2022-2023学年甘肃省白银市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省白银市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数不是反比例函数的是( )
A. y=2023xB. y=2023x−1C. xy=2023D. y=−x2023
2.下列四个图形中，圆柱体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.若一元二次方程x2+3x−4=0的两根是x1、x2，则x1⋅x2=( )
A. 3B. −3C. 4D. −4
4.下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是( )
A. AB=BCB. AC⊥BDC. AC=BDD. AB=AC
5.如图，曲线表示温度T(℃)与时间t(h)之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应( )
A. ≥23h B. ≤23h C. ≥32h D. ≤32h
6.若△ABC∽△DEF，BC=6，EF=4，则ACDF=( )
A. 49B. 94C. 23D. 32
7.如图小明在作业纸上画出①、②两组三角形，每组各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于图①、②中的两个三角形而言；下列说法正确的是( )
A. 都相似B. 都不相似C. 只有①相似D. 只有②相似
8.“无偿献血，让你我血脉相连”，会宁县某中学有5名教师自愿献血，其中3人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人参与献血，抽到的两人均为O型血的概率为( )
A. 310B. 38C. 25D. 37
9.若双曲线y=ax在第二、四象限，那么关于x的方程ax2+2x+1=0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 无实根
10.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为( )
A. 20cmB. 30cmC. 40cmD. 20 2cm
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.如果线段a，b，c，d是成比例线段，且a=4，b=12，c=8，那么d为______．
12.如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AC的中点O处，已知AC=6m，则点B到目标物的距离是______m.
13.一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场、赛程计划安排9天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为______ .(化用一般式表示)
14.如图所示的是三个直立在地面上的艺术字母的投影(阴影部分)效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，属于同一种投影是______ ．
15.已知近视眼镜的度数D(度)与镜片焦距f(米)成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了______度．
16.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为______ m2(结果取整数)．
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x(x>0)的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为______．
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(0,4)，B(6,4)，C(6,0)，已知矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，则点B的对应点B′的坐标是______ ．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
19.解方程． x2−2 2x+2=0
20.如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=kx交于A(3,203)、B(−5,a)两点．AD⊥x轴于点D，BE/​/x轴且与y轴交于点E．

(1)求点B的坐标及直线AB的解析式；
(2)判断四边形CBED的形状，并说明理由．
四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE/​/AC，AE/​/BD，连接OE.求证：OE⊥AD．
22.(本小题8分)
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为(1,2)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使正比例函数的值大于反比例函数值的x取值范围______．
23.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交DA的延长线于点F．
(1)求证：△ECD∽△DEF．
(2)若CD=4，求DF的长．
24.(本小题10分)
如图所示，有4张除了正面图案不同，其余都相同的图片．
(1)以上四张图片所示的立体图形中，主视图是矩形的有______；(填字母序号)
(2)将这四张图片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张．求两次抽出的图片所示的立体图形中，主视图都是矩形的概率．
25.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)=m2
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
26.(本小题10分)
如图，BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)试说明MN与DE的关系．
27.(本小题10分)
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
28.(本小题12分)
如图，在△ABC中，BC=2AB，AD是BC边上的中线，O是AD的中点，过点A作AE/​/BC，交BO的延长线于点E，BE交AC于点F，连接DE交AC于点G．
(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；
(2)若AB= 34，且OA：OB=3：5，求四边形ABDE的面积；
(3)连接DF，求证：DF2=FG⋅FC．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、y=2023x是反比例函数，不符合题意；
B、y=2023x−1=2023x是反比例函数，不符合题意；
C、xy=2023可化为y=2023x是反比例函数，不符合题意；
D、y=−x2023是一次函数，符合题意．
故选：D．
根据反比例函数的定义对各选项进行分析即可．
本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：从圆柱体的上面看到的视图是圆，
则圆柱体的俯视图是圆，
故选：D．
根据俯视图是从物体的上面看得到的视图解答．
本题考查的是几何体的三视图，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程x2−4x+1=0的两根是x1，x2，
∴x1⋅x2=−4．
故选：D．
直接根据根与系数的关系求解即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系，关键是记住若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
4.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD中，AB=BC，
∴▱ABCD是菱形，
故选项A不符合题意；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，
故选项B不符合题意；
∵▱ABCD中，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，
故选项C符合题意；
▱ABCD中，AB=AC，不能判定▱ABCD是矩形，
故选项D不符合题意；
故选：C．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设函数解析式为T=kt(k≠0)，
∵经过点(1,3)，
∴k=1×3=3，
∴函数解析式为T=3t．
当T≤2℃时，t≥32h.
