2022-2023学年四川省广安市华蓥市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省广安市华蓥市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
2.对于二次函数y=(x−1)2+2，下列说法正确的是( )
A. 图象开口向下B. 图象的对称轴是直线x=−1
C. 图象有最低点D. 顶点坐标是(−1,2)
3.下列事件为随机事件的是( )
A. 一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
B. 直径是圆中最长的弦
C. 方程ax2+x=0是关于x的一元二次方程
D. 任意画一个三角形，其内角和为360°
4.若x=−2是一元二次方程x2+ax+2=0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. x=1B. x=−1C. x=3D. x=−3
5.如图，转盘中6个扇形的面积都相等.任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数小于3”的概率为( )
A. 12
B. 13
C. 16
D. 2
6.如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C=90°，则∠BAC′为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
7.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=132°，则∠BOD的度数为( )
A. 48°
B. 96°
C. 132°
D. 144°
8.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. 200(1+x)2=242B. 200(1−x)2=242
C. 200(1+2x)=242D. 200(1−2x)=242
9.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的周长为( )
A. 6 3
B. 6 6
C. 3
D. 18
10.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，直线y=kx+c与抛物线都经过点(−3,0).下列说法：①ab>0；②4a+c>0；③若(−2,y1)与(12,y2)是抛物线上的两个点，则y1A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若(a−1)x|a+1|−3x+4=0(其中a是常数)是关于x的一元二次方程，则a的值为______．
12.在平面直角坐标系中，点A(−5,b)关于原点对称的点为B(a,6)，则(a+b)2022=______．
13.一个不透明的袋子中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有______个．
14.将二次函数y=−(x−3)2+2的图象向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数的解析式为______ ．
15.高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，净高CD=9米，则此圆的半径OA=______米．
16.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2023的值为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：x2−2x−3=0．
四、解答题：本题共9小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,−1)，B(2,−5)，C(5,−4)．
(1)画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(2)画出将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
19.(本小题6分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD=CD，∠BAC=75°，∠ACB=45°，求∠ABD和∠BAD的度数．
20.(本小题6分)
已知二次函数y=(a+1)x2−(a+2)x+c的图象经过点(−1,2)，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，求此二次函数的解析式．
21.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0．
(1)如果方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)如果等腰△ABC的一条边长为7，其余两边的长恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长．
22.(本小题8分)
如图，在甲、乙两个不透明的口袋内，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲袋内的小球上分别标有数字−3，−2，4，6，乙袋内的小球上分别标有数字−2，−4，6.把小华从甲袋内任意摸出的一个小球上的数字记作a，把小强从乙袋内任意摸出的一个小球上的数字记作b．
(1)设x=a，求a使代数式x2−4x−12的值小于0的概率；
(2)若a，b都是方程x2−4x−12=0的解，则小华获胜；若a，b都不是方程x2−4x−12=0的解，则小强获胜．通过列表或画树状图的方法，说明小华和小强谁获胜的概率大．
23.(本小题8分)
如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．
(1)若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．
(2)要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
24.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE．
(1)如图1，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE之间的数量关系，并说明理由．
(2)当点E不在直线BC上时，如图2、图3，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2、图3中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．
25.(本小题9分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF/​/BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
(1)判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为6，AC=6，求阴影部分的面积．
26.(本小题10分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A(1,0)，B(3,0)两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接BC，若在BC下方的抛物线上存在一点P，使得S△BCP=12S△BCA，请直接写出点P的横坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.是中心对称图形，但不是轴对称图形；不符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形；不符合题意；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形；符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可作答．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练地掌握定义并能够区分轴对称图形和中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、由于a=1>0，所以开口向上，故A不符合题意；
B、由二次函数y=(x−1)2+2可知对称轴为x=1，故B不符合题意；
C、因为a>0，所以图象开口向上，图象有最低点，故C符合题意；
D、由二次函数y=(x−1)2+2可知顶点为(1,2)，故D不符合题意．
故选：C．
根据二次函数的性质即可求出答案．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
