
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2023-2024学年山东省德州市庆云县东辛店中学九年级(上)第二次月考数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年山东省德州市庆云县东辛店中学九年级(上)第二次月考数学试卷(含解析),共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.函数y=(m+2)xm2+m+2x+1是二次函数,则m的值为( )
A. −2B. 0C. −2或1D. 1
3.在平面直角坐标系中,若直线y=−x+m不经过第一象限,则关于x的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1或2个
4.如图,△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是( )
A. 41°
B. 45°
C. 49°
D. 59°
5.如图在三条横线和三条竖线组成的图形中,任选两条横线和两条竖线都可以构成一个矩形,从这些矩形中任选一个,则所选矩形含点A的概率是( )
A. 14B. 13C. 38D. 49
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
7.抛物线的函数表达式为y=3(x−2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A. y=3(x+1)2+3B. y=3(x−5)2+3
C. y=3(x−5)2−1D. y=3(x+1)2−1
8.如图,AB为⊙O的直径,点D是弧AC的中点,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F,若AC=12,AE=3,则⊙O的直径长为( )
A. 10
B. 13
C. 15
D. 16
9.如图,某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成,且三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3相互经过彼此的圆心,则图中三个阴影部分的面积之和为( )
A. 14πcm2
B. 13πcm2
C. 12πcm2
D. πcm2
10.已知a,b是方程x2−3x−5=0的两根,则代数式2a3−6a2+b2+7b+1的值是( )
A. −25B. −24C. 35D. 36
11.如图,在▱ABCD中,AB为⊙O的直径,⊙O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则EF的长为( )
A. π3
B. π2
C. π
D. 2π
12.如图,P是正方形ABCD内一点,AP=3,BP=2,CP= 17,则正方形ABCD的面积是( )
A. 13+6 2
B. 13
C. 21
D. 11+6 2
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。
13.关于x的一元二次方程x2−2kx+k2−k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12−x1x2+x22的值是______.
14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1815个,设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为______ .
15.班里有18名男生,15名女生,从中任意抽取a人打扫卫生,若女生被抽到是必然事件,则a的取值范围是______.
16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n),其部分图象如图所示,以下结论①abc>0,②3a+c>0,③4ac−b2<0,④ax2+bx+c=n+1无实数根,其中错误的是______ .
17.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 .
18.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为______.
三、解答题:本题共7小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k=1时,用配方法解方程.
20.(本小题10分)
如图,网格中的每个小方格都是边长为1的正方形,建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2中心对称吗?若中心对称,写出对称中心的坐标.
21.(本小题10分)
已知:点P是⊙O外一点.
(1)尺规作图:如图,过点P作出⊙O的两条切线PE,PF,切点分别为点E、点F.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下,若点D在⊙O上(点D不与E,F两点重合),且∠EPF=30°,求∠EDF的度数.
22.(本小题12分)
打造书香文化,培养阅读习惯.崇德中学计划在各班建图书角,开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动,学生根据自己的爱好选择一类书籍(A:科技类,B:文学类,C:政史类,D:艺术类,E:其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查,根据收集到的数据,绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
根据图中信息,请回答下列问题;
(1)条形图中的m= ______ ,n= ______ ,文学类书籍对应扇形圆心角等于______ 度;
(2)若该校有2000名学生,请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数;
(3)甲同学从A,B,C三类书籍中随机选择一种,乙同学从B,C,D三类书籍中随机选择一种,请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率.
23.(本小题12分)
红星公司销售一种成本为40元/件产品,若月销售单价不高于50元/件,一个月可售出5万件;月销售单价每涨价1元,月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x(单位:元/件),月销售量为y(单位:万件).
(1)直接写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当月销售单价是多少元时,月销售利润最大,最大利润是多少万元?
(3)为响应国家“乡村振兴”政策,该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件,月销售最大利润是78万元,求a的值.
24.(本小题12分)
如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,BC=BD,DE⊥AC于点E,DE交BF于点F,交AB于点G,∠BOD=2∠F,连接BD.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)判断△DGB的形状,并说明理由;
(3)当BD=2时,求FG的长.
25.(本小题14分)
如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意;
C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项不合题意.
故选:B.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数的定义,正确把握定义是解题关键.
直接利用二次函数y=ax2+bx+ca≠0中自变量x的最高指数是2,且a≠0列式解答.
【解答】
解:∵函数y=(m+2)xm2+m+2x+1是二次函数,
∴m2+m=2,m+2≠0,
解得:m=1.
故选:D.
3.【答案】D
【解析】解:∵直线y=−x+m不经过第一象限,
∴m≤0,
当m=0时,方程mx2+x+1=0是一次方程,有一个根,
当m<0时,
∵关于x的方程mx2+x+1=0,
∴△=12−4m>0,
∴关于x的方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根,
故选:D.
由直线解析式求得m≤0,然后确定△的符号即可.
本题考查了一次函数的性质,根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
4.【答案】C
【解析】解:∵CD是⊙O的直径,
∴∠DBC=90°,
∵∠DBA=∠DCA=41°,
∴∠ABC=90°−∠DBA=49°,
故选:C.
由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC=90°,由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA=∠DCA,进而可计算∠ABC.
本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等,解决本题的关键是熟练掌握相关知识点,难度不大.
5.【答案】D
【解析】【分析】
将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c,将从上到下的三条横线分别记作m、n、l,利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况,再从中找到所选矩形含点A的的情况,继而利用概率公式可得答案.
本题主要考查列表法与树状图法,解题的关键是利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况,并从所有结果中找到符合条件的结果数.
