq \f(b2,a)sin∠ABC，
∴asin C＝bsin∠ABC＝BDsin∠ABC，
∴BD＝b.
(2)解法一：由(1)知BD＝b，
∵AD＝2DC，∴AD＝eq \f(2,3)b，DC＝eq \f(1,3)b，
在△ABD中，由余弦定理知，
cs∠BDA＝eq \f(BD2＋AD2－AB2,2BD·AD)＝eq \f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)b))2－c2,2b·\f(2,3)b)＝eq \f(13b2－9c2,12b2)，
在△CBD中，由余弦定理知，
cs∠BDC＝eq \f(BD2＋CD2－BC2,2BD·CD)＝eq \f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b))2－a2,2b·\f(1,3)b)＝eq \f(10b2－9a2,6b2)，
∵∠BDA＋∠BDC＝π，
∴cs∠BDA＋cs∠BDC＝0，即eq \f(13b2－9c2,12b2)＋eq \f(10b2－9a2,6b2)＝0，得11b2＝3c2＋6a2，
∵b2＝ac，∴3c2－11ac＋6a2＝0，∴c＝3a或c＝eq \f(2,3)a，
在△ABC中，由余弦定理知，cs∠ABC＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋c2－ac,2ac)，
当c＝3a时，cs∠ABC＝eq \f(7,6)>1(舍)；当c＝eq \f(2,3)a时，cs∠ABC＝eq \f(7,12)；
综上所述，cs∠ABC＝eq \f(7,12).
解法二：在△ABC中eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))，平方得BD2＝eq \f(1,9)a2＋eq \f(4,9)c2＋eq \f(4,9)accs B，①
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B②，
联立①②得11b2＝3c2＋6a2，
∵b2＝ac，∴3c2－11ac＋6a2＝0，∴c＝3a或c＝eq \f(2,3)a，
在△ABC中，由余弦定理知，cs∠ABC＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋c2－ac,2ac)，
当c＝3a时，cs∠ABC＝eq \f(7,6)>1(舍)；当c＝eq \f(2,3)a时，cs∠ABC＝eq \f(7,12)；
综上所述，cs∠ABC＝eq \f(7,12).
2. (2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【解析】 (1)因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,8)，所以，C为锐角，则sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(3\r(7),8)，因此，S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4×5×eq \f(3\r(7),8)＝eq \f(15\r(7),4).
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋a＋12－a＋22,2aa＋1)＝eq \f(a2－2a－3,2aa＋1)