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2022-2023学年山东省菏泽市单县蔡堂中学等两校八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省菏泽市单县蔡堂中学等两校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题是真命题的是( )
A. 同位角相等
B. a2是分式
C. 数据3，3，3，2，1，1，1没有众数
D. 第七次全国人口普查是全面调查
2.已知△ABC中，AD为∠BAC的内角平分线，DE⊥AB，F为线段AC上一点，且∠DFA=80°，则( )
A. DEDF
C. DE=DFD. 不能确定DE、DF大小关系
3.学校开展航天知识竞赛活动.经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：分 2)如表所示：如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4.如图BD和CE相交于点O，AE=AD，添加一个条件，仍不能判定△ABD≌△ACE的是( )
A. ∠ABC=∠ACB
B. ∠1=∠2
C. CE=BD
D. BE=DC
5.某部队一军人在一次射击训练时，连续10次的成绩为6次10环，1次9环，3次8环，则该军人这10次射击的平均成绩为( )
A. 9.2环B. 9.3环C. 9.4环D. 9.5环
6.如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且EF//BC，AD是∠BAC的平分线，分别交EF，BC于点H，D，则∠1、∠2和∠3之间的数量关系为( )
A. ∠1=∠2+∠3B. ∠1=2∠2+∠3
C. ∠1−∠2=∠2−∠3D. ∠1+∠2=2∠3
7.已知a2=b3=c4≠0，则a+bc的值为( )
A. 54B. 45C. 2D. 12
8.如图中△ABC≌△ADE，∠DAC=100°，∠BAE=140°，则∠CFE的度数是( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
9.若关于x的方程mx−1x−1=3无解，则m的值为( )
A. 1B. 1或3C. 1或2D. 2或3
10.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ．
12.代数式3x−1与代数式23−x的值互为相反数，则x= ______ ．
13.已知数据2，4，6，8，a，其中整数a是这组数据的平均数，则该组数据的方差是______ ．
14.如图，在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=DC，∠B=130°，则∠A+∠C的度数为______ ．
15.如表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员 人．
16.如图，在五边形ABCDE中，AE//BC，延长DE至点F，连接BE，若∠A=∠C，∠1=∠3，∠AEF=2∠2，则下列结论正确的是______ (只填序号)．
①∠1=∠2；
②AB//CD；
③∠AED=∠A；
④CD⊥DE．
17.如图在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且BC=CD，AD=DE=CE，则∠A的度数为______ ．
18.已知2a2−7=2a，则代数式(a−2a−1a)÷a−1a2的值为______．
19.如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD//BC，将四边形ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠3的度数为______．
20.如图，△ABC中，AB=AC，分别以A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=4，△ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是______ ．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，AD//BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2.求证：DE⊥CE．
22.(本小题12分)
解答下列各题：
(1)3x2+2x−1x2−4=0；
(2)先化简，再求值：(x2−2x+1x2−1−1x+1)+2x−4x2+x，其中x=2022．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M．
(1)求∠ADE的度数；
(2)证明：△ADF是等边三角形．
24.(本小题10分)
某校举办了国学知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组学生成绩如下(单位：分)：
甲组：30，90，60，60，68，68，70，60，90，100．
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90．
(1)以上成绩统计分析表中a= ______ ，b= ______ ．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属于中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______ 组的学生；(填“甲”或“乙”)
(3)计算乙组成绩的方差，如果你是该校国学竞赛的辅导员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由．
25.(本小题10分)
如图，△ABC的两个外角平分线BD与CE交于点P，过点P作MN//AB交AC于点M，交BC于点N，且AM=7，BN=5．
(1)求证：点P在∠A的平分线上．
(2)求MN的长．
26.(本小题10分)
2023年4月24日，在“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图.我国航天事业的飞速发展激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，问A、B两款套装的单价分别是多少元？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
B、a2是单项式，单项式是整式，故原命题是假命题，不符合题意；
C、数据3，3，3，2，1，1，1众数为3、1，故原命题是假命题，不符合题意；
D、第七次全国人口普查是全面调查，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