【解答】
解:将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c,将从上到下的三条横线分别记作m、n、l,列表如下,
由表可知共有9种等可能结果,其中所选矩形含点A的有bc、mn;bc、ml;ac、mn;ac、ml这4种结果,
∴所选矩形含点A的概率为49,
故选:D.
6.【答案】C
【解析】解:因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,得出a>0,抛物线与y轴交点在y轴的负半轴,得出c<0,利用对称轴为直线x=−b2a<0,得出b>0,
所以一次函数y=ax+b经过一、二、三象限,反比例函数y=cx经过二、四象限,
故选:C.
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,得出a>0,与y轴交点在y轴的负半轴,得出c<0,利用对称轴x=−b2a<0,得出b>0,进而对照四个选项中的图象即可得出结论.
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象,根据二次函数图象,得出a>0、b>0、c<0是解题的关键.
7.【答案】C
【解析】解:根据题意知,将抛物线y=3(x−2)2+1向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为:y=3(x−5)2−1.
故选:C.
此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式,直接利用二次函数的平移规律,左加右减,上加下减,进而得出答案.
此题主要考查了二次函数图象与几何变换,正确掌握平移规律是解题关键.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查垂径定理,圆心角,弧,弦之间的关系等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
连接OF,首先证明AC=DF=12,设OA=OF=x,在Rt△OEF中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.
【解答】
解:如图,连接OF.
∵DE⊥AB,
∴DE=EF,AD=AF,
∵点D是弧AC的中点,
∴AD=CD,
∴AC=DF,
∴AC=DF=12,
∴EF=12DF=6,
设OA=OF=x,
在Rt△OEF中,则有x2=62+(x−3)2,
解得x=152,
∴AB=2x=15,
故选C.
9.【答案】C
【解析】解:如图,连接O1A,O2A,O1B,O3B,O2C,O3C,O1O2,O1O3,O2O3,则△O1AO2,△O1BO3,△O2CO3,△O1O2O3是边长为1的正三角形,
所以,S阴影部分=3S扇形O1O2A
=3×60π×12360
=π2(cm2),
故选:C.
根据扇形面积的计算方法进行计算即可.
本题考查扇形面积的计算,掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提.
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系的知识,解答本题要掌握若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程解的定义.
根据一元二次方程解的定义得到a2−3a−5=0,b2−3b−5=0,即a2−3a=5,b2=3b+5,根据根与系数的关系得到a+b=3,然后整体代入变形后的代数式即可求得.
【解答】
解:∵a,b是方程x2−3x−5=0的两根,
∴a2−3a−5=0,b2−3b−5=0,a+b=3,
∴a2−3a=5,b2=3b+5,
∴2a3−6a2+b2+7b+1
=2a(a2−3a)+3b+5+7b+1
=10a+10b+6
=10(a+b)+6
=10×3+6
=36.
故选:D.
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查切线的性质、平行四边形的性质、弧长公式等知识,解题的关键是求出圆心角的度数,记住弧长公式,属于中考常考题型.
首先求出圆心角∠EOF的度数,再根据弧长公式即可解决问题.
【解答】
解:如图连接OE、OF,
∵CD是⊙O的切线,
∴OE⊥CD,
∴∠OED=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,
∴∠A=∠C=60°,∠D=120°,
∵OA=OF,
∴∠A=∠OFA=60°,
∴∠DFO=120°,
∴∠EOF=360°−∠D−∠DFO−∠DEO=30°,
EF的长=30π⋅12×12180=π.
12.【答案】A
【解析】解:如图,将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△DCP′,将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP″,连接PP′、PP″,
则CP′=CP= 17,DP′=BP=2,AP″=AP=3,DP″=BP=2,∠P′CP=∠P″AP=90°,∠ABP=∠ADP″,∠CBP=∠CDP′,
∴△P′CP和△P″AP均为等腰直角三角形,
∴P′P= 2CP= 2× 17= 34,P″P= 2AP=3 2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠ABP+∠CBP=90°,
∴∠ADP″+∠CDP′=90°,
∴∠ADP″+∠CDP′+∠ADC=90°+90°=180°,即P′、D、P″在同一条直线上,
∴P′P″=DP′+DP″=2+2=4,
∵P′P″2+P″P2=42+(3 2)2=16+18=34,P′P2=( 34)2=34,
∴P′P″2+P″P2=P′P2,
∴△P′P″P是直角三角形,∠P′P″P=90°,
∴S正方形ABCD=S△ABP+S△BCP+S四边形APCD
=S△ADP″+S△DCP′+S四边形APCD
=S△P′CP+S△P′P″P+S△P′CP.
=12×( 17)2+12×32+12×4×3 2
=13+6 2.
故选:A.
将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△DCP′,将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP″,连接PP′、PP″,则CP′=CP= 17,DP′=BP=2,AP″=AP=3,DP″=BP=2,∠P′CP=∠P″AP=90°,∠ABP=∠ADP″,∠CBP=∠CDP′,可得△P′CP和△P″AP均为等腰直角三角形,可证得∠ADP″+∠CDP′+∠ADC=90°+90°=180°,即P′、D、P″在同一条直线上,利用勾股定理逆定理证得△P′P″P是直角三角形,再利用S正方形ABCD=S△ABP+S△BCP+S四边形APCD=S△ADP″+S△DCP′+S四边形APCD=S△P′CP+S△P′P″P+S△P′CP,即可求得答案.
本题是正方形综合题,考查了正方形的性质,旋转变换的性质,等腰直角三角形性质,勾股定理逆定理,三角形面积等,解题关键是利用旋转变换将求正方形面积转化为求三角形面积:S正方形ABCD=S△P′CP+S△P′P″P+S△P′CP.
