2022-2023学年广东省韶关市仁化县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省韶关市仁化县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通标志图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )
A. 3cm，4cm，8cmB. 8cm，7cm，15cm
C. 13cm，12cm，20cmD. 5cm，5cm，11cm
3.下列式子从左到右的变形是因式分解的是
( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (x+y)2=(x−y)2+4xy
C. 8a5b2=4a3b⋅2a2bD. m2−4m+3=(m−1)(m−3)
4.下列运算正确的是( )
A. a⋅a2=a3B. (a2)3=a5C. (ab)2=a2bD. a3÷a3=a
5.已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( )
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
6.若点A(m,n)和点B(5,−7)关于x轴对称，则m+n的值是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
7.已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是
( )
A. 8B. ±8C. 16D. ±16
8.如图，小明书上的三角形被墨迹追挡了一部分，测得两个角的度数为32°、74°，于是他很快判断这个三角形是( )
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形
9.如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=100°，则∠F的度数是( )
A. 100°
B. 60°
C. 50°
D. 30°
10.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°，AD⊥CD，AB⊥BC，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为( )
A. 100°
B. 120°
C. 130°
D. 135°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，这个数用科学记数法表示为______。
12.分解因式：2x2−8y2= ．
13.若a−b=10，ab=5，则a2+b2= ______ ．
14.若关于x的分式方程7x−1+3=mxx−1无解，则实数m=______．
15.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC.下列结论：①∠BAD=∠C；②∠EBC=∠C；③AG⊥EF；④FG//AC.其中正确的结论是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)22−( 3−1)0+(12)−1；
(2)(−12ab2c)2⋅12a2c÷3a2bc．
17.(本小题8分)
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF.老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF.下面是课堂上三个同学的发言：
甲：添加BE=CF，乙：添加AC/​/DF，丙：添加∠A=∠D．
(1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是______；
(2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明．
18.(本小题8分)
如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的三个小方格已涂黑，请你用四种方法在图中再涂黑一个小方格，使它成为轴对称图形．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，大于二分之一AC的长为半径作弧，两弧交于点M、N，连接MN，交AC于点E，交BC于点D，连接AD．
(1)若AE=5，△ABD的周长为20，则△ABC的周长是多少？
(2)若AB=AD，∠B=70°，求出∠BAC的度数．
20.(本小题9分)
化简分式：(x2−2xx2−4x+4−3x−2)÷x−3x2−4，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
21.(本小题9分)
某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买两种型号的垃圾分类垃圾桶.一种是给班级使用的小号垃圾桶，一种是放在室外使用的大号垃圾桶.其中小号垃圾桶的单价比大号垃圾桶的单价少9元，已知学校用3120元购买小号垃圾桶的数量与用4200元购买大号垃圾桶的数量相同，
(1)求每个小号垃圾桶、每个大号垃圾桶的单价各是多少元？
(2)若两种垃圾桶共购买了200个，且购买的总费用为6280元，求购买了多少个小号垃圾桶？
22.(本小题12分)
实践与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)．
(1)上述操作能验证的公式是______ (请选择正确的一个)．
A.a2+ab=a(a+b) B.a2−b2=(a−b)(a+b) C.a2−2ab+b2=(a−b)2
(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b= ______ ；②计算：82−72+62−52+42−32+22−1；③计算：(2n)2−(2n−1)2+(2n−2)2−(2n−3)2+⋯+42−32+22−1(n≥1)．
23.(本小题12分)
如图，点D，E是正△ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD，已知PE=1，PQ=3．
(1)求证：△ABE≌△CAD．
(2)求∠BPQ的度数．
(3)求AD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．
本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、3+4<8，不能组成三角形；
B、8+7=15，不能组成三角形；
C、13+12>20，能够组成三角形；
D、5+5<11，不能组成三角形．
故选：C．
此题考查了三角形的三边关系．
判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3.【答案】D
【解析】解：A、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合同意；
B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合同意；
C、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合同意；
