新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题3函数与导数第4讲利用导数研究不等式核心考点1不等式的证明教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题3函数与导数第4讲利用导数研究不等式核心考点1不等式的证明教师用书，共10页。试卷主要包含了 已知函数f＝a－x， 证明， 已知函数f＝xeax－ex等内容，欢迎下载使用。

1. (2023·全国新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋eq \f(3,2).
【解析】 (1)因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－10时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，
当x0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增；
综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增．
(2)证明：证法一：由(1)得，f(x)min＝f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a，
要证f(x)>2ln a＋eq \f(3,2)，即证1＋a2＋ln a>2ln a＋eq \f(3,2)，即证a2－eq \f(1,2)－ln a>0恒成立，
令g(a)＝a2－eq \f(1,2)－ln a(a>0)，则g′(a)＝2a－eq \f(1,a)＝eq \f(2a2－1,a)，
令g′(a)0，则g(a)>0恒成立，所以当a>0时，f(x)>2ln a＋eq \f(3,2)恒成立，证毕．
证法二：令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，
由于y＝ex在R上单调递增，所以h′(x)＝ex－1在R上单调递增，
又h′(0)＝e0－1＝0，
所以当x0；
所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故h(x)≥h(0)＝0，则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立，
因为f(x)＝a(ex＋a)－x＝aex＋a2－x＝ex＋ln a＋a2－x≥x＋ln a＋1＋a2－x，
当且仅当x＋ln a＝0，即x＝－ln a时，等号成立，
所以要证f(x)>2ln a＋eq \f(3,2)，即证x＋ln a＋1＋a2－x>2ln a＋eq \f(3,2)，即证a2－eq \f(1,2)－ln a>0，
令g(a)＝a2－eq \f(1,2)－ln a(a>0)，则g′(a)＝2a－eq \f(1,a)＝eq \f(2a2－1,a)，
令g′(a)0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2ln a＋eq \f(3,2)恒成立，证毕．
2. (2023·全国新课标Ⅱ卷)(1)证明：当0