3.【答案】C
【解析】解：A，一个图形旋转后所得的图形与原来的图形全等，是必然事件；
B、直径是圆中最长的弦，是必然事件；
C、当a≠0时，方程ax2+x=0是一元二次方程，当a=0时，不是一元二次方程，
∴方程ax2+x=0是一元二次方程，是随机事件；
D、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；
故选：C．
根据平移的性质、圆的概念、一元二次方程的概念、三角形内角和定理判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，正确记忆相关概念是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得−2t=2，
解得t=−1，
即方程的另一个根是−1．
故选：B．
设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得−2t=2，然后解t的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
5.【答案】B
【解析】指针指向的可能情况有6种，而其中是小于3的有2种，
“指针所落扇形中的数为小于3”发生的概率为26=13．
故选：B．
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠CAB=180°−∠B−∠C=60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′=∠CAB=60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′=180°−∠CAB−∠C′AB′=60°．
故选：B．
利用旋转的性质，三角形内角和定理和平角的定义解答即可．
本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的定义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD=132°，
∴∠A=48°，
∵弧BD对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠BOD，
∴∠BOD=2∠A=96°，
故选：B．
根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD=180°，求出∠A=48°，根据圆周角定理得出∠BOD=2∠A，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，可列方程：200(1+x)2=242，
故选：A．
设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数×(1+揽件日平均增长率)2，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
9.【答案】D
【解析】解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径OB=OC=6π2π=3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=3，
即正六边形的边长为3，
∴正六边形的周长为18，
故选：D．
连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB=OC=3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC=360°6=60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长，即可得到周长．
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形．
10.【答案】A
【解析】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a<0．
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，b<0．
∵a<0，b<0，
∴ab>0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
∴9a−3×2a+c=0，
∴3a+c=0．
∴4a+c=a<0，
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴点(−2,y1)关于直线x=−1对称的对称点为(0,y1)，
∵a<0，
∴当x>−1时，y随x的增大而减小．
∵12>0>−1，
∴y1>y2．
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线经过点(−3,0)，
∴抛物线一定经过点(1,0)，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为−3，1，
∴方程ax2+bx+c=0的两根为x1=−3，x2=1，
∴④的结论正确；
∵直线y=kx+c经过点(−3,0)，
∴−3k+c=0，
∴c=3k．
∵3a+c=0，
∴c=−3a，
∴3k=−3a，
∴k=−a．
∴函数y=ax2+(b−k)x
=ax2+(2a+a)x
=ax2+3ax
=a(x+32)2+916a2，
∵a<0，
∴当x=−32时，函数y=ax2+(b−k)x有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：A．
利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式是解题的关键．
11.【答案】−3
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】
解：∵(a−1)x|a+1|−3x+4=0是关于x的一元二次方程，
∴|a+1|=2且a−1≠0，
解得：a=−3．
故答案为−3．
12.【答案】1
【解析】【分析】
直接利用两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标的符号相反，得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案即可．
【解答】
解：∵点A(−5,b)关于原点对称的点为B(a,6)，
∴a=5，b=−6，
则(a+b)2022=(5−6)2022=1．
故答案为：1．
【点评】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，正确得出a，b的值是解题关键．
13.【答案】6
【解析】解：∵摸了100次后，发现有30次摸到红球，
∴摸到红球的频率=30100=0.3，
∵袋子中有红球、白球共20个，
∴这个袋中红球约有20×0.3=6个．
故答案为：6．
首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．
此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】y=−(x+1)2+7
【解析】解：将二次函数y=−(x−3)2+2的图象向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，
平移后的图象对应的二次函数解析式为y=−(x+4−3)2+2+5，即y=−(x+1)2+7．
故答案为：y=−(x+1)2+7．
直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
15.【答案】6.5
【解析】解：设OA=xm，则OD=(9−x)m，AB=12m．
由垂径定理可得AD=DB=12AB=6．
在直角三角形ADO中，OA2=OD2+AD2，
即x2=62+(9−x)2，
解得x=6.5．
即此圆的半径OA=6.5米．
故答案为：6.5．
根据垂径定理和勾股定理求解．
本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握两个定理的内容是解题的关键．
16.【答案】22019π
【解析】解：将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2
∴∠AOA1=45°，OA=OA1=1，∠OA1A2=90°，
∴∠A1OA2=90°−∠AOA1=45°，
∴∠OA2A1=90°−∠A1OA2=45°，
∴△A1OA2是等腰直角三角形，
∴A1A2=OA1=1，
∴OA2= 2；
同理可得：△A3OA4、△A5OA6、⋯、都是等腰直角三角形，OA4=2，OA6=2 2…，
∴S1=45π×12360=18π，S2=45π×( 2)2360=14π，S3=45π×22360=12π，S4=45π×(2 2)2360=π，⋯；
∴Sn=2n−4π，
∴S2023=22019π，
故答案为：22019π.