13.【答案】4
【解析】解:∵x2−2kx+k2−k=0的两个实数根分别是x1、x2,
∴x1+x2=2k,x1⋅x2=k2−k,
∵x12+x22=4,
∴(x1+x2)2−2x1x2=4,
(2k)2−2(k2−k)=4,
2k2+2k−4=0,
k2+k−2=0,
k=−2或1,
∵△=(−2k)2−4×1×(k2−k)≥0,
k≥0,
∴k=1,
∴x1⋅x2=k2−k=0,
∴x12−x1x2+x22=4−0=4.
故答案为:4.
根据根与系数的关系结合x1+x2=x1⋅x2可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出k的值,再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式,解之即可得出k的取值范围,从而可确定k的值.
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,熟练掌握“当一元二次方程有实数根时,根的判别式△≥0”是解题的关键.
14.【答案】1501(1+x)2=1815
【解析】解:根据题意,得1501(1+x)2=1815,
故答案为:1501(1+x)2=1815.
根据今年六月份提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1815个,列一元二次方程即可.
本题考查了一元二次方程的应用,理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.
15.【答案】18【解析】解:因为班里共有18名男生,若要使女生被抽到是必然事件,则抽取的人数不少于19人,
又总人数为33人,
所以18故答案为:18根据必然事件的定义求解可得.
本题主要考查随机事件,解题的关键是掌握确定性事件和随机事件的定义.
16.【答案】②
【解析】解:由图象得a<0,c>0,
∵对称轴在y轴的左侧,
∴b<0,
∴abc>0,故①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=−1,
∴−b2a=−1,即b=2a,
∵抛物线的对称轴为直线x=−1,与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间,
∴抛物线与x轴的另一个交点在(1,0)和(0,0)之间,
∴当x=1时,y<0,即a+b+c<0,
∴a+2a+c<0,即3a+c<0,故②错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=−1,与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间,
∴抛物线与x轴有两个不同的交点,
∴Δ=b2−4ac>0,
∴4ac−b2<0,故③正确;
∵抛物线的顶点坐标为(−1,n),
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点,
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点,
∴ax2+bx+c=n+1无实数根,故④正确.
故选:②.
根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质依次判断即可.
此题考查了二次函数的图象与系数的关系,利用二次函数的图象判断式子的正负,二次函数的图象与性质,正确理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键.
17.【答案】3或4 3
【解析】【分析】
本题主要考查切线的性质,勾股定理以及分类讨论思想的运用,理解题意得出存在两种情况是解题的关键.
分两种情形分别求解:如图1中,当⊙P与直线CD相切时;如图2中当⊙P与直线AD相切时,求出两种情况中PM的长度,再利用勾股定理即可求出BP的长度,
【解答】
如图1中,当⊙P与直线CD相切时,设PC=PM=x,
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8−x)2,
∴x=5,
∴PC=5,
∴BP=BC−PC=8−5=3;
如图2中当⊙P与直线AD相切时,设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形,
∴PM=PK=CD=2BM,
∴PM=2BM=8,
在Rt△PBM中,PB= 82−42=4 3,
综上所述,BP的长为3或4 3.
18.【答案】π4−12
【解析】解:连接CD,过D点作DM⊥BC于M,过D点DN⊥AC于N.
∵CA=CB,∠ACB=90°,点D为AB的中点,
∴DC=12AB=1,AC=BC= 2,DM、DN为三角形ABC的中位线,
∴DM=12AC,DN=12BC,即DM=DN= 22,
∴四边形DMCN是正方形,
则扇形FDE的面积是:90π×12360=π4.
∵CA=CB,∠ACB=90°,点D为AB的中点,
∴CD平分∠BCA,
又∵DM⊥BC,DN⊥AC,
∴DM=DN,
∵∠GDH=∠MDN=90°,
∴∠GDM=∠HDN,
在△DMG和△DNH中,
∠DMG=∠DNH∠GDM=∠HDNDM=DN,
∴△DMG≌△DNH(AAS),
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN= 222=12.
则阴影部分的面积是:π4−12.
故答案为π4−12.
连接CD,过D点作DM⊥BC,DN⊥AC,证明△DMG≌△DNH(AAS),则S四边形DGCH=S四边形DMCN,求得扇形FDE的面积,则阴影部分的面积即可求得.
本题考查了三角形全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明△DMG≌△DNH,得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键.
19.【答案】解:(1)∵关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(2k+4)2−4k(k−6)>0,且k≠0,
解得:k>−25且k≠0;
(2)当k=1时,
原方程为x2−(2×1+4)x+1−6=0,
即x2−6x−5=0,
移项得:x2−6x=5,
配方得:x2−6x+9=5+9,
即(x−3)2=14,
直接开平方得:x−3=± 14
解得:x1=3+ 14,x2=3− 14.
【解析】(1)结合已知条件,根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围;
(2)将k=1代入方程,利用配方法解方程即可.
本题考查一元二次方程的定义,根的判别式及配方法解一元二次方程,(1)中需特别注意二次项的系数不为0.
20.【答案】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称,对称中心为(12,12).
【解析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;
(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;
(3)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.
本题考查了利用旋转变换与轴对称变换作图,熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题的关键.
21.【答案】解:(1)如图,PE、PF为所作;
(2)连接OE、OF,如图,
∵PE,PF为⊙O的两条切线,
∴OE⊥PE,OF⊥PF,
∴∠OEP=∠OFP=90°,
∴∠EOF=180°−∠EPF=180°−30°=150°,
当点D在优弧EF上时,∠EDF=12∠EOF=75°,
当点D′在弧EF上时,∠ED′F=180°−∠EDF=180°−75°=105°,
综上所述,∠EDF的度数为75°或105°.