利用平行线的性质、分式的定义、众数的求法及调查方式的选择的方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、分式的定义、众数的求法及调查方式的选择的方法，难度不大．
2.【答案】A
【解析】解：过D作DQ⊥AC于Q，
∵AD为∠BAC的内角平分线，DE⊥AB，DQ⊥AC，
∴DE=DQ，
∵DQ⊥AC，∠DFA=80°，
∴DQ∴DE故选：A．
过D作DQ⊥AC于Q，根据角平分线性质得出DE=DQ，根据垂线段最短得出DQ本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
∴应从乙和丁同学中选，
∵乙同学的方差比丁同学的小，
∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．
故选：B．
先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4.【答案】C
【解析】解：A、由∠ABC=∠ACB，得到AB=AC，而∠BAD=∠CAE，AD=AE，由SAS判定△ABD≌△ACE，故A不符合题意；
B、由∠1=∠2，推出∠ADB=∠AEC，而AD=AE，∠BAD=∠CAE，由ASA判定△ABD≌△ACE，故B不符合题意；
C、∠BAD和∠CAE分别是BD和CE的对角，不能判定△ABD≌△ACE，故C符合题意；
D、由BE=CD，AE=AD，得到AB=AC，由SAS判定△ABD≌△ACE，故D不符合题意；
故选：C．
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形得到判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
该军人这10次射击的平均成绩为：(10×6+9×1+8×3)÷10=9.3(环)，
故选：B．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该军人这10次射击的平均成绩．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
6.【答案】C
【解析】解：∴∠B=∠3
∵∠1和∠2别是△ABC和△ABD的外角，AD平分∠BAC，
∴∠1=∠BAC+∠B=2∠BAD+∠3①，
∠2=∠BAD+∠B=∠BAD+∠3，
则∠BAD=∠2−∠3②，
把②代入①，得∠1=2(∠2−∠3)+∠3，
整理，得∠1=2∠2−∠3，即∠1+∠3=2∠2，
故选：C．
先根据平行线的性质得到∠3=∠B=，再根据三角形外角的性质得到∠2=∠BAD+∠B=∠BAD+∠3°，∠1=∠BAC+∠B=2∠BAD+∠3，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，从而求最后利用外角的性质求出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是找到题中的等量关系，得到方程，求出∠CAD的度数
7.【答案】A
【解析】解：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，
所以a+bc=2k+3k4k=54，
故选：A．
设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k.将其代入分式进行计算．
此题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
∵∠BAD=∠BAC−∠CAD，∠CAE=∠DAE−∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠DAC=100°，∠BAE=140°，
∴∠BAD=12(∠BAE−∠DAC)=20°，
在△ABG和△FDG中，
∠B=∠D，∠AGB=∠FGD，
∴∠DFB=∠BAD=20°，
∴∠CFE=∠DFB=20°，
故选：B．
先根据全等三角形对应角相等求出∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，所以∠BAD=∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和即可求出．
本题考查全等三角形的性质，灵活运用所学知识是关键．
9.【答案】B
【解析】解：两边同乘以(x−1)得：mx−1=3x−3，
∴(m−3)x=−2．
当m−3=0时，即m=3时，原方程无解，符合题意．
当m−3≠0时，x=−2m−3，
∵方程无解，
∴x−1=0，
∴x=1，
∴m−3=−2，
∴m=1，
综上：当m=1或3时，原方程无解．
故选：B．
先去分母，再根据条件求m．
本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：方法1、设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲的工效都为：1x，
由于甲、乙两人工效相同，则乙的工效为1x
甲前两个工作日完成了1x×2，剩余的工作量甲完成了1x(x−2−3)，
乙在甲工作两个工作日后完成了1x(x−2−3)，
则2x+2(x−2−3)x=1，
解得x=8，
经检验，x=8是原方程的解．
故选：A．
方法2、设甲志愿者计划完成此项工作需a天，则一天完成工作总量的1a，
由于甲、乙两人工效相同，则乙的一天完成工作总量的1a，
甲实际工作了(a−3)天，乙比甲少工作两天，实际工作了(a−5)天，
即用甲的工作量加乙的工作量=1，建立方程1a×(a−3)+1a×(a−5)=1，
∴a=8，
故选：A．
工效常用的等量关系是：工效×时间=工作总量，本题的等量关系为：甲工作量+乙工作量=1，根据从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，本题需注意甲比乙多做2天．
本题主要考查分式方程的应用，还考查了工效×时间=工作总量这个等量关系．
11.【答案】5
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=4，
在△ABC中，△ABC的周长为12，AB=3，
∴AC=12−AB−BC=12−3−4=5，
故填5．
全等三角形，对应边相等，周长也相等．
本题考查了全等三角形的性质；要熟练掌握全等三角形的性质，本题比较简单．
12.【答案】7
【解析】解：根据题意得：3x−1+23−x=0，
去分母得：3(3−x)+2(x−1)=0，
解得：x=7，
检验：把x=7代入得：(x−1)(3−x)≠0，
∴分式方程的解为x=7．
故答案为：7．
利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13.【答案】4