D、m2−4m+3=(m−1)(m−3)，是因式分解，符合题意．
故选：D．
根据因式分解的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义，熟知把一个多项式变成几个整式的乘积的形式叫做因式分解是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、a⋅a2=a3，故A选项正确；
B、(a2)3=a6，故B选项错误；
C、(ab)2=a2b2，故C选项错误；
D、a3÷a3=1，故C选项错误，
故选：A．
A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式分子分母分别乘方得到结果，即可作出判断；
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了分式的乘除法，同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)·180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
【解答】
解：设这个多边形是n边形，
则(n−2)·180°=900°，
解得：n=7，
即这个多边形为七边形．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了关于x轴对称点的特征，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。直接利用关于x轴对称点的特征得出m，n的值，进而得出答案。
【解答】
解：∵点A(m,n)和点B(5,−7)关于x轴对称
∴m=5，n=7
则m+n=5+7=12。
故选C。
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【解答】
解：因为x2+kxy+64y2是一个完全平方式，
又因为64y2=(±8y)2，
所以原式可化为(x±8y)2，
展开可得x2±16xy+64y2，
所以kxy=±16xy，
所以k=±16．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
根据三角形的两个角的度数为32°、74°，即可得到第三个内角为74°，进而得出该三角形为等腰三角形．
本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．
【解答】
解：∵三角形的两个角的度数为32°、74°，
∴第三个内角为74°，
∴该三角形两个角相等，
∴该三角形为等腰三角形，
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°−100°−50°=30°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠C=30°，
故选D．
首先根据三角形内角和定理可得∠C的度数，再根据全等三角形，对应角相等可得∠F=∠C=30°．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形，对应角相等．
10.【答案】A
【解析】解：如图，
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点N、M，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°−∠130°=50°，
由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)=2×50°=100°．
故选：A．
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，然后计算即可得解．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和等边对等角等知识，根据已知得出周长最小的情形是解题关键．
11.【答案】3.4×10−10
【解析】【分析】
科学记数法表示绝对值小于1的数的一般形式为±a×10−n，其中1≤a<10，n是正整数，n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)。
【解答】
解：0.00000000034=3.4×10−10
故答案为3.4×10−10。
12.【答案】2(x+2y)(x−2y)
【解析】【分析】
考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
观察原式2x2−8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2−4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．
【解答】
解：2x2−8y2=2(x2−4y2)=2(x+2y)(x−2y)．
故答案为：2(x+2y)(x−2y)．
13.【答案】110
【解析】解：∵a−b=10，
∴a2+b2−2ab=100，
∴a2+b2=100+2ab=100+10=110．
故答案是：110．
利用完全平方公式把a−b=10两边平方后，再代入数据即可求出a2+b2的值．
本题主要考查两数的和或差的平方，两数的平方和，两数的乘积二倍三者之间的关系．
14.【答案】3或7
【解析】解：方程去分母得：7+3(x−1)=mx，
整理，得(m−3)x=4，
当整式方程无解时，m−3=0，m=3；
当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，
∴m−3=4，m=7，
∴m的值为3或7．
故答案为3或7．
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
15.【答案】①③④
【解析】解：①连接EG．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．
∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确；
②如果∠EBC=∠C，则∠C=12∠ABC，
∵∠BAC=90°
那么∠C=30°，但∠C≠30°，故②错误；
③∵∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故③正确．
④∵AG是∠DAC的平分线，
∴AN⊥BE，FN=EN，
在△ABN与△GBN中，
∠ABN=∠GBNBN=BN∠ANB=∠BNG=90°，
∴△ABN≌△GBN(ASA)，
∴AN=GN，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴GF/​/AE，
即GF//AC.故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
①连接EG.根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C，则∠C=12∠ABC，由于∠BAC=90°那么∠C=30°，但∠C≠30°，故②错误；③根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF.故③正确；④证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出四边形AFGE是平行四边形，得到GF/​/AE，故④正确．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握定理是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=4−1+2