【解析】(1)连接OP,作OP的垂直平分线得到OP的中点M,再以M点为圆心,MA为半径作圆交⊙O于点E、F,则根据圆周角定理得到∠OEP=∠OFP=90°,从而可判断PE,PF为⊙O的两条切线;
(2)连接OE、OF,如图,先根据切线的性质得到∠OEP=∠OFP=90°,则根据四边形的内角和可计算出∠EOF=150°,当点D在优弧EF上时,利用圆周角定理得到∠EDF=75°,当点D′在弧EF上时,利用圆内接四边形的性质得到∠ED′F=105°.
本题考查了作图−复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了圆周角定理和切线的判定与性质.
22.【答案】解:(1)18,6,72;
(2)2000×1250=480(人),
答:估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人;
(3)画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种,即BB、CC,
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为29.
【解析】解:(1)调查的学生人数为:4÷8%=50(人),
∴m=50×36%=18,
∴n=50−18−10−12−4=6,
文学类书籍对应扇形圆心角=360°×1050=72°,
故答案为:18,6,72;
(2)见答案;
(3)见答案.
(1)由喜欢E的人数除以所占百分比得出调查的学生人数,即可解决问题;
(2)由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读政史类书籍的学生人数所占的比例即可;
(3)画树状图,共有9种等可能的结果,其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种,再由概率公式求解即可.
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
23.【答案】解:(1)由题知,①当40≤x≤50时,y=5,
②当50整理得y=10−0.1x(40≤x≤100);
∴y与x之间的函数关系式为:
y=5(40≤x≤50)y=10−0.1x(50(2)设月销售利润为z,由题知,
①当40≤x≤50时,x=50时利润最大,
此时z=(50−40)×5=50(万元);
②当50z=(x−40)y=(x−40)(10−0.1x)=−0.1x2+14x−400=−0.1(x−70)2+90,
∴当x=70时,z有最大值为90,
即当月销售单价是70元时,月销售利润最大,最大利润是90万元;
(3)由(2)知,当月销售单价是70元时,月销售利润最大,
即(70−40−a)×(10−0.1×70)=78,
解得a=4,
∴a的值为4.
【解析】(1)根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可;
(2)根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可;
(3)根据(2)中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围,确定a值即可.
本题主要考查一次函数性质和二次函数的性质及方程的应用,熟练应用二次函数求最值是解题的关键.
24.【答案】(1)证明:连接OC,
∵BD=BC,
∴∠BOD=∠BOC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠BOC=2∠A,
又∵∠BOD=2∠F,
∴∠A=∠F,
又∵∠AGE=∠BGF,
∴∠AEG=∠GBF,
∵DE⊥AC,
∴∠AEG=90°,
∴∠GBF=90°,
∴OB⊥BF,
∵OB为半径,
∴BF是⊙O的切线;
(2)解:△DGB为等腰三角形,
理由:∵DB=BC,
∴DB=BC,DC⊥AB,
∴∠DCB=∠CDB,
∵OB⊥BF,
∴DC//BF,
∴∠BDC=∠DBF,
又∵∠BDC=∠A,
∴∠DBF=∠A,
又∵∠A=∠F,
∴∠DBF=∠F,
∵∠GBF=90°,
∴∠F+∠DGB=90°,∠DBG+∠DBF=90°,
∴∠DGB=∠DBG,
∴DB=DG,
即△DBG为等腰三角形;
(3)解:由(2)可知,DB=DG,∠F=∠DBF,
∴DF=DB,
∴DF=DG=DB=2,
∴FG=4.
【解析】(1)连接OC,由圆周有定理得出∠BOD=∠BOC,由等腰三角形的性质证出∠GBF=90°,由切线的判定可得出结论;
(2)由垂径定理得出DB=BC,DC⊥AB,证出∠DCB=∠CDB,由直角三角形的性质得出∠DGB=∠DBG,则可得出结论;
(3)由(2)可知,DB=DG,∠F=∠DBF,则可得出答案.
本题是圆的综合题,考查了圆周角定理,切线的判定与性质,垂径定理,等腰三角形的判定与性质,直角三角形的性质,熟练掌握切线的判定是解题的关键.
25.【答案】解:(1)设抛物线解析式为y=ax(x−10),
∵当t=2时,BC=4,
∴点C的坐标为(2,−4),
∴将点C坐标代入解析式得2a×(2−10)=−4,
解得:a=14,
∴抛物线的函数表达式为y=14x2−52x;
(2)由抛物线的对称性得AE=OB=t,
∴AB=10−2t,
当x=t时,BC=−14t2+52t,
∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)
=2[(10−2t)+(−14t2+52t)]
=−12t2+t+20
=−12(t−1)2+412,
∵−12<0,
∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为412;
(3)如图,连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ,
∵直线GH平分矩形ABCD的面积,
∴直线GH过点P,
由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,
∴PQ=CH,
∵四边形ABCD是矩形,
∴点P是AC的中点,
∴PQ=12OA,
∴抛物线平移的距离是4个单位长度.
所以抛物线向右平移的距离是4个单位.
【解析】(1)由点O,点E的坐标设抛物线的交点式,再把点C的坐标(2,−4)代入计算可得;
(2)由抛物线的对称性得AE=OB=t,据此知AB=10−2t,再由x=t时BC=−14t2+52t,根据矩形的周长公式列出函数解析式,配方成顶点式即可得;
(3)连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ,根据直线GH平分矩形ABCD的面积,得到直线GH过点P,由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,根据平行四边形的性质得到PQ=CH,根据矩形的性质得到点P是AC的中点,求得PQ=12OA,于是得到结论.