【解析】解：由平均数的公式得：(2+4+6+8+a)÷5=a，
解得a=5，
则方差=15×[(2−5)2+(4−5)2+(6−5)2+(8−5)2+(5−5)2]=4．
故答案为：4．
根据平均数确定出a后，再根据方差的公式计算方差即可．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14.【答案】100°
【解析】解：如下图，连接AC，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠B=∠D=130°，
∵∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∠DAC+∠DCA+∠D=180°，
∴∠BAC+∠DAC+∠BCA+∠DCA+∠B+∠D=180°+180°=360°，
即∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴∠A+∠C=360°−∠B−∠D=360°−130°−130°=100°，
故答案为：100°．
根据全等三角形的判定定理SSS，可证得△ABC≌△ADC，再根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，推出∠B=∠D=130°，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，计算即可求得∠A+∠C的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】146
【解析】【分析】
本题考查中位数的概念，读懂列表，从中得到必要的信息、掌握中位数的概念是解决问题的关键．
根据列表，由中位数的概念计算即可．
【解答】
解：由中位数为13.5岁，可知中间的两个数为13，14，
∴这个俱乐部共有学员(28+22+23)×2=146(人)．
故答案为：146．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵AE//BC，
∴∠3=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴①正确；
∵AE//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB//CD，
∴②正确；
∵AE//BC，
∴∠2=∠3，∠A+∠ABC=180°，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，∠ABC=2∠2，
∵∠AEF=2∠2，
∴∠A+∠ABC=∠A+2∠2=∠A+∠AEF=180°，
∵∠AEF+∠AED=180°，
∴∠AED=∠A，
∴③正确；
④无条件证明，故不正确．
∴结论正确的有①②③．
故答案为：①②③．
根据平行线的性质和已知证∠1=∠2，证∠C+∠B=180°，根据平行线的判定，得AB//CD，证∠A+∠AEF=180°，∠AEF+∠AED=180°，得∠AED=∠A，无条件证明CD⊥DE.逐一判断即可．
本题考查了平行线的判定与性质以及多边形的内角和外角，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】45°
【解析】解：∵DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠ECD，
∴∠ECD=12∠A，
∵BC=DC，
∴∠B=∠CDB=∠A+∠ECD=∠A+12∠A=32∠A，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=32∠A，
∴∠A+32∠A+32∠A=180°，
∴∠A=45°，
故答案为：45°．
由等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，则∠A=∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠ECD，所以∠ECD=12∠A，则∠ACB=∠B=∠CDB=∠A+∠ECD=32∠A，所以∠A+32∠A+32∠A=180°，求得∠A=45°，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明∠ECD=12∠A并且推导出∠ACB=∠B=32∠A是解题的关键．
18.【答案】72
【解析】解：原式=(a2a−2a−1a)·a2a−1
=(a−1)2a·a2a−1
=a(a−1)
=a2−a，
∵2a2−7=2a，
∴2a2−2a=7，
∴a2−a=72，
∴代数式的值为72，
故答案为：72．
先将代数式化简为a2−a，再由2a2−7=2a可得a2−a=72，即可求解．
本题考查代数式求值，解题的关键是正确化简代数式，利用题干条件进行解答．
19.【答案】54°
【解析】解：如图，过点D′作D′G//AD，则∠2=∠ED′G，
∵AD//BC，
∴BC//D′G，
∴∠3=∠C′D′G，
∵AD//BC，
∴∠1=∠4，
根据折叠的性质得：∠4=∠5，
∵∠1=2∠2，
∴∠4=∠5=2∠2，
∴2∠2+2∠2+∠2=180°，
∴∠2=36°，
∵∠ED′C′=∠D=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°−36°=54°，
故答案为：54°．
过点D′作D′G//AD，则∠2=∠ED′G，BC//D′G，∠3=∠C′D′G，根据AD//BC，得到∠1=∠4，根据折叠的性质得：∠4=∠5，根据平角等于180°求出∠2的度数，根据∠ED′C′=∠D=90°和平行线的性质得到∠2+∠3=90°即可求解．
本题考查了平行线的性质，根据平角等于180°求出∠2的度数是解题的关键．
20.【答案】5
【解析】解：连接AD，AM，如图，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面积为10，
∴12×4×AD=10，解得AD=5，
由作法得EF垂直平分AB，
∴MA=MB，
∵MB+MD=MA+MD，
而MA+MD≥AD(当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号)，
∴MA+MD的最小值为5，
∴BM+MD的最小值是5．
故答案为5．
连接AD，AM，如图，先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则可根据三角形面积公式求出AD=5，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则MA=MB，所以MB+MD=MA+MD≥AD(当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号)，从而得到BM+MD的最小值．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和最短路径问题．