=5；
(2)原式=14a2b4c2×12a2c÷3a2bc
=a2b3c2．
【解析】(1)根据整式指数幂的定义计算即可；
(2)根据同底数幂的乘除法运算即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】甲、丙
【解析】解：(1)说法正确的是：甲、丙，
故答案为：甲、丙；
(2)选甲的做法，
证明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
选丙的做法，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
(1)加上条件BE=CF或∠A=∠D的条件即可证明两个三角形全等，添加AC/​/DF不能证明△ABC≌△DEF；
(2)添加BE=CF可得BC=EF，利用SSS判定△ABC≌△DEF即可，添加∠A=∠D，可用SAS证明△ABC≌△DEF．
本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示，即为所求．

【解析】根据轴对称图形的定义进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由作图方法可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=10，
∵△ABD的周长为20，
∴AB+AD+BD=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+BD+CD+AC=AB+BD+AD+AC=20+10=30；
(2)∵AB=AD，AD=CD，
∴∠ADB=∠B=70°，∠DAC=∠C，
∴∠C+∠DAC=∠ADB=70°，
∴∠C=35°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=75°．
【解析】(1)先根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，AC=2AE=10，再由三角形周长公式进行求解即可；
(2)先根据等边对等角得到∠ADB=∠B=70°，再根据三角形外角的性质求出∠C=35°，则∠BAC=180°−∠C−∠B=75°．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键．
20.【答案】解：
(x2−2xx2−4x+4−3x−2)÷x−3x2−4
=[x(x−2)(x−2)2−3x−2)÷x−3x2−4
=(xx−2−3x−2)÷x−3x2−4
=x−3x−2×(x+2)(x−2)x−3
=x+2，
∵x2−4≠0，x−3≠0，
∴x≠2且x≠−2且x≠3，
∴可取x=1代入，原式=3．
【解析】利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可．
本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．
21.【答案】解：(1)设每个小号垃圾桶的单价为x元，则每个大号垃圾桶的单价为(x+9)元，
由题意得，3120x=4200x+9，
解得x=26，
经检验，x=26是原方程的解，
∴x+9=35，
∴每个小号垃圾桶的单价为26元，则每个大号垃圾桶的单价为35元，
答：每个小号垃圾桶的单价为26元，则每个大号垃圾桶的单价为35元；
(2)设购买了m个小号垃圾桶，则购买了(200−m)个大垃圾桶，
由题意得，26x+35(200−x)=6280，
解得x=80，
∴购买了80个小号垃圾桶，
答：购买了80个小号垃圾桶．
【解析】(1)设每个小号垃圾桶的单价为x元，则每个大号垃圾桶的单价为(x+9)元，然后根据3120元购买小号垃圾桶的数量与用4200元购买大号垃圾桶的数量相同列出方程求解即可；
(2)设购买了m个小号垃圾桶，则购买了(200−m)个大垃圾桶，然后根据总费用为6280元列出方程求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
22.【答案】B 4
【解析】解：(1)图一中的阴影部分面积为：a2−b2，
图二中阴影部分面积为：(a+b)(a−b)，
而这两者面积相等，所以有：a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：B．
(2)①4a2−b2=(2a+b)(2a−b)=24，
又2a+b=6，
∴2a−b=4．
②82−72+62−52+42−32+22−1
=(8+7)(8−7)+(6+5)(6−5)+(4+3)(4−3)+(2+1)(2−1)
=8+7+6+5+4+3+2+1
=4×9
=36．
③(2n)2−(2n−1)2+(2n−2)2−(2n−3)2+⋯+42−32+22−1(n≥1)
=(2n+2n−1)(2n−2n+1)+(2n−2+2n−3)(2n−2+2n+3)+……+(4+3)(4−3)+(2+1)(2−1)=2n+2n−1+2n−2+2n−3+⋯+4+3+2+1
=(2n+1)2n2
=2n2+n．
故答案为：B，4．
(1)根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；
(2)使用(1)得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果．
本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC为正三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．
在△ABE和△CAD中，
AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)；
(2)解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠3=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∴∠BPQ=∠1+∠3=60°；
(3)∵BQ⊥AD，
∴∠PQB=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6．
∵PE=1，
∴BE=BP+PE=7．
∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=7．
【解析】(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，再结合CD=AE，联系全等三角形的判定定理可完成证明；
(2)利用全等三角形的性质可得∠1=∠2，再通过等量代换可得∠1+∠3的度数，从而求出∠BPQ的度数；
(3)根据垂直可得∠PQB=90°，则∠PBQ=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出BP的长，进而求出BE的长，据此利用全等三角形的性质可求出AD的长．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．