故选：C
首先确定函数解析式，然后根据温度的取值范围确定时间的取值范围即可．
考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象确定反比例函数的解析式，难度不大．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，
∴BCEF=ACDF，
∵BC=6，EF=4，
∴ACDF=64=32，
故选：D．
根据△ABC∽△DEF，可以得到BCEF=ACDF，然后根据BC=6，EF=4，即可得到ACDF的值．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的性质解答．
7.【答案】A
【解析】解：如图①∵∠A=35°，∠B=75°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=70°，
∵∠E=75°，∠F=70°，
∴∠B=∠E，∠C=∠F，
∴△ABC∽△DEF；
如图②，∵OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，
∴OAOD=OCOB，
∵∠AOC=∠DOB，
∴△AOC∽△DOB．
故选：A．
图①根据三角形的内角和定理，即可求得△ABC的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定图①中的两个三角形相似；
图②根据图形中的已知条件，即可证得OAOD=OCOB，又由对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似．
此题考查了相似三角形的判定．注意有两角对应相等的三角形相似与对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似的定理的应用．
8.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
∵共有20种等可能的结果，其中抽到的两人均为O型血的结果有6种，
∴抽到的两人均为O型血的概率为620=310．
故选：A．
根据题意画出树状图得出所有等可能的结果，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用树状图求概率．树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】A
【解析】解：∵双曲线y=ax在第二、四象限，
∴a<0，
∵关于x的方程ax2+2x+1=0，
∴Δ=22−4a>0，
∴关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根．
故选：A．
由双曲线y=ax在第二、四象限，可得出a<0，进而可得出Δ=22−4a>0，再利用根的判别式可得出于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根．
本题考查了反比例函数图象与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，牢记“k<0⇔y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限”是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC= 2AB=20 2cm；
故选：D．
如图1，图2中，连接AC.在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm.在图2中，由勾股定理求出AC即可．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
11.【答案】24
【解析】解：根据题意得：ab=cd，即412=8d，
解得：d=24．
故答案为：24．
根据比例线段的定义，即可列出方程求解．
本题考查了比例线段的定义，注意a、b、c、d是成比例线段即ab=cd，要理解各个字母的顺序．
12.【答案】3
【解析】解：∵∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，
∴BO=12AC=3m，
故答案为：3．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13.【答案】x2−x−72=0
【解析】解：依题意，得12x(x−1)=9×4，
即x2−x−72=0．
故答案为：x2−x−72=0．
根据排球邀请赛的总场数，即可得出关于x的一元二次方程，将其变形为一般式即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及一元二次方程的一般式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】L、K
【解析】解：根据题意，字母L、K的投影为中心投影，字母C的投影为平行投影．
故答案为L、K．
通过判断光线是否平行确定中心投影和平移投影．
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．也考查了中心投影．
15.【答案】150
【解析】解：设函数的解析式为y=kx(x>0)，
∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
∴k=400×0.25=100，
∴解析式为y=100x，
∴当y=0.4时，x=1000.4=250，
∵小慧原来戴400度的近视眼镜，
∴小慧所戴眼镜的度数降低了400−250=150度，
故答案为：150．
设函数的解析式为y=kx(x>0)，由x=400时，y=0.25可求k，进而可求函数关系式，然后求得焦距为0.4米时的眼镜度数，相减即可求得答案．
考查了反比例函数的应用，根据题意求得反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大．
16.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
首先假设不规则图案面积为x，求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】
解：假设不规则图案面积为xm2，
由已知得：长方形面积为20m2，
则小球落在不规则图案的概率为：x20，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：x20=0.35，
