新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点1圆锥曲线的定义及标准方程教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点1圆锥曲线的定义及标准方程教师用书，共8页。试卷主要包含了 设椭圆C1， 已知椭圆C，故选C， 设F为抛物线C， 椭圆C， 已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝eq \r(3)e1，则a＝( A )
A.eq \f(2\r(3),3)B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．eq \r(6)
【解析】 由椭圆C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝eq \r(4－1)＝eq \r(3)，∴椭圆C2的离心率为e2＝eq \f(\r(3),2)，∵e2＝eq \r(3)e1，∴e1＝eq \f(1,2)，∴eq \f(c1,a1)＝eq \f(1,2)，∴aeq \\al(2,1)＝4ceq \\al(2,1)＝4(aeq \\al(2,1)－beq \\al(2,1))＝4(aeq \\al(2,1)－1)，∴a＝eq \f(2\r(3),3)或a＝－eq \f(2\r(3),3)(舍去)．故选A.
2. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x＋m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝( C )
A.eq \f(2,3)B．eq \f(\r(2),3)
C．－eq \f(\r(2),3)D．－eq \f(2,3)
【解析】 记直线y＝x＋m与x轴交于M(－m,0)，椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左，右焦点分别为F1(－eq \r(2)，0)，F2(eq \r(2)，0)，由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|－eq \r(2)－xM|＝2|eq \r(2)－xM|，解得xM＝eq \f(\r(2),3)或xM＝3eq \r(2)，∴－m＝eq \f(\r(2),3)或－m＝3eq \r(2)，∴m＝－eq \f(\r(2),3)或m＝－3eq \r(2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)＋y2＝1,y＝x＋m))可得，4x2＋6mx＋3m2－3＝0，∵直线y＝x＋m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝－3eq \r(2)不符合题意，故m＝－eq \f(\r(2),3).故选C.
3. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( AC )
A．p＝2
B．|MN|＝eq \f(8,3)
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
【解析】 直线y＝－eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，可得eq \f(p,2)＝1，所以p＝2，所以A正确；抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x2－10x＋3＝0，xM＋xN＝eq \f(10,3)，所以|MN|＝xM＋xN＋p＝eq \f(16,3)，所以B不正确；M，N的中点的横坐标为eq \f(5,3)，中点到抛物线的准线的距离为：1＋eq \f(5,3)＝eq \f(8,3)，所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；3x2－10x＋3＝0，不妨可得xM＝3，xN＝eq \f(1,3)，yM＝－2eq \r(3)，yN＝eq \f(2\r(3),3)，|OM|＝eq \r(9＋12)＝eq \r(21)，|ON|＝eq \r(\f(1,9)＋\f(12,9))＝eq \f(\r(13),3)，|MN|＝eq \f(16,3)，所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．故选AC.
4. (2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为( B )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1D．eq \f(x2,2)＋y2＝1
【解析】 因为离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(1,3)，解得eq \f(b2,a2)＝eq \f(8,9)，b2＝eq \f(8,9)a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)，B为上顶点，所以B(0，b)．所以eq \(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)，因为eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝eq \f(8,9)a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.故选B.
5. (2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( B )
A．2B．2eq \r(2)
C．3D．3eq \r(2)
【解析】 由题意得，F(1,0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，所以|AB|＝eq \r(3－12＋0－22)＝2eq \r(2).故选B.
6. (2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( A )
A.eq \f(\r(3),2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,3)
【解析】 A(－a,0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝eq \f(y1,x1＋a)，kAQ＝eq \f(y1,－x1＋a)，故kAP·kAQ＝eq \f(y1,x1＋a)·eq \f(y1,－x1＋a)＝eq \f(y\\al(2,1),－x\\al(2,1)＋a2)＝eq \f(1,4)，又eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，则yeq \\al(2,1)＝eq \f(b2a2－x\\al(2,1),a2)，所以eq \f(\f(b2a2－x\\al(2,1),a2),－x\\al(2,1)＋a2)＝eq \f(1,4)，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故选A.
7. (2022·全国甲卷)若双曲线y2－eq \f(x2,m2)＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝ eq \f(\r(3),3) .
【解析】 双曲线y2－eq \f(x2,m2)＝1(m>0)的渐近线为y＝±eq \f(x,m)，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r＝1，依题意圆心(0,2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝eq \f(|2m|,\r(1＋m2))＝1，解得m＝eq \f(\r(3),3)或m＝－eq \f(\r(3),3)(舍去)．
8. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 y＝±eq \r(3)x .
【解析】 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝2，所以eq \f(b2,a2)＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.故答案为y＝±eq \r(3)x.
9. (2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为eq \f(1,2).过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是_13__.
【解析】 ∵椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，∴不妨可设椭圆C：eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴kDE＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x＋c)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，将其与椭圆C联立化简可得，13x2＋8cx－32c2＝0，由韦达定理可得，x1＋x2＝－eq \f(8c,13)，x1x2＝－eq \f(32c2,13)，|DE|＝eq \r(k2＋1)|x1－x2|＝eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(\f(1,3)＋1)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8c,13)))2＋\f(128c2,13))＝eq \f(48,13)c＝6，解得c＝eq \f(13,8)，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c＝8×eq \f(13,8)＝13.
10. (2023·全国新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为 eq \f(3\r(5),5) .