本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点.ab
bc
ac
mn
ab、mn
bc、mn
ac、mn
nl
ab、nl
bc、nl
ac、nl
ml
ab、ml
bc、ml
ac、ml
1.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.函数y=(m+2)xm2+m+2x+1是二次函数,则m的值为( )
A. −2B. 0C. −2或1D. 1
3.在平面直角坐标系中,若直线y=−x+m不经过第一象限,则关于x的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1或2个
4.如图,△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是( )
A. 41°
B. 45°
C. 49°
D. 59°
5.如图在三条横线和三条竖线组成的图形中,任选两条横线和两条竖线都可以构成一个矩形,从这些矩形中任选一个,则所选矩形含点A的概率是( )
A. 14B. 13C. 38D. 49
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
7.抛物线的函数表达式为y=3(x−2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A. y=3(x+1)2+3B. y=3(x−5)2+3
C. y=3(x−5)2−1D. y=3(x+1)2−1
8.如图,AB为⊙O的直径,点D是弧AC的中点,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F,若AC=12,AE=3,则⊙O的直径长为( )
A. 10
B. 13
C. 15
D. 16
9.如图,某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成,且三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3相互经过彼此的圆心,则图中三个阴影部分的面积之和为( )
A. 14πcm2
B. 13πcm2
C. 12πcm2
D. πcm2
10.已知a,b是方程x2−3x−5=0的两根,则代数式2a3−6a2+b2+7b+1的值是( )
A. −25B. −24C. 35D. 36
11.如图,在▱ABCD中,AB为⊙O的直径,⊙O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则EF的长为( )
A. π3
B. π2
C. π
D. 2π
12.如图,P是正方形ABCD内一点,AP=3,BP=2,CP= 17,则正方形ABCD的面积是( )
A. 13+6 2
B. 13
C. 21
D. 11+6 2
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。
13.关于x的一元二次方程x2−2kx+k2−k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12−x1x2+x22的值是______.
14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1815个,设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为______ .
15.班里有18名男生,15名女生,从中任意抽取a人打扫卫生,若女生被抽到是必然事件,则a的取值范围是______.
16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n),其部分图象如图所示,以下结论①abc>0,②3a+c>0,③4ac−b2<0,④ax2+bx+c=n+1无实数根,其中错误的是______ .
17.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 .
18.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为______.
三、解答题:本题共7小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k=1时,用配方法解方程.
20.(本小题10分)
如图,网格中的每个小方格都是边长为1的正方形,建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2中心对称吗?若中心对称,写出对称中心的坐标.
21.(本小题10分)
已知:点P是⊙O外一点.
(1)尺规作图:如图,过点P作出⊙O的两条切线PE,PF,切点分别为点E、点F.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下,若点D在⊙O上(点D不与E,F两点重合),且∠EPF=30°,求∠EDF的度数.
22.(本小题12分)
打造书香文化,培养阅读习惯.崇德中学计划在各班建图书角,开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动,学生根据自己的爱好选择一类书籍(A:科技类,B:文学类,C:政史类,D:艺术类,E:其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查,根据收集到的数据,绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
根据图中信息,请回答下列问题;
(1)条形图中的m= ______ ,n= ______ ,文学类书籍对应扇形圆心角等于______ 度;
(2)若该校有2000名学生,请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数;
(3)甲同学从A,B,C三类书籍中随机选择一种,乙同学从B,C,D三类书籍中随机选择一种,请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率.
23.(本小题12分)
红星公司销售一种成本为40元/件产品,若月销售单价不高于50元/件,一个月可售出5万件;月销售单价每涨价1元,月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x(单位:元/件),月销售量为y(单位:万件).
(1)直接写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当月销售单价是多少元时,月销售利润最大,最大利润是多少万元?
(3)为响应国家“乡村振兴”政策,该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件,月销售最大利润是78万元,求a的值.
24.(本小题12分)
如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,BC=BD,DE⊥AC于点E,DE交BF于点F,交AB于点G,∠BOD=2∠F,连接BD.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)判断△DGB的形状,并说明理由;
(3)当BD=2时,求FG的长.
25.(本小题14分)
如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意;
C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项不合题意.
故选:B.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数的定义,正确把握定义是解题关键.
直接利用二次函数y=ax2+bx+ca≠0中自变量x的最高指数是2,且a≠0列式解答.
【解答】
解:∵函数y=(m+2)xm2+m+2x+1是二次函数,
∴m2+m=2,m+2≠0,
解得:m=1.
故选:D.
3.【答案】D
【解析】解:∵直线y=−x+m不经过第一象限,
∴m≤0,
当m=0时,方程mx2+x+1=0是一次方程,有一个根,
当m<0时,
∵关于x的方程mx2+x+1=0,
∴△=12−4m>0,
∴关于x的方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根,
故选:D.
由直线解析式求得m≤0,然后确定△的符号即可.
本题考查了一次函数的性质,根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
4.【答案】C
【解析】解:∵CD是⊙O的直径,
∴∠DBC=90°,
∵∠DBA=∠DCA=41°,
∴∠ABC=90°−∠DBA=49°,
故选:C.
由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC=90°,由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA=∠DCA,进而可计算∠ABC.
本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等,解决本题的关键是熟练掌握相关知识点,难度不大.
5.【答案】D
【解析】【分析】
将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c,将从上到下的三条横线分别记作m、n、l,利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况,再从中找到所选矩形含点A的的情况,继而利用概率公式可得答案.
本题主要考查列表法与树状图法,解题的关键是利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况,并从所有结果中找到符合条件的结果数.
