2022-2023学年湖北省襄阳市宜城市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市宜城市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a3=2a3B. a12÷a3=a4C. (a5)2=a7D. (−2a)2=4a2
2.下列因式分解结果正确的是( )
A. −x3+4x=−x(x2−4)B. x2−4y2=(x+4y)(x−4y)
C. −x2−2x−1=−x(x+2)−1D. x2−5x+6=(x−2)(x−3)
3.如果(x−2)(x+3)=x2+px+q，那么p、q的值是( )
A. p=5，q=6B. p=1，q=−6C. p=1，q=6D. p=5，q=−6
4.要使分式mm+2有意义，则m的取值应满足( )
A. m=0B. m≠0C. m=−2D. m≠−2
5.某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为( )
A. 9.5×10−7B. 9.5×10−8C. 0.95×10−7D. 95×10−8
6.七年级一班计划在学校英语角里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是( )
A. 3、4、8B. 4、4、8C. 3、5、6D. 5、6、11
7.一个三角形的三边长分别为3，5，a，另一个三角形的三边长分别为5，4，b，若这两个三角形全等，则a+b=( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
8.如图所示，BE是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，若∠A=70°，则∠E=( )
A. 15°
B. 25°
C. 35°
D. 45°
9.如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作EG/​/BC分别交AB，AC于点E，G，若BE=6，CG=10，则线段EG的长为( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
10.在△ABC中，AC=6，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )
A. 6二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：3ab(a−2b)= ______ ；因式分解：2ax2−2a= ______ ．
12.已知x2−2x+y2+4y+5=0，则x+y= ______ ．
13.要使分式21−x有意义，则x应满足的条件是 ．
14.已知点M(a,3)与点N(5,b)关于y轴对称，则a−b=______．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添加一个条件______，使△BEC≌△CDA(填一个即可)．
16.如图，直角三角形ABC在，∠C=90°，∠BAC=60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.若a+b=7，且(a−2)(b−2)=2．
(1)求ab的值．
(2)求a2+3ab+b2的值．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：
(1)(−13x2y)⋅15xy2；
(2)(3a2b2+2a2b)÷ab．
19.(本小题8分)
先化简代数式a2−2a+1a2−4÷(1−3a+2)+1a−2，再选择一个你喜欢的数代入求值．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
求证：AD是△ABC的角平分线．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC与Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE.BD与CE相交于点F．
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)求证：BD⊥CE．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(−1,4)，B(−2,1)，C(−4,3)．
(1)△ABC的面积是______；
(2)把△ABC向下平移4个单位长度，再以y轴为对称轴对称，得到△A′B′C′，请你画出△A′B′C′；
(3)分别写出A，B，C三点的对应点A′，B′，C′的坐标．
23.(本小题8分)
2022年春季开学初某校为教师购进A、B两种品牌的口罩，购买A品牌口罩花费了2500元，购买B品牌口罩花费了2000元，且购买A品牌口罩数量是购买B品牌口罩数量的2.5倍，已知购买一个B品牌口罩比购买一个A品牌口罩多花1元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的口罩各需多少元？
(2)该校为响应习总书记“疫情期间，安全校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌口罩共1500个，恰逢市场对两种品牌口罩的售价进行调整，A品牌口罩的售价比第一次购买时提高了20%，B品牌口罩的售价按第一次购买时的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌口罩的总费用不超过2130元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌口罩？
24.(本小题8分)
【问题发现】(1)如图1，△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD=90°，AC=CD，B、C、E三点在同一直线上，AB=3，ED=4，则BE=______．
【问题提出】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4，过点C作CD⊥AC，且CD=AC，求△BCD的面积．
【问题解决】(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
25.(本小题8分)
如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a3⋅a3=a6，故A不符合题意；
B、a12÷a3=a9，故B不符合题意；
C、(a5)2=a10，故C不符合题意；
D、(−2a)2=4a2，故D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法的法则，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2.【答案】D
【解析】解：A.−x3+4x=−x(x2−4)=−x(x+2)(x−2)，故A不符合题意；
B.x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，故B不符合题意；
C.−x2−2x−1=−(x+1)2，故C不符合题意；
D.x2−5x+6=(x−2)(x−3)，故D符合题意；
故选：D．
根据因式分解−十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可．
本题考查了因式分解−十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
3.【答案】B
【解析】【分析】
已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】
解：∵(x−2)(x+3)=x2+x−6=x2+px+q，