21.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵AD//BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形，
∵AD=BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BEC+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥CE．
【解析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法证明Rt△ADE≌Rt△BEC，进而证得∠ADE=∠BEC得出结论．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质、平行线的性质，等腰三角形的性质，主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．
22.【答案】解：(1)将x2+2x，x2−4分解因式，原方程可化为，
3x(x+2)−1(x+2)(x−2)=0，
方程两边都乘x(x+2)(x−2)得，
3(x−2)−x=0，
解这个方程得，x=3，
经检验x=3是原方程的根；
(2)(x2−2x+1x2−1−1x+1)+2x−4x2+x
=[(x−1)2(x+1)(x−1)−1x+1]×x(x+1)2(x−2)
=(x−1x+1−1x+1)×x(x+1)2(x−2)
=x−2x+1×x(x+1)2(x−2)
=x2，
当x=2022时，原式=x2=20222=1011．
【解析】(1)按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
(2)先计算分式的乘法，再算加减，有括号先算括号里，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23.【答案】(1)解：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=12×(180°−∠BAC)=30°，
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=12×(180°−∠B)=75°，
在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE=∠ADB−∠BDE=15°；
(2)证明：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，
∴DF=CF，
∵∠C=30°，
∴∠FDC=∠C=30°，
∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°，
∵AD⊥BC，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠DAF=12∠BAC=60°，
∴∠ADF=60°，
即∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，
∴△ADF是等边三角形．
【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C，进而求出∠BDE，再求出∠ADB=90°，即可求出答案；
(2)根据垂直平分线的性质得出DF=CF，根据等腰三角形的性质求出∠FDC=∠C，求出∠AFD和∠DAF，进而求出∠ADF，根据等边三角形的判定得出即可．
24.【答案】68 68 甲
【解析】解：(1)把甲组的成绩从小到大排列为30，60，60，60，68，68，70，90，90，100.，最中间的两个数是68，68，
∴a=68+682=68；
乙组的平均数为b=110(50+60×3+70×4+80+90)=68，
故答案为：68；68；
(2)小明可能是甲组的学生，理由如下：
∵甲组的中位数是68，乙组的中位数是70，小明得了70分，
∴在甲组属中上游水平，
故答案为：甲；
(3)选乙组参加复赛，理由如下：
S乙2=110[(50−68)2+3(60−68)2+4(70−68)2+(80−68)2+(90−68)2]=116，
∴S甲2>S乙2，
∴乙组的成绩比较稳定，且乙组的中位数大于甲组的中位数，
∴选乙组参加复赛．
(1)根据平均数和中位数的定义分别进行计算即可；
(2)根据中位数的意义即可得出答案；
(3)求出乙组的方差，利用方差的意义即可得出答案．
本题考查了平均数、中位数、方差的意义，掌握平均数、中位数、方差的定义是解答本题的关键．
25.【答案】(1)证明：如下图，过点P作PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H，PQ⊥AB于点Q，
∵△ABC的两个外角平分线BD与CE交于点P，
∴PF=PH，PH=PQ，
∴PF=PQ，
又∵PF⊥AC，PQ⊥AB，
∴点P在∠A的平分线上
(2)解：如下图，连接AP，
则∠MAP=∠PAB，
∵MN//AB，
∴∠MPA=∠PAB，(两直线平行，内错角相等)，
∴∠MPA=∠MAP，
∴MP=AM=7，(在同一个三角形中，等角对等边)，
又∵BP平分∠CBQ，
∴∠NBP=∠PBQ，
∵MN//AB，
∴∠NPB=∠PBQ，(两直线平行，内错角相等)，
∴∠NBP=∠NPB，
∴NP=BN=5，(在同一个三角形中，等角对等边)，
∴MN=MP−NP=7−5=2．
【解析】(1)过点P作PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H，PQ⊥AB于点Q，根据角平分线的性质定理，推理得PF=PQ，再根据角平分线的判定定理即可证点P在∠A的平分线上；
(2)连接AP，根据角平分线和平行线，推出∠MPA=∠MAP，得NP=BN=5，推出∠NBP=∠NPB，得NP=BN=5，最后根据MN=MP−NP计算即可．
本题考查了角平分线的性质定理和判定定理、平行线、等腰三角形判定，熟练掌握相关定理、推理证明是解题的关键．
26.【答案】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
由题意得：96001.2x−7200x=5，
解得：x=160，
经检验，x=160是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×160=192，
答：A款套装的单价是192元，B款套装的单价是160元．
【解析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，根据用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数
96
98
95
98
方差