【解答】
解:将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c,将从上到下的三条横线分别记作m、n、l,列表如下,
由表可知共有9种等可能结果,其中所选矩形含点A的有bc、mn;bc、ml;ac、mn;ac、ml这4种结果,
∴所选矩形含点A的概率为49,
故选:D.
6.【答案】C
【解析】解:因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,得出a>0,抛物线与y轴交点在y轴的负半轴,得出c<0,利用对称轴为直线x=−b2a<0,得出b>0,
所以一次函数y=ax+b经过一、二、三象限,反比例函数y=cx经过二、四象限,
故选:C.
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,得出a>0,与y轴交点在y轴的负半轴,得出c<0,利用对称轴x=−b2a<0,得出b>0,进而对照四个选项中的图象即可得出结论.
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象,根据二次函数图象,得出a>0、b>0、c<0是解题的关键.
7.【答案】C
【解析】解:根据题意知,将抛物线y=3(x−2)2+1向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为:y=3(x−5)2−1.
故选:C.
此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式,直接利用二次函数的平移规律,左加右减,上加下减,进而得出答案.
此题主要考查了二次函数图象与几何变换,正确掌握平移规律是解题关键.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查垂径定理,圆心角,弧,弦之间的关系等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
连接OF,首先证明AC=DF=12,设OA=OF=x,在Rt△OEF中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.
【解答】
解:如图,连接OF.
∵DE⊥AB,
∴DE=EF,AD=AF,
∵点D是弧AC的中点,
∴AD=CD,
∴AC=DF,
∴AC=DF=12,
∴EF=12DF=6,
设OA=OF=x,
在Rt△OEF中,则有x2=62+(x−3)2,
解得x=152,
∴AB=2x=15,
故选C.
9.【答案】C
【解析】解:如图,连接O1A,O2A,O1B,O3B,O2C,O3C,O1O2,O1O3,O2O3,则△O1AO2,△O1BO3,△O2CO3,△O1O2O3是边长为1的正三角形,
所以,S阴影部分=3S扇形O1O2A
=3×60π×12360
=π2(cm2),
故选:C.
根据扇形面积的计算方法进行计算即可.
本题考查扇形面积的计算,掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提.
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系的知识,解答本题要掌握若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程解的定义.
根据一元二次方程解的定义得到a2−3a−5=0,b2−3b−5=0,即a2−3a=5,b2=3b+5,根据根与系数的关系得到a+b=3,然后整体代入变形后的代数式即可求得.
【解答】
解:∵a,b是方程x2−3x−5=0的两根,
∴a2−3a−5=0,b2−3b−5=0,a+b=3,
∴a2−3a=5,b2=3b+5,
∴2a3−6a2+b2+7b+1
=2a(a2−3a)+3b+5+7b+1
=10a+10b+6
=10(a+b)+6
=10×3+6
=36.
故选:D.
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查切线的性质、平行四边形的性质、弧长公式等知识,解题的关键是求出圆心角的度数,记住弧长公式,属于中考常考题型.
首先求出圆心角∠EOF的度数,再根据弧长公式即可解决问题.
【解答】
解:如图连接OE、OF,
∵CD是⊙O的切线,
∴OE⊥CD,
∴∠OED=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,
∴∠A=∠C=60°,∠D=120°,
∵OA=OF,
∴∠A=∠OFA=60°,
∴∠DFO=120°,
∴∠EOF=360°−∠D−∠DFO−∠DEO=30°,
EF的长=30π⋅12×12180=π.
12.【答案】A
【解析】解:如图,将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△DCP′,将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP″,连接PP′、PP″,
则CP′=CP= 17,DP′=BP=2,AP″=AP=3,DP″=BP=2,∠P′CP=∠P″AP=90°,∠ABP=∠ADP″,∠CBP=∠CDP′,
∴△P′CP和△P″AP均为等腰直角三角形,
∴P′P= 2CP= 2× 17= 34,P″P= 2AP=3 2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠ABP+∠CBP=90°,
∴∠ADP″+∠CDP′=90°,
∴∠ADP″+∠CDP′+∠ADC=90°+90°=180°,即P′、D、P″在同一条直线上,
∴P′P″=DP′+DP″=2+2=4,
∵P′P″2+P″P2=42+(3 2)2=16+18=34,P′P2=( 34)2=34,
∴P′P″2+P″P2=P′P2,
∴△P′P″P是直角三角形,∠P′P″P=90°,
∴S正方形ABCD=S△ABP+S△BCP+S四边形APCD
=S△ADP″+S△DCP′+S四边形APCD
=S△P′CP+S△P′P″P+S△P′CP.
=12×( 17)2+12×32+12×4×3 2
=13+6 2.
故选:A.
将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△DCP′,将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP″,连接PP′、PP″,则CP′=CP= 17,DP′=BP=2,AP″=AP=3,DP″=BP=2,∠P′CP=∠P″AP=90°,∠ABP=∠ADP″,∠CBP=∠CDP′,可得△P′CP和△P″AP均为等腰直角三角形,可证得∠ADP″+∠CDP′+∠ADC=90°+90°=180°,即P′、D、P″在同一条直线上,利用勾股定理逆定理证得△P′P″P是直角三角形,再利用S正方形ABCD=S△ABP+S△BCP+S四边形APCD=S△ADP″+S△DCP′+S四边形APCD=S△P′CP+S△P′P″P+S△P′CP,即可求得答案.
本题是正方形综合题,考查了正方形的性质,旋转变换的性质,等腰直角三角形性质,勾股定理逆定理,三角形面积等,解题关键是利用旋转变换将求正方形面积转化为求三角形面积:S正方形ABCD=S△P′CP+S△P′P″P+S△P′CP.