解得x=7．
故答案为：7．
17.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，关键掌握比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于12|k|．
根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC=S△OBD=12×2=1，再相加即可．
【解答】
解：∵函数y=2x(x>0)的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，
∴S△OAC=S△OBD=12×2=1，
∴S△OAC+S△OBD=1+1=2．
故答案为2．
18.【答案】(3,2)或(−3,−2)/(−3,−2)或(3,2)
【解析】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，
∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为12，
∵B(6,4)，
∴点B′的坐标为(6×12,4×12)或(−6×12,−4×12)，即(3,2)或(−3,−2)，
故答案为：(3,2)或(−3,−2)．
根据位似图形的概念得到矩形OA′B′C′∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．相似图形面积比等于相似比的平方．
19.【答案】解：∵a=1，b=−2 2，c=2，
∴b2−4ac=(−2 2)2−4×1×2=0，
∴x=2 2± 02×1=2 22= 2，
∴x1=x2= 2．
【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的求根公式：x=−b± b 2−4ac2a(b2−4ac≥0)．
把a=1，b=−2 2，c=2代入求根公式计算即可．
20.【答案】解：(1)∵双曲线y=kx过A(3,203)，
∴k=20．
把B(−5,a)代入y=20x，得
a=−4．
∴点B的坐标是(−5,−4)．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
将A(3,203)、B(−5,−4)代入，得
203=3m+n−4=−5m+n，
解得：m=43n=83，
∴直线AB的解析式为：y=43x+83；
(2)四边形CBED是菱形．理由如下：
∵直线AB的解析式为：y=43x+83，
∴当y=0时，x=−2，
∴点C的坐标是(−2,0)；
∵点D在x轴上，AD⊥x轴，A(3,203)，
∴点D的坐标是(3,0)，
∵BE//x轴，
∴点E的坐标是(0,−4)．
而CD=5，BE=5，且BE/​/CD．
∴四边形CBED是平行四边形．
在Rt△OED中，ED2=OE2+OD2，
∴ED= 32+42= 9+16=5，
∴ED=CD．
∴平行四边形CBED是菱形．
【解析】本题考查了反比例函数综合题．解答此题时，利用了反比例函数图象上点的坐标特征．
(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，然后将B点代入反比例函数解析式，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；
(2)由点C、D的坐标、已知条件“BE/​/x轴”求得，CD=5，BE=5，且BE/​/CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OD．
∵DE/​/AC，AE/​/BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA=OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
【解析】利用DE/​/AC，AE/​/BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO=OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．
本题主要看出来了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定．利用菱形的对角线互相垂直是证明两条直线互相垂直的重要方法．
22.【答案】解：(1)设反比例函数的解析式为y=kx，
将点A的坐标(1,2)代入y=kx得k=2，
∴反比例解析式为y=2x；
(2)−11．
【解析】解：(1)见答案
(2)同理可得正比例函数的解析式为y=2x，
由y=2xy=2x,
解得x=1y=2或x=−1y=−2,
∴B点坐标为(−1,−2)，
由图象得当−11时，正比例函数值大于反比例函数值，
故答案为−11．
(1)把A点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
(2)将反比例函数与一次函数联立，求得交点坐标，根据图象，找出正比例函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可．
本题属于反比例函数综合题，考查坐标与图形性质，一次函数与反比例函数的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED=∠C=90°，BC/​/AD，
∴∠CED=∠FDE，
∴△ECD∽△DEF．
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD=BC=CD=4．
∵E为BC的中点，
∴CE=12BC=2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得DE= CE2+DC2= 22+42=2 5，
∵△ECD∽△DEF，
∴CEDE=DEDF，
∴22 5=2 5DF，
解得DF=10．
【解析】(1)根据正方形的性质得出∠FED=∠C=90°，BC/​/AD，根据平行线的性质得出∠CED=∠FDE，再根据相似三角形的判定得出即可；
(2)根据正方形的性质得出∠C=90°，AD=BC=CD=4，求出CE，根据勾股定理求出DE，根据相似得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
24.【答案】B，D
【解析】解：(1)球的主视图为圆；
长方体的主视图是矩形；
圆锥的主视图为等腰三角形；
圆柱的主视图为矩形，