2
0.4
0.4
1.6
年龄
13
14
15
16
频数
□
28
22
23
组别
平均数
中位数
方差
甲组
68
a
376
乙组
b
70
1.下列命题是真命题的是( )
A. 同位角相等
B. a2是分式
C. 数据3，3，3，2，1，1，1没有众数
D. 第七次全国人口普查是全面调查
2.已知△ABC中，AD为∠BAC的内角平分线，DE⊥AB，F为线段AC上一点，且∠DFA=80°，则( )
A. DE
C. DE=DFD. 不能确定DE、DF大小关系
3.学校开展航天知识竞赛活动.经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：分 2)如表所示：如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4.如图BD和CE相交于点O，AE=AD，添加一个条件，仍不能判定△ABD≌△ACE的是( )
A. ∠ABC=∠ACB
B. ∠1=∠2
C. CE=BD
D. BE=DC
5.某部队一军人在一次射击训练时，连续10次的成绩为6次10环，1次9环，3次8环，则该军人这10次射击的平均成绩为( )
A. 9.2环B. 9.3环C. 9.4环D. 9.5环
6.如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且EF//BC，AD是∠BAC的平分线，分别交EF，BC于点H，D，则∠1、∠2和∠3之间的数量关系为( )
A. ∠1=∠2+∠3B. ∠1=2∠2+∠3
C. ∠1−∠2=∠2−∠3D. ∠1+∠2=2∠3
7.已知a2=b3=c4≠0，则a+bc的值为( )
A. 54B. 45C. 2D. 12
8.如图中△ABC≌△ADE，∠DAC=100°，∠BAE=140°，则∠CFE的度数是( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
9.若关于x的方程mx−1x−1=3无解，则m的值为( )
A. 1B. 1或3C. 1或2D. 2或3
10.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ．
12.代数式3x−1与代数式23−x的值互为相反数，则x= ______ ．
13.已知数据2，4，6，8，a，其中整数a是这组数据的平均数，则该组数据的方差是______ ．
14.如图，在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=DC，∠B=130°，则∠A+∠C的度数为______ ．
15.如表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员 人．
16.如图，在五边形ABCDE中，AE//BC，延长DE至点F，连接BE，若∠A=∠C，∠1=∠3，∠AEF=2∠2，则下列结论正确的是______ (只填序号)．
①∠1=∠2；
②AB//CD；
③∠AED=∠A；
④CD⊥DE．
17.如图在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且BC=CD，AD=DE=CE，则∠A的度数为______ ．
18.已知2a2−7=2a，则代数式(a−2a−1a)÷a−1a2的值为______．
19.如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD//BC，将四边形ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠3的度数为______．
20.如图，△ABC中，AB=AC，分别以A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=4，△ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是______ ．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，AD//BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2.求证：DE⊥CE．
22.(本小题12分)
解答下列各题：
(1)3x2+2x−1x2−4=0；
(2)先化简，再求值：(x2−2x+1x2−1−1x+1)+2x−4x2+x，其中x=2022．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M．
(1)求∠ADE的度数；
(2)证明：△ADF是等边三角形．
24.(本小题10分)
某校举办了国学知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组学生成绩如下(单位：分)：
甲组：30，90，60，60，68，68，70，60，90，100．
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90．
(1)以上成绩统计分析表中a= ______ ，b= ______ ．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属于中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______ 组的学生；(填“甲”或“乙”)
(3)计算乙组成绩的方差，如果你是该校国学竞赛的辅导员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由．
25.(本小题10分)
如图，△ABC的两个外角平分线BD与CE交于点P，过点P作MN//AB交AC于点M，交BC于点N，且AM=7，BN=5．
(1)求证：点P在∠A的平分线上．
(2)求MN的长．
26.(本小题10分)
2023年4月24日，在“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图.我国航天事业的飞速发展激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，问A、B两款套装的单价分别是多少元？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
B、a2是单项式，单项式是整式，故原命题是假命题，不符合题意；
C、数据3，3，3，2，1，1，1众数为3、1，故原命题是假命题，不符合题意；
D、第七次全国人口普查是全面调查，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
利用平行线的性质、分式的定义、众数的求法及调查方式的选择的方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、分式的定义、众数的求法及调查方式的选择的方法，难度不大．