13.【答案】4
【解析】解:∵x2−2kx+k2−k=0的两个实数根分别是x1、x2,
∴x1+x2=2k,x1⋅x2=k2−k,
∵x12+x22=4,
∴(x1+x2)2−2x1x2=4,
(2k)2−2(k2−k)=4,
2k2+2k−4=0,
k2+k−2=0,
k=−2或1,
∵△=(−2k)2−4×1×(k2−k)≥0,
k≥0,
∴k=1,
∴x1⋅x2=k2−k=0,
∴x12−x1x2+x22=4−0=4.
故答案为:4.
根据根与系数的关系结合x1+x2=x1⋅x2可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出k的值,再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式,解之即可得出k的取值范围,从而可确定k的值.
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,熟练掌握“当一元二次方程有实数根时,根的判别式△≥0”是解题的关键.
14.【答案】1501(1+x)2=1815
【解析】解:根据题意,得1501(1+x)2=1815,
故答案为:1501(1+x)2=1815.
根据今年六月份提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1815个,列一元二次方程即可.
本题考查了一元二次方程的应用,理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.
15.【答案】18【解析】解:因为班里共有18名男生,若要使女生被抽到是必然事件,则抽取的人数不少于19人,
又总人数为33人,
所以18故答案为:18根据必然事件的定义求解可得.
本题主要考查随机事件,解题的关键是掌握确定性事件和随机事件的定义.
16.【答案】②
【解析】解:由图象得a<0,c>0,
∵对称轴在y轴的左侧,
∴b<0,
∴abc>0,故①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=−1,
∴−b2a=−1,即b=2a,
∵抛物线的对称轴为直线x=−1,与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间,
∴抛物线与x轴的另一个交点在(1,0)和(0,0)之间,
∴当x=1时,y<0,即a+b+c<0,
∴a+2a+c<0,即3a+c<0,故②错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=−1,与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间,
∴抛物线与x轴有两个不同的交点,
∴Δ=b2−4ac>0,
∴4ac−b2<0,故③正确;
∵抛物线的顶点坐标为(−1,n),
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点,
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点,
∴ax2+bx+c=n+1无实数根,故④正确.
故选:②.
根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质依次判断即可.
此题考查了二次函数的图象与系数的关系,利用二次函数的图象判断式子的正负,二次函数的图象与性质,正确理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键.
17.【答案】3或4 3
【解析】【分析】
本题主要考查切线的性质,勾股定理以及分类讨论思想的运用,理解题意得出存在两种情况是解题的关键.
分两种情形分别求解:如图1中,当⊙P与直线CD相切时;如图2中当⊙P与直线AD相切时,求出两种情况中PM的长度,再利用勾股定理即可求出BP的长度,
【解答】
如图1中,当⊙P与直线CD相切时,设PC=PM=x,
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8−x)2,
∴x=5,
∴PC=5,
∴BP=BC−PC=8−5=3;
如图2中当⊙P与直线AD相切时,设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形,
∴PM=PK=CD=2BM,
∴PM=2BM=8,
在Rt△PBM中,PB= 82−42=4 3,
综上所述,BP的长为3或4 3.
18.【答案】π4−12
【解析】解:连接CD,过D点作DM⊥BC于M,过D点DN⊥AC于N.
∵CA=CB,∠ACB=90°,点D为AB的中点,
∴DC=12AB=1,AC=BC= 2,DM、DN为三角形ABC的中位线,
∴DM=12AC,DN=12BC,即DM=DN= 22,
∴四边形DMCN是正方形,
则扇形FDE的面积是:90π×12360=π4.
∵CA=CB,∠ACB=90°,点D为AB的中点,
∴CD平分∠BCA,
又∵DM⊥BC,DN⊥AC,
∴DM=DN,
∵∠GDH=∠MDN=90°,
∴∠GDM=∠HDN,
在△DMG和△DNH中,
∠DMG=∠DNH∠GDM=∠HDNDM=DN,
∴△DMG≌△DNH(AAS),
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN= 222=12.
则阴影部分的面积是:π4−12.
故答案为π4−12.
连接CD,过D点作DM⊥BC,DN⊥AC,证明△DMG≌△DNH(AAS),则S四边形DGCH=S四边形DMCN,求得扇形FDE的面积,则阴影部分的面积即可求得.
本题考查了三角形全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明△DMG≌△DNH,得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键.
19.【答案】解:(1)∵关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(2k+4)2−4k(k−6)>0,且k≠0,
解得:k>−25且k≠0;
(2)当k=1时,
原方程为x2−(2×1+4)x+1−6=0,
即x2−6x−5=0,
移项得:x2−6x=5,
配方得:x2−6x+9=5+9,
即(x−3)2=14,
直接开平方得:x−3=± 14
解得:x1=3+ 14,x2=3− 14.
【解析】(1)结合已知条件,根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围;
(2)将k=1代入方程,利用配方法解方程即可.
本题考查一元二次方程的定义,根的判别式及配方法解一元二次方程,(1)中需特别注意二次项的系数不为0.
20.【答案】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称,对称中心为(12,12).
【解析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;
(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;
(3)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.
本题考查了利用旋转变换与轴对称变换作图,熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题的关键.
21.【答案】解:(1)如图,PE、PF为所作;
(2)连接OE、OF,如图,
∵PE,PF为⊙O的两条切线,
∴OE⊥PE,OF⊥PF,
∴∠OEP=∠OFP=90°,
∴∠EOF=180°−∠EPF=180°−30°=150°,
当点D在优弧EF上时,∠EDF=12∠EOF=75°,
当点D′在弧EF上时,∠ED′F=180°−∠EDF=180°−75°=105°,
综上所述,∠EDF的度数为75°或105°.