【解析】 方法一：如图，设F1(－c,0)，F2(c,0)，B(0，n)，设A(x，y)，则eq \(F2A,\s\up6(→))＝(x－c，y)，eq \(F2B,\s\up6(→))＝(－c，n)，又eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－c＝\f(2,3)c，,y＝－\f(2,3)n，))可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c，－\f(2,3)n))，又eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，且eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)c，－\f(2,3)n))，eq \(F1B,\s\up6(→))＝(c，n)，则eq \(F1A,\s\up6(→))·eq \(F1B,\s\up6(→))＝eq \f(8,3)c2－eq \f(2,3)n2＝0，化简得n2＝4c2.又点A在C上，则eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(\f(4,9)n2,b2)＝1，整理可得eq \f(25c2,9a2)－eq \f(4n2,9b2)＝1，代入n2＝4c2，可得eq \f(25c2,a2)－eq \f(16c2,b2)＝9，即25e2－eq \f(16e2,e2－1)＝9，解得e2＝eq \f(9,5)或eq \f(1,5)(舍去)，故e＝eq \f(3\r(5),5).
方法二：由eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，得eq \f(|\(F2A,\s\up6(→))|,|\(F2B,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3)，设|eq \(F2A,\s\up6(→))|＝2t，|eq \(F2B,\s\up6(→))|＝3t，由对称性可得|eq \(F1B,\s\up6(→))|＝3t，则|eq \(AF1,\s\up6(→))|＝2t＋2a，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝5t，设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝eq \f(3t,5t)＝eq \f(3,5)，所以cs θ＝eq \f(4,5)＝eq \f(2t＋2a,5t)，解得t＝a，所以|eq \(AF1,\s\up6(→))|＝2t＋2a＝4a，|eq \(AF2,\s\up6(→))|＝2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得cs θ＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,16a2)＝eq \f(4,5)，即5c2＝9a2，则e＝eq \f(3\r(5),5).
核心考点1 圆锥曲线的定义及标准方程
核心知识· 精归纳
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：|MF1|－|MF2|＝2a(2a0)；x2＝－2py(p>0)．
多维题组· 明技法
角度1：椭圆的定义及标准方程
1. (2023·浙江二模)已知F是椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点，点M在C上，N在⊙P：x2＋(y－3)2＝2x上，则|MF|－|MN|的最大值是( A )
A．2B．eq \r(10)－1
C.eq \r(13)－1D．eq \r(13)＋1
【解析】 由⊙P：x2＋(y－3)2＝2x，可得(x－1)2＋(y－3)2＝1，可得圆⊙P的圆心坐标为P(1,3)，半径r＝1，由椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，可得a＝2，设椭圆的右焦点为F1，根据椭圆的定义可得|MF|＝2a－|MF1|，所以|MF|－|MN|＝2a－(|MF1|＋|MN|)，又由|MN|min＝|MP|－r，如图所示，当点P，M，N，F1四点共线时，即为P，N′，M′，F1时，|MF1|＋|MN|取得最小值，最小值为(|MF1|＋|MN|)min＝(|MF1|＋|MP|－r)＝|PF1|－r＝3－1＝2，所以(|MF|－|MN|)max＝2×2－2＝2.故选A.
2.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则椭圆C的方程为( A )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1B．eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
【解析】 由题意及椭圆的定义知4a＝4eq \r(3)，则a＝eq \r(3)，又eq \f(c,a)＝eq \f(c,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选A.
角度2：双曲线的定义及标准方程
3.设双曲线C：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,m)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝( C )
A．8B．4
C．8eq \r(2)D．4eq \r(2)
【解析】 由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝4eq \r(2)，|NF1|－|NF2|＝4eq \r(2)，两式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8eq \r(2).故选C.
4. (多选)已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( AB )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1B．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1D．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1
【解析】 由题意，设双曲线方程为eq \f(x2,2m)－eq \f(y2,m)＝1(m≠0)，又2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，则m＝2；当m0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x2＝4y__.
【解析】 △FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2p)))，则点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(p,2))).因为焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，△FPM是等边三角形，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2)＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝12，,p＝2，))因此抛物线方程为x2＝4y.
方法技巧· 精提炼
1.求解圆锥曲线标准方程的方法
(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2和p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
2.焦点三角形的面积公式
(1)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中两焦点F1，F2；点P为椭圆上的一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2·tan eq \f(θ,2)，其中θ＝∠F1PF2.
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P为双曲线上的一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ＝∠F1PF2.
(3)设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦(即焦点弦)，焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：
S△AOB＝eq \f(p2,2sin α)＝eq \f(1,2)|AB||d|＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|.
加固训练· 促提高
1. (2023·未央区模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点，若MF1的中点为(0,1)，且△MF1F2的周长为8＋4eq \r(2)，则C的标准方程为( A )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1D．eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1
【解析】 ∵M1F的中点为B(0,1)，∴OB是△MF1F2的中位线，则MF2＝2OB＝2，且△MF1F2为直角三角形，∵△MF1F2的周长为2a＋2c＝8＋4eq \r(2)，∴a＋c＝4＋2eq \r(2)①，∵MF2＝2，∴MF1＝2a－2，∵(MF1)2－(MF2)2＝4c2，∴(2a－2)2－4＝4c2，即(a－1)2－1＝c2②，由①②得，a＝4，c＝2eq \r(2)，b2＝16－8＝8，∴C的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.故选A.
2.已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为_9__.
【解析】 因为F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋eq \r(4－12＋0－42)＝4＋5＝9.高频考点
高考预测
椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程
重点考查椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；抛物线定义和性质的应用，常与三角、平面向量、圆相结合，以选择填空为主.
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系