∴p=1，q=−6，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：∵分式mm+2有意义，
∴m+2≠0，
解得：m≠−2．
故选：D．
分式有意义的条件是分母不等于零，据此求出m的取值范围即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
5.【答案】A
【解析】解：0.00000095=9.5×10−7，
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6.【答案】C
【解析】解：A、3+4<8，不能构成三角形；
B、4+4=8，不能构成三角形；
C、3+5>6，能构成三角形；
D、5+6=11，不能构成三角形．
故选：C．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题主要考查了三角形三边关系，用到的知识点为：组成三角形的两小边之和大于最大的边长．
7.【答案】B
【解析】解：一个三角形的三边长分别为3，5，a，
另一个三角形的三边长分别为5，4，b，
这两个三角形全等，
∴a=4，b=3，
∴a+b=7，
故选：B．
根据已知条件分清对应边，结合全等三角形的性质可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法，根据两个三角形中都有5找对应边是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵BE是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，
∴∠E=∠ECD−∠EBC，
=12∠ACD−12∠ABC
=12(∠A+∠ABC)−12∠ABC
=12∠A+12∠ABC−12∠ABC
=12∠A
∴∠A=70°，
∴∠E=12∠A=12×70°=35°．
故选：C．
根据三角形外角的性质结合角平分线的定义进行求解即可．
本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵EG/​/BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=BE，
同理DG=GC，
∴EG=ED+DG=BE+GC=16．
故选：A．
利用角平分线和平行可证得∠EBD=∠EDB，∠GDC=∠GCD，可得到DE=BE，DG=GC，可得到EG=BE+GC，即可得到结论．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边是解题的关键，注意平行线的性质的应用．
10.【答案】D
【解析】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
BD=CD∠ADB=∠EDCAD=DE，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=CE，
∵AD=7，
∴AE=14，
∵14+6=20，14−6=8，
∴8即8故选：D．
延长AD至E，使DE=AD，然后利用边角边证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，遇中线，加倍延，构造出全等三角形是解题的关键．
11.【答案】3a2b−6ab2 2a(x+1)(x−1)
【解析】解：3ab(a−2b)=3a2b−6ab2；
2ax2−2a=2a(x2−1)=2a(x+1)(x−1)；
故答案为：3a2b−6ab2，2a(x+1)(x−1)．
根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可．
本题主要考查了单项式乘以多项式，因式分解，解题的关键是掌握相关运算顺序和运算法则，以及因式分解的方法和步骤．
12.【答案】−1
【解析】解：已知等式整理得：
(x2−2x+1)+(y2+4y+4)=0，
即(x−1)2+(y+2)2=0，
∵(x−1)2≥0，(y+2)2≥0，
∴x−1=0，y+2=0，
解得：x=1，y=−2，
则x+y=1−2=−1．
故答案为：−1．
已知等式整理后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.【答案】x≠1
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
根据分式有意义的条件，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】
解：由题意得1−x≠0，
则x≠1，
故答案为：x≠1．
14.【答案】−8
【解析】解：∵点M(a,3)与点N(5,b)关于y轴对称，
∴a=−5，b=3，
则a−b=−5−3=−8．
故答案为：−8．
直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值，再利用有理数的加减运算法则求出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
15.【答案】AD=CE(答案不唯一)
【解析】解：添加的条件是AD=CE，
理由是：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∵∠ACB=∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
∠ADC=∠BECAD=CE∠ACD=∠CBE，
∴△BEC≌△CDA(ASA)．
故答案为：AD=CE(答案不唯一)．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可，两个三角形全等已具备的条件是∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，根据三角形全等的判定方法即可确定添加的条件．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
16.【答案】30°或45°
【解析】解：分两种情况：如图，
①当∠BED=90°时，点E在AB上时，
∵∠BAC=60°
∴∠CAD=12∠BAC=30°
②当∠BDE=90°时，即E在△ACB外时，如图，
由折叠可得：
AE=AC，
∵∠C=∠E=90°
∴∠EAC=90°，
∠ADC=∠ADE=12×90°=45，
AD平分∠CAE，
∴∠CAD=45°，
∠DBE不可能为直角．
故答案为30°或45°．
分两种情况：当点E在AB上时，有直角三角形的性质可得∠CAD=30°，当∠BDE=90°时，即E在△ACB外时，由折叠可得：AE=AC，∠EAC=90°，∠ADC=∠ADE=45，AD平分∠CAE，即∠CAD=45°．
本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点．
17.【答案】解：(1)∵a+b=7，且(a−2)(b−2)=ab−2(a+b)+4=2，
∴ab−14+4=2，
解得：ab=12；
(2)∵a+b=7，ab=12，
∴原式=(a+b)2+ab=49+12=61．
【解析】(1)已知等式化简后，将a+b=7代入计算即可求出ab的值；
(2)原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)(−13x2y)⋅15xy2
=(−13×15)x2+1y1+2
=−5x3y3；
(2)(3a2b2+2a2b)÷ab
=3a2b2÷ab+2a2b÷ab
=3ab+2a．
【解析】(1)直接利用单项式乘单项式计算得出答案；
(2)直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
本题主要考查了整式的除法运算以及单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】解：a2−2a+1a2−4÷(1−3a+2)+1a−2
=(a−1)2(a+2)(a−2)÷a+2−3a+2+1a−2