2.【答案】A
【解析】解：过D作DQ⊥AC于Q，
∵AD为∠BAC的内角平分线，DE⊥AB，DQ⊥AC，
∴DE=DQ，
∵DQ⊥AC，∠DFA=80°，
∴DQ
过D作DQ⊥AC于Q，根据角平分线性质得出DE=DQ，根据垂线段最短得出DQ
3.【答案】B
【解析】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
∴应从乙和丁同学中选，
∵乙同学的方差比丁同学的小，
∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．
故选：B．
先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4.【答案】C
【解析】解：A、由∠ABC=∠ACB，得到AB=AC，而∠BAD=∠CAE，AD=AE，由SAS判定△ABD≌△ACE，故A不符合题意；
B、由∠1=∠2，推出∠ADB=∠AEC，而AD=AE，∠BAD=∠CAE，由ASA判定△ABD≌△ACE，故B不符合题意；
C、∠BAD和∠CAE分别是BD和CE的对角，不能判定△ABD≌△ACE，故C符合题意；
D、由BE=CD，AE=AD，得到AB=AC，由SAS判定△ABD≌△ACE，故D不符合题意；
故选：C．
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形得到判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
该军人这10次射击的平均成绩为：(10×6+9×1+8×3)÷10=9.3(环)，
故选：B．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该军人这10次射击的平均成绩．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
6.【答案】C
【解析】解：∴∠B=∠3
∵∠1和∠2别是△ABC和△ABD的外角，AD平分∠BAC，
∴∠1=∠BAC+∠B=2∠BAD+∠3①，
∠2=∠BAD+∠B=∠BAD+∠3，
则∠BAD=∠2−∠3②，
把②代入①，得∠1=2(∠2−∠3)+∠3，
整理，得∠1=2∠2−∠3，即∠1+∠3=2∠2，
故选：C．
先根据平行线的性质得到∠3=∠B=，再根据三角形外角的性质得到∠2=∠BAD+∠B=∠BAD+∠3°，∠1=∠BAC+∠B=2∠BAD+∠3，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，从而求最后利用外角的性质求出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是找到题中的等量关系，得到方程，求出∠CAD的度数
7.【答案】A
【解析】解：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，
所以a+bc=2k+3k4k=54，
故选：A．
设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k.将其代入分式进行计算．
此题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
∵∠BAD=∠BAC−∠CAD，∠CAE=∠DAE−∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠DAC=100°，∠BAE=140°，
∴∠BAD=12(∠BAE−∠DAC)=20°，
在△ABG和△FDG中，
∠B=∠D，∠AGB=∠FGD，
∴∠DFB=∠BAD=20°，
∴∠CFE=∠DFB=20°，
故选：B．
先根据全等三角形对应角相等求出∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，所以∠BAD=∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和即可求出．
本题考查全等三角形的性质，灵活运用所学知识是关键．
9.【答案】B
【解析】解：两边同乘以(x−1)得：mx−1=3x−3，
∴(m−3)x=−2．
当m−3=0时，即m=3时，原方程无解，符合题意．
当m−3≠0时，x=−2m−3，
∵方程无解，
∴x−1=0，
∴x=1，
∴m−3=−2，
∴m=1，
综上：当m=1或3时，原方程无解．
故选：B．
先去分母，再根据条件求m．
本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：方法1、设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲的工效都为：1x，
由于甲、乙两人工效相同，则乙的工效为1x
甲前两个工作日完成了1x×2，剩余的工作量甲完成了1x(x−2−3)，
乙在甲工作两个工作日后完成了1x(x−2−3)，
则2x+2(x−2−3)x=1，
解得x=8，
经检验，x=8是原方程的解．
故选：A．
方法2、设甲志愿者计划完成此项工作需a天，则一天完成工作总量的1a，
由于甲、乙两人工效相同，则乙的一天完成工作总量的1a，
甲实际工作了(a−3)天，乙比甲少工作两天，实际工作了(a−5)天，
即用甲的工作量加乙的工作量=1，建立方程1a×(a−3)+1a×(a−5)=1，
∴a=8，
故选：A．
工效常用的等量关系是：工效×时间=工作总量，本题的等量关系为：甲工作量+乙工作量=1，根据从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，本题需注意甲比乙多做2天．
本题主要考查分式方程的应用，还考查了工效×时间=工作总量这个等量关系．
11.【答案】5
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=4，
在△ABC中，△ABC的周长为12，AB=3，
∴AC=12−AB−BC=12−3−4=5，
故填5．
全等三角形，对应边相等，周长也相等．
本题考查了全等三角形的性质；要熟练掌握全等三角形的性质，本题比较简单．
12.【答案】7
【解析】解：根据题意得：3x−1+23−x=0，
去分母得：3(3−x)+2(x−1)=0，
解得：x=7，
检验：把x=7代入得：(x−1)(3−x)≠0，
∴分式方程的解为x=7．
故答案为：7．
利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13.【答案】4
【解析】解：由平均数的公式得：(2+4+6+8+a)÷5=a，
解得a=5，
则方差=15×[(2−5)2+(4−5)2+(6−5)2+(8−5)2+(5−5)2]=4．
故答案为：4．