【解析】(1)连接OP,作OP的垂直平分线得到OP的中点M,再以M点为圆心,MA为半径作圆交⊙O于点E、F,则根据圆周角定理得到∠OEP=∠OFP=90°,从而可判断PE,PF为⊙O的两条切线;
(2)连接OE、OF,如图,先根据切线的性质得到∠OEP=∠OFP=90°,则根据四边形的内角和可计算出∠EOF=150°,当点D在优弧EF上时,利用圆周角定理得到∠EDF=75°,当点D′在弧EF上时,利用圆内接四边形的性质得到∠ED′F=105°.
本题考查了作图−复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了圆周角定理和切线的判定与性质.
22.【答案】解:(1)18,6,72;
(2)2000×1250=480(人),
答:估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人;
(3)画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种,即BB、CC,
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为29.
【解析】解:(1)调查的学生人数为:4÷8%=50(人),
∴m=50×36%=18,
∴n=50−18−10−12−4=6,
文学类书籍对应扇形圆心角=360°×1050=72°,
故答案为:18,6,72;
(2)见答案;
(3)见答案.
(1)由喜欢E的人数除以所占百分比得出调查的学生人数,即可解决问题;
(2)由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读政史类书籍的学生人数所占的比例即可;
(3)画树状图,共有9种等可能的结果,其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种,再由概率公式求解即可.
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
23.【答案】解:(1)由题知,①当40≤x≤50时,y=5,
②当50
∴y与x之间的函数关系式为:
y=5(40≤x≤50)y=10−0.1x(50
①当40≤x≤50时,x=50时利润最大,
此时z=(50−40)×5=50(万元);
②当50
∴当x=70时,z有最大值为90,
即当月销售单价是70元时,月销售利润最大,最大利润是90万元;
(3)由(2)知,当月销售单价是70元时,月销售利润最大,
即(70−40−a)×(10−0.1×70)=78,
解得a=4,
∴a的值为4.
【解析】(1)根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可;
(2)根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可;
(3)根据(2)中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围,确定a值即可.
本题主要考查一次函数性质和二次函数的性质及方程的应用,熟练应用二次函数求最值是解题的关键.
24.【答案】(1)证明:连接OC,
∵BD=BC,
∴∠BOD=∠BOC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠BOC=2∠A,
又∵∠BOD=2∠F,
∴∠A=∠F,
又∵∠AGE=∠BGF,
∴∠AEG=∠GBF,
∵DE⊥AC,
∴∠AEG=90°,
∴∠GBF=90°,
∴OB⊥BF,
∵OB为半径,
∴BF是⊙O的切线;
(2)解:△DGB为等腰三角形,
理由:∵DB=BC,
∴DB=BC,DC⊥AB,
∴∠DCB=∠CDB,
∵OB⊥BF,
∴DC//BF,
∴∠BDC=∠DBF,
又∵∠BDC=∠A,
∴∠DBF=∠A,
又∵∠A=∠F,
∴∠DBF=∠F,
∵∠GBF=90°,
∴∠F+∠DGB=90°,∠DBG+∠DBF=90°,
∴∠DGB=∠DBG,
∴DB=DG,
即△DBG为等腰三角形;
(3)解:由(2)可知,DB=DG,∠F=∠DBF,
∴DF=DB,
∴DF=DG=DB=2,
∴FG=4.
【解析】(1)连接OC,由圆周有定理得出∠BOD=∠BOC,由等腰三角形的性质证出∠GBF=90°,由切线的判定可得出结论;
(2)由垂径定理得出DB=BC,DC⊥AB,证出∠DCB=∠CDB,由直角三角形的性质得出∠DGB=∠DBG,则可得出结论;
(3)由(2)可知,DB=DG,∠F=∠DBF,则可得出答案.
本题是圆的综合题,考查了圆周角定理,切线的判定与性质,垂径定理,等腰三角形的判定与性质,直角三角形的性质,熟练掌握切线的判定是解题的关键.
25.【答案】解:(1)设抛物线解析式为y=ax(x−10),
∵当t=2时,BC=4,
∴点C的坐标为(2,−4),
∴将点C坐标代入解析式得2a×(2−10)=−4,
解得:a=14,
∴抛物线的函数表达式为y=14x2−52x;
(2)由抛物线的对称性得AE=OB=t,
∴AB=10−2t,
当x=t时,BC=−14t2+52t,
∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)
=2[(10−2t)+(−14t2+52t)]
=−12t2+t+20
=−12(t−1)2+412,
∵−12<0,
∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为412;
(3)如图,连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ,
∵直线GH平分矩形ABCD的面积,
∴直线GH过点P,
由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,
∴PQ=CH,
∵四边形ABCD是矩形,
∴点P是AC的中点,
∴PQ=12OA,
∴抛物线平移的距离是4个单位长度.
所以抛物线向右平移的距离是4个单位.
【解析】(1)由点O,点E的坐标设抛物线的交点式,再把点C的坐标(2,−4)代入计算可得;
(2)由抛物线的对称性得AE=OB=t,据此知AB=10−2t,再由x=t时BC=−14t2+52t,根据矩形的周长公式列出函数解析式,配方成顶点式即可得;
(3)连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ,根据直线GH平分矩形ABCD的面积,得到直线GH过点P,由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,根据平行四边形的性质得到PQ=CH,根据矩形的性质得到点P是AC的中点,求得PQ=12OA,于是得到结论.
本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点.ab
bc
ac
mn
ab、mn
bc、mn
ac、mn
nl
ab、nl
bc、nl
ac、nl
ml
ab、ml
bc、ml
ac、ml