新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第5讲复数平面向量教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第5讲复数平面向量教师用书，共9页。试卷主要包含了 已知向量a＝，b＝．若⊥，则， 在复平面内，对应的点位于， 若复数＝2，a∈R，则a＝，故选D， 已知向量a＝，b＝，则cs＝等内容，欢迎下载使用。

1. (2023·全国新课标Ⅰ卷)已知z＝eq \f(1－i,2＋2i)，则z－eq \(z,\s\up6(－))＝( A )
A．－i B．i
C．0 D．1
【解析】 z＝eq \f(1－i,2＋2i)＝eq \f(1,2)·eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f(1,2)·eq \f(1－i2,1＋i1－i)＝－eq \f(1,2)i，则eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)i，故z－eq \(z,\s\up6(－))＝－i.故选A.
2. (2023·全国新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( D )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
【解析】 ∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a＋λb＝(λ＋1,1－λ)，a＋μb＝(μ＋1,1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，得(λ＋1)(μ＋1)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得：2λμ＋2＝0，即λμ＝－1.故选D.
3. (2023·全国新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 (1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，则在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．故选A.
4. (2023·全国甲卷理科)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝( C )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 根据复数的运算法则和复数相等的定义，列方程组求出a的值．因为复数(a＋i)(1－ai)＝2，所以2a＋(1－a2)i＝2，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,1－a2＝0，))解得a＝1.故选C.
5. (2023·全国甲卷理科)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，且a＋b＋c＝0，则cs(a－c，b－c)＝( D )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(2,5)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(4,5)
【解析】 因为向量|a|＝|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，且a＋b＋c＝0，所以－c＝a＋b，所以c2＝a2＋b2＋2a·b，即2＝1＋1＋2×1×1×cs〈a，b〉，解得cs〈a，b〉＝0，所以a⊥b，又a－c＝2a＋b，b－c＝a＋2b，所以(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋2b2＋5a·b＝2＋2＋0＝4，|a－c|＝|b－c|＝eq \r(4a2＋4a·b＋b2)＝eq \r(4＋0＋1)＝eq \r(5)，所以cs(a－c，b－c)＝eq \f(a－c·b－c,|a－c||b－c|)＝eq \f(4,\r(5)×\r(5))＝eq \f(4,5).故选D.
6. (2023·全国乙卷理科)设z＝eq \f(2＋i,1＋i2＋i5)，则eq \(z,\s\up6(－))＝( B )
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
【解析】 ∵i2＝－1，i5＝i，∴z＝eq \f(2＋i,1＋i2＋i5)＝eq \f(2＋i,i)＝1－2i，∴eq \(z,\s\up6(－))＝1＋2i.故选B.
7. (2023·全国乙卷文科)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cs(a＋b，a－b)＝( B )
A.eq \f(1,17) B．eq \f(\r(17),17)
C．eq \f(\r(5),5) D．eq \f(2\r(5),5)
【解析】 根据题意，向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)，则有|a＋b|＝eq \r(25＋9)＝eq \r(34)，|a－b|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，(a＋b)·(a－b)＝2，故cs(a＋b，a－b)＝eq \f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝eq \f(2,\r(34)·\r(2))＝eq \f(\r(17),17).故选B.
8. (2022·全国甲卷理科)若z＝－1＋eq \r(3)i，则eq \f(z,z\x\t(z)－1)＝( C )
A．－1＋eq \r(3)i B．－1－eq \r(3)i
C．－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i D．－eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),3)i
【解析】 ∵z＝－1＋eq \r(3)i，∴z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝[eq \r(－12＋\r(3)2)]2＝4，则eq \f(z,z\(z,\s\up6(－))－1)＝eq \f(－1＋\r(3)i,4－1)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i.故选C.
9. (2022·全国乙卷理科)已知z＝1－2i，且z＋aeq \(z,\s\up6(－))＋b＝0，其中a，b为实数，则( A )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
【解析】 因为z＝1－2i，且z＋aeq \(z,\s\up6(－))＋b＝0，所以(1－2i)＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(－2＋2a)i＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋a＋b＝0，,－2＋2a＝0，))解得a＝1，b＝－2.故选A.
10. (2022·全国乙卷理科)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝( C )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】 ∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又∵|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3，∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，∴a·b＝1.故选C.
11. (2022·全国新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( B )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
【解析】 因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DA,\s\up6(→))，即eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝2(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))，所以eq \(CB,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))－2eq \(CA,\s\up6(→))＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B.
12. (2022·全国新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( C )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
【解析】 c＝(3＋t,4)，csa，c＝csb，c，即eq \f(9＋3t＋16,5|c|)＝eq \f(3＋t,|c|)，解得t＝5，故选C.
13. (2023·全国新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝eq \r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝ eq \r(3) .
【解析】 ∵|a－b|＝eq \r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，∴a2＋b2－2a·b＝3，a2＋b2＋2a·b＝4a2＋b2－4a·b，∴a2＝2a·b，∴b2＝3，∴|b|＝eq \r(3).
1.复数相关概念与运算技巧
(1)待定系数法：设z＝a＋bi(a，b∈R)，解决与复数的模、共轭复数、复数相等有关的代数式的运算．
(2)运算法则：复数的运算法则本质等同于多项式的运算法则，充分利用复数与其共轭复数之积等于模的平方进行化解．
(3)几何法：解决复数模的最值问题，利用复数的几何意义转化为平面图形中的最值问题求解．
【提醒】 谨防“两个误区”
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是b，注意区分虚部与纯虚数．
(2)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模不要忘记开方．
2.用向量法解决平面几何问题的两种方法：
(1)基向量法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则．运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
【提醒】 谨慎“一个问题”
向量m，n夹角为锐角(钝角)是m·n>0(m·n0，又因为向量夹角范围为[0，π]，故此时夹角为锐角，舍去；当b＝(－4，－3)时，此时cs〈b，c〉＝eq \f(b·c,|b||c|)＝－eq \f(4,5)－4时，eq \f(m,\r(4＋m2))＝eq \f(1,2)，解得：m＝±eq \f(2\r(3),3)；若m＝－eq \f(2\r(3),3)，∴cs〈a＋b，b〉＝eq \f(m,\r(4＋m2))