根据旋转的性质，得到△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出 OA2= 2，OA4=2，OA6=2 2，利用扇形面积求出S1，S2，S3，S4，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可．
本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．熟练掌握旋转的性质，扇形的面积公式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
17.【答案】解：将原方程左边分解因式，得
(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1．
【解析】【分析】
先将原方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出两个一元一次方程的解即可．
【点评】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，依次连接即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2，依次连接即可．
本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19.【答案】解：∵∠BAC=75°，∠ACB=45°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=60°，
∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°；
由圆周角定理得：∠ACD=∠ABD=30°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=75°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD=180°−∠BCD=105°．
【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据圆周角定理求出∠ABD的度数；根据圆周角定理求出∠BCD，进而求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
20.【答案】解：∵抛物线y=(a+1)x2−(a+2)x+c经过(−1,2)，
得：2=(a+1)+(a+2)+c
∴2a+c=−1，
∵当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
∴该函数的对称轴为直线x=−−(a+2)2(a+1)=0，
解得a=−2，
∴c=3，
∴二次函数y=−x2+3．
【解析】根据抛物线y=(a+1)x2−(a+2)x+c经过(−1,2)，即可求得2a+c=−1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可以得到该函数的对称轴为y轴，从而可以得到a的值，代入2a+c=−1求出c值即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意得：Δ=4(m+1)2−4(m2+5)≥0，
解得：m≥2；
(2)当腰长为7时，则x=7是一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的一个解，
把x=7代入方程得49−14(m+1)+m2+5=0，
整理得m2−14m+40=0，解得m1=10，m2=4，
当m=10时，x1+x2=2(m+1)=22，解得x2=15，而7+7<15，故舍去；
当m=4时，x1+x2=2(m+1)=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；
当7为等腰三角形的底边时，则x1=x2，所以m=2，方程化为x2−6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3<7，故舍去，
综上所述，m的值是4，这个三角形的周长为17．
【解析】(1)根据判别式可得不等式，解之即可；
(2)分类讨论：若x1=7时，把x=7代入方程得49−14(m+1)+m2+5=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，由根与系数的关系得x1+x2=2(m+1)=22，解得x2=15，根据三角形三边的关系，m=10舍去；当m=4时，x1+x2=2(m+1)=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2−6x+9=0，解得x1=x2=3，根据三角形三边的关系，m=2舍去．
本题考查了根的判别式，解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
22.【答案】解：(1)当a=−3时，x2−4x−12=9>0；
当a=−2时，x2−4x−12=0；
当a=6时，x2−4x−12=0；
当a=4时，x2−4x−12=−12<0；
∴P(x2−4x−12<0)=14．
(2)列表如下：
由表知共有12种等可能结果，其中a，b都是方程x2−4x−12=0的解，共有(−2,−2)，(6,−2)，(−2,6)，(6,6)这4种结果，
∴P(小华获胜)=412=13．
∵a，b都不是方程x2−4x−12=0的解，共有(−3,−4)，(4,−4)这2种结果，
∴P(小强获胜)=212=16．
∴小华获胜的概率大．
【解析】(1)求出a=−3、−2、6、4时x2−4x−12的值，再根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)设AB为x米，则BC=(36−2x)米，
由题意得：x(32−2x)=96，
解得：x1=4，x2=12，
∵墙长为14米，32米的篱笆，
∴32−2x≤14，2x<32，
∴9≤x<16，
∴x=12，
∴AB=12，
答：矩形的边AB的长为12米；
(2)设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC=(32−2x)米，
