2022-2023学年山东省菏泽市成武县