根据平均数确定出a后，再根据方差的公式计算方差即可．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14.【答案】100°
【解析】解：如下图，连接AC，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠B=∠D=130°，
∵∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∠DAC+∠DCA+∠D=180°，
∴∠BAC+∠DAC+∠BCA+∠DCA+∠B+∠D=180°+180°=360°，
即∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴∠A+∠C=360°−∠B−∠D=360°−130°−130°=100°，
故答案为：100°．
根据全等三角形的判定定理SSS，可证得△ABC≌△ADC，再根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，推出∠B=∠D=130°，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，计算即可求得∠A+∠C的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】146
【解析】【分析】
本题考查中位数的概念，读懂列表，从中得到必要的信息、掌握中位数的概念是解决问题的关键．
根据列表，由中位数的概念计算即可．
【解答】
解：由中位数为13.5岁，可知中间的两个数为13，14，
∴这个俱乐部共有学员(28+22+23)×2=146(人)．
故答案为：146．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵AE//BC，
∴∠3=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴①正确；
∵AE//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB//CD，
∴②正确；
∵AE//BC，
∴∠2=∠3，∠A+∠ABC=180°，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，∠ABC=2∠2，
∵∠AEF=2∠2，
∴∠A+∠ABC=∠A+2∠2=∠A+∠AEF=180°，
∵∠AEF+∠AED=180°，
∴∠AED=∠A，
∴③正确；
④无条件证明，故不正确．
∴结论正确的有①②③．
故答案为：①②③．
根据平行线的性质和已知证∠1=∠2，证∠C+∠B=180°，根据平行线的判定，得AB//CD，证∠A+∠AEF=180°，∠AEF+∠AED=180°，得∠AED=∠A，无条件证明CD⊥DE.逐一判断即可．
本题考查了平行线的判定与性质以及多边形的内角和外角，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】45°
【解析】解：∵DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠ECD，
∴∠ECD=12∠A，
∵BC=DC，
∴∠B=∠CDB=∠A+∠ECD=∠A+12∠A=32∠A，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=32∠A，
∴∠A+32∠A+32∠A=180°，
∴∠A=45°，
故答案为：45°．
由等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，则∠A=∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠ECD，所以∠ECD=12∠A，则∠ACB=∠B=∠CDB=∠A+∠ECD=32∠A，所以∠A+32∠A+32∠A=180°，求得∠A=45°，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明∠ECD=12∠A并且推导出∠ACB=∠B=32∠A是解题的关键．
18.【答案】72
【解析】解：原式=(a2a−2a−1a)·a2a−1
=(a−1)2a·a2a−1
=a(a−1)
=a2−a，
∵2a2−7=2a，
∴2a2−2a=7，
∴a2−a=72，
∴代数式的值为72，
故答案为：72．
先将代数式化简为a2−a，再由2a2−7=2a可得a2−a=72，即可求解．
本题考查代数式求值，解题的关键是正确化简代数式，利用题干条件进行解答．
19.【答案】54°
【解析】解：如图，过点D′作D′G//AD，则∠2=∠ED′G，
∵AD//BC，
∴BC//D′G，
∴∠3=∠C′D′G，
∵AD//BC，
∴∠1=∠4，
根据折叠的性质得：∠4=∠5，
∵∠1=2∠2，
∴∠4=∠5=2∠2，
∴2∠2+2∠2+∠2=180°，
∴∠2=36°，
∵∠ED′C′=∠D=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°−36°=54°，
故答案为：54°．
过点D′作D′G//AD，则∠2=∠ED′G，BC//D′G，∠3=∠C′D′G，根据AD//BC，得到∠1=∠4，根据折叠的性质得：∠4=∠5，根据平角等于180°求出∠2的度数，根据∠ED′C′=∠D=90°和平行线的性质得到∠2+∠3=90°即可求解．
本题考查了平行线的性质，根据平角等于180°求出∠2的度数是解题的关键．
20.【答案】5
【解析】解：连接AD，AM，如图，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面积为10，
∴12×4×AD=10，解得AD=5，
由作法得EF垂直平分AB，
∴MA=MB，
∵MB+MD=MA+MD，
而MA+MD≥AD(当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号)，
∴MA+MD的最小值为5，
∴BM+MD的最小值是5．
故答案为5．
连接AD，AM，如图，先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则可根据三角形面积公式求出AD=5，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则MA=MB，所以MB+MD=MA+MD≥AD(当且仅当A、M、D共线，即M点为EF与AD的交点时取等号)，从而得到BM+MD的最小值．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和最短路径问题．
21.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵AD//BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形，