∴y=x(32−2x)=−2x2+32x=−2(x−8)2+128，
∵9≤x<16，且−2<0，故抛物线开口向下，
∴当x=9时，y有最大值是126，
答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．
【解析】(1)根据题意：矩形的面积=AB×BC，设未知数列方程可解答；
(2)设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC=(32−2x)米，可以得到y与x的函数关系式，在x的取值范围内求出函数的最大值即可．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24.【答案】解：(1)DE=BE．
理由如下：由旋转可知，AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AE，∠AED=60°．
∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，
∴∠EAB=60°−30°=30°，
∴∠ABC=∠EAB，
∴BE=AE，
∴DE=BE；
(2)图2、图3中结论仍成立．
选择图2证明如下：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠DAE=∠CAB，
∴∠DAE−∠CAE=∠CAB−∠CAE，
即∠CAD=∠EAF．
又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE=90°，
∴△ADC≌△AEF(AAS)，
∴AC=AF．
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=30°，
∴AC=12AB，
∴AF=12AB．
又∵EF⊥AB，
∴AE=BE．
由(1)知AE=DE，
∴DE=BE．
【解析】(1)利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半可得出答案．
本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，

∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OF/​/BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
OA=OC∠AOF=∠COFOF=OF，
∴△AOF≌△COF(SAS)，
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
(2)∵AC=OA=6，OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，OC=6，
∵∠OCP=90°，
∴CP= 3OC=6 3，
∴S△OCP=12OC⋅CP=12×6×6 3=18 3，S扇形AOC=60⋅π×62360=6π，
∴阴影部分的面积为S△OCP−S扇形AOC=18 3−6π．
【解析】(1)连接OC，证明△AOF≌△COF(SAS)，由全等三角形的判定与性质得出∠OAF=∠OCF=90°，由切线的判定可得出结论；
(2)证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC=60°，OC=6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过A(1,0)、B(3,0)两点，
∴方程ax2+bx+3=0的两根为x=1或x=3，
∴1+3=−ba，1×3=3a，
∴a=1，b=−4，
∴二次函数解析式是y=x2−4x+3；
(2)∵二次函数解析式是y=x2−4x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，C(0,3)．
∵点A、B关于对称轴对称，
∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC=BC的值最小．

设直线BC的解析式为y=kx+t(k≠0)，
则3k+t=0t=3，
解得：k=−1t=3．
∴直线BC的解析式为y=−x+3．
∵抛物线的对称轴为直线x=2．
∴当x=2时，y=1．
∴抛物线对称轴上存在点M(2,1)符合题意，
∵A(1,0)、B(3,0)，C(0,3)．
∴AC= 32+12= 10，BC= 32+32=3 2，
∴AC+BC= 10+3 2，
∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为 10+3 2；
(3)过P作PQ⊥x轴，与BC交于Q，连接PB，PC，
∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴S△BCA=12×AB×yC=12×2×3=3，
∴S△BCP=12S△BCA=32，
设P(m,m2−4m+3)，
∵直线BC的解析式为y=−x+3，
∴Q(m,−m+3)，
∴PQ=−m+3−(m2−4m+3)=−m2+3m，
∴S△BCP=12×PQ×|xB−xC|=12×(−m2+3m)×3=32，
解得：m=3− 52或m=3+ 52，
∴点P的横坐标为3− 52或3+ 52．

【解析】(1)由于抛物线y=ax2+bx+3过A(1,0)、B(3,0)两点，那么可以得到方程ax2+bx+3=0的两根为x=1或x=3，然后利用根与系数即可确定a、b的值．
(2)点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x=2代入即可得到点M的坐标；
(3)过P作PQ⊥x轴，与BC交于Q，连接PB，PC，求出S△BCA=3，可得S△BCP=32，设P(m,m2−4m+3)，得到Q(m,−m+3)，得出PQ，从而得到关于m的方程，解之可得结果．
本题是二次函数的综合题型，主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式．−3
−2
4
6
−2
(−3,−2)
(−2,−2)
(4,−2)
(6,−2)
−4
(−3,−4)
(−2,−4)
(4,−4)
(6,−4)
6
(−3,6)
(−2,6)
(6,−4)
(6,6)