=(a−1)2(a+2)(a−2)÷a−1a+2+1a−2
=(a−1)2(a+2)(a−2)⋅a+2a−1+1a−2
=a−1a−2+1a−2
=a−1+1a−2
=aa−2，
要使分式a2−2a+1a2−4÷(1−3a+2)+1a−2有意义，a−2≠0，a+2≠0，a−1≠0，
所以a不能为2，−2，1，
取a=0，
当a=0时，原式=00−2=0．
【解析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出a不能为2，−2，1，取a=0，把a=0代入化简结果，再求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△DCF是直角三角形．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【解析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是△ABC的角平分线即可．
此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE=DF是正确解答本题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠EAC=∠DAB，
在△BAD和△CAE中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△BAD≌△CAE(SAS)；
(2)设BD与AC交于O点，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠DBA=∠ACE，
∵∠COD=∠AOB，
∴∠BFC=∠CAB=90°，

∴BD⊥CE．
【解析】(1)利用∠BAC=∠DAE=90°，得∠EAC=∠DAB，再利用SAS可证明结论；
(2)由(1)得∠DBA=∠ACE，再利用三角形内角和定理可得∠CFB=∠CAB=90°，从而得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△BAD≌△CAE是解题的关键．
22.【答案】4
【解析】解：(1)△ABC的面积=3×3−2×12×1×3−12×2×2=4；
故答案为：4；
(2)如图，△A′B′C′即为所求；
(3)A′(1,0)，B′(2,−3)，C′(4,−1)．
(1)根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积；
(2)根据平移的性质可以把△ABC向下平移4个单位长度，再根据轴对称的性质以y轴为对称轴对称，得到△A′B′C′；
(3)结合(2)即可得到A，B，C三点的对应点A′，B′，C′的坐标．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)设购买一个A品牌口罩需x元，则购买一个B品牌口罩需(x+1)元，
依题意得：2500x=2000x+1×2.5，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2．
答：购买一个A品牌口罩需1元，购买一个B品牌口罩需2元．
(2)设该校此次购买m个B品牌口罩，则购买(1500−m)个A品牌口罩，
依题意得：1×(1+20%)(1500−m)+2×0.9m≤2130，
解得：m≤550．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为550．
答：该校此次最多可购买550个B品牌口罩．
【解析】(1)设购买一个A品牌口罩需x元，则购买一个B品牌口罩需(x+1)元，由题意：购买A品牌口罩花费了2500元，购买B品牌口罩花费了2000元，且购买A品牌口罩数量是购买B品牌口罩数量的2.5倍，列出分式方程，解方程即可；
(2)设该校此次购买m个B品牌口罩，则购买(1500−m)个A品牌口罩，由题意：该校此次购买A、B两种品牌口罩的总费用不超过2130元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】7
【解析】解：(1)∵∠ACD=∠E=90°，
∴∠ACB=90°−∠DCE=∠D，
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠ACB=∠DAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=CE=3，BC=ED=4，
∴BE=BC+CE=7；
故答案为：7；
(2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E=∠ACD=90°，
∴∠ACB=90°−∠DCE=∠CDE，
在△ABC和△CED中，
∠ABC=∠E=90°∠ACB=∠CDEAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC=ED=4，
∴S△BCD=12BC⋅DE=8；
(3)过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴12×6⋅AE=12，
∴AE=4，
∵∠ADC=45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=4，
∴CE=CD−DE=2，
∵∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACE=90°−∠BCF=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠F=90°∠ACE=∠CBFAC=BC，
∴△ACE≌△CBF(AAS)，
∴BF=CE=2，
∴S△BCD=12CD⋅BF=6．
(1)由∠ACD=∠E=90°，得∠ACB=90°−∠DCE=∠D，可证明△ABC≌△CED(AAS)，即得AB=CE=3，BC=ED=4，故BE=BC+CE=7；
(2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E，由DE⊥BC，CD⊥AC，得∠E=∠ACD=90°，即得∠ACB=90°−∠DCE=∠CDE，可证明△ABC≌△CED(AAS)，得BC=ED=4，故S△BCD=12BC⋅DE=8；
(3)过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，得AE=4，又∠ADC=45°，AE⊥CD，得△ADE是等腰直角三角形，即得DE=AE=4，CE=CD−DE=2，根据∠ABC=∠CAB=45°，可得∠ACB=90°，AC=BC，即有∠ACE=90°−∠BCF=∠CBF，即可证明△ACE≌△CBF(AAS)，从而BF=CE=2，故S△BCD=12CD⋅BF=6．
本题考查全等三角形的判定、性质及应用，涉及等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形(K型全等)．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPBQ=AP,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；
(3)解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：在△ABQ与△CAP中，
BQ=AP∠CAP=∠ABQ=60°AB=CA,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠CAP=180°−60°=120°．
【解析】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，从而可得到∠QMC的度数；
(3)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，可得到∠QMC的度数．