∵AD=BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BEC+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥CE．
【解析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法证明Rt△ADE≌Rt△BEC，进而证得∠ADE=∠BEC得出结论．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质、平行线的性质，等腰三角形的性质，主要利用了直角三角形全等的判定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．
22.【答案】解：(1)将x2+2x，x2−4分解因式，原方程可化为，
3x(x+2)−1(x+2)(x−2)=0，
方程两边都乘x(x+2)(x−2)得，
3(x−2)−x=0，
解这个方程得，x=3，
经检验x=3是原方程的根；
(2)(x2−2x+1x2−1−1x+1)+2x−4x2+x
=[(x−1)2(x+1)(x−1)−1x+1]×x(x+1)2(x−2)
=(x−1x+1−1x+1)×x(x+1)2(x−2)
=x−2x+1×x(x+1)2(x−2)
=x2，
当x=2022时，原式=x2=20222=1011．
【解析】(1)按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
(2)先计算分式的乘法，再算加减，有括号先算括号里，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23.【答案】(1)解：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=12×(180°−∠BAC)=30°，
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=12×(180°−∠B)=75°，
在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE=∠ADB−∠BDE=15°；
(2)证明：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，
∴DF=CF，
∵∠C=30°，
∴∠FDC=∠C=30°，
∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°，
∵AD⊥BC，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠DAF=12∠BAC=60°，
∴∠ADF=60°，
即∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，
∴△ADF是等边三角形．
【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C，进而求出∠BDE，再求出∠ADB=90°，即可求出答案；
(2)根据垂直平分线的性质得出DF=CF，根据等腰三角形的性质求出∠FDC=∠C，求出∠AFD和∠DAF，进而求出∠ADF，根据等边三角形的判定得出即可．
24.【答案】68 68 甲
【解析】解：(1)把甲组的成绩从小到大排列为30，60，60，60，68，68，70，90，90，100.，最中间的两个数是68，68，
∴a=68+682=68；
乙组的平均数为b=110(50+60×3+70×4+80+90)=68，
故答案为：68；68；
(2)小明可能是甲组的学生，理由如下：
∵甲组的中位数是68，乙组的中位数是70，小明得了70分，
∴在甲组属中上游水平，
故答案为：甲；
(3)选乙组参加复赛，理由如下：
S乙2=110[(50−68)2+3(60−68)2+4(70−68)2+(80−68)2+(90−68)2]=116，
∴S甲2>S乙2，
∴乙组的成绩比较稳定，且乙组的中位数大于甲组的中位数，
∴选乙组参加复赛．
(1)根据平均数和中位数的定义分别进行计算即可；
(2)根据中位数的意义即可得出答案；
(3)求出乙组的方差，利用方差的意义即可得出答案．
本题考查了平均数、中位数、方差的意义，掌握平均数、中位数、方差的定义是解答本题的关键．
25.【答案】(1)证明：如下图，过点P作PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H，PQ⊥AB于点Q，
∵△ABC的两个外角平分线BD与CE交于点P，
∴PF=PH，PH=PQ，
∴PF=PQ，
又∵PF⊥AC，PQ⊥AB，
∴点P在∠A的平分线上
(2)解：如下图，连接AP，
则∠MAP=∠PAB，
∵MN//AB，
∴∠MPA=∠PAB，(两直线平行，内错角相等)，
∴∠MPA=∠MAP，
∴MP=AM=7，(在同一个三角形中，等角对等边)，
又∵BP平分∠CBQ，
∴∠NBP=∠PBQ，
∵MN//AB，
∴∠NPB=∠PBQ，(两直线平行，内错角相等)，
∴∠NBP=∠NPB，
∴NP=BN=5，(在同一个三角形中，等角对等边)，
∴MN=MP−NP=7−5=2．
【解析】(1)过点P作PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H，PQ⊥AB于点Q，根据角平分线的性质定理，推理得PF=PQ，再根据角平分线的判定定理即可证点P在∠A的平分线上；
(2)连接AP，根据角平分线和平行线，推出∠MPA=∠MAP，得NP=BN=5，推出∠NBP=∠NPB，得NP=BN=5，最后根据MN=MP−NP计算即可．
本题考查了角平分线的性质定理和判定定理、平行线、等腰三角形判定，熟练掌握相关定理、推理证明是解题的关键．
26.【答案】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
由题意得：96001.2x−7200x=5，
解得：x=160，
经检验，x=160是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×160=192，
答：A款套装的单价是192元，B款套装的单价是160元．
【解析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，根据用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数
96
98
95
98
方差
2
0.4
0.4
1.6
年龄
13
14
15
16
频数
□
28
22
23
组别
平均数
中位数
方差
甲组
68
a
376
乙组
b
70
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