故答案为：B，D；
(2)解：列表可得
(6分)
由表可知，共有16种等可能结果，其中两次抽出的图片所示立体图形的主视图都是矩形的有4种，分别是(B,B)，(B,D)，(D,B)，(D,D)，所以两次抽出的图片所示立体图形的主视图都是矩形的概率为416，即14．
(1)分别写出每个几何体的主视图，然后即可确定答案；
(2)列表后将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可；
本题考查了由三视图判断几何体、概率的计算公式等知识，解题的关键是能够写出每个几何体的主视图及利用列表法将等可能的所有结果列举出来，难度不大．
25.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)=m2，
∴x2−5x+6−m2=0，
∴△=25−4(6−m2)=1+4m2>0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，
则(1−3)×(1−2)=m2，
2=m2，
m=± 2，
原方程变形为x2−5x+4=0，
设方程的另一个根为a，
则1×a=4，
a=4，
则方程的另一个根为4．
【解析】(1)先把方程(x−3)(x−2)=m2，变形为x2−5x+6−m2=0，得出△=25−4(6−m2)=1+4m2>0，即可得出答案；
(2)把1代入原方程，得出m，再把原方程变形为x2−6x+4=0，设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出方程的另一个根即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac和一元二次方程的根与系数的关系：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
26.【答案】(1)证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE．
∴ABAC=ADAE，
∴ABAD=ACAE，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
(2)解：MN垂直平分DE，理由如下：
如图，连接DM，EM，

∵M是BC的中点，BD、CE是△ABC的两条高，
∴EM=12BC，DM=12BC，
∴EM=DM，
∵N是DE的中点，
∴MN垂直平分DE．
【解析】(1)根据题意BD、CE是△ABC的两条高，可得∠ADB=∠AEC=90°，可求证△ABD∽△ACE，可求得线段对应相等，变式后可求证△ADE∽△ABC；
(2)连接DM，EM，根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半的性质，可知EM=12BC，DM=12BC，又因为N点为中点，即可求证．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定条件和直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解决问题的关键．
27.【答案】解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50(1−a)2=32，
解得：a=1.8(舍)，a=0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
(2)设每千克应涨价x元，由题意，得
(10+x)(500−20x)=6000，
整理，得x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10，
因为要尽快减少库存，所以x=5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【解析】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到隐含的相等关系，列出方程，解答即可．
(1)设每次降价的百分率为a，(1−a)2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
(2)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
28.【答案】解：(1)四边形ABDE是菱形．理由如下：
∵AE//BC，
∴∠EAO=∠BDO，
∵O是AD中点，
∴AO=DO，
在△AOE和△DOB中，
∠EAO=∠BDOAO=DO∠AOE=∠DOB，
∴△AOE≌△DOB(ASA)，
∴AE=BD，
又∵AE/​/BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2BD，
又∵BC=2AB，
∴BD=BA，
∴平行四边形ABDE是菱形；
(2)∵四边形ABDE是菱形，
∴AD⊥BE，AO=12AD，BO=12BE，
设OA=3k，OB=5k，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，9k2+25k2=34，
解得k=1，
∴OA=3，OB=5，
∴AD=6，BE=10，
∴菱形ABDE的面积=12×10×6=30；
(3)证明：∵四边形ABDE是菱形，
∴BE垂直平分AD，
∴EA=ED，FA=FD，
∴∠EAO=∠EDO，∠FAO=∠FDO，
∴∠EAF=∠EDF，
∵AE//BC，
∴∠EAF=∠DCF，
∴∠EDF=∠DCF，
又∵∠GFD=∠DFC，
∴△DFG∽△CFD，
∴GFDF=DFCF，
∴DF2=FG⋅FC．
【解析】(1)先判定△AOE≌△DOB(ASA)，得出AE=BD，根据AE/​/BD，即可得出四边形ABDE是平行四边形，再根据BD=BA，即可得到平行四边形ABDE是菱形；
(2)根据四边形ABDE是菱形，AB= 34，且OA：OB=3：5，运用勾股定理求得AD=6，BE=10，即可得出菱形ABDE的面积；
(3)根据菱形的性质得出∠EDF=∠DCF，再根据∠GFD=∠DFC，即可判定△DFG∽△CFD，进而得到GFDF=DFCF，据此可得DF2=FG⋅FC．
本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握菱形的判定方法以及相似三角形的判定方法，解题时注意：菱形的面积等于两对角线长乘积的一半． 第二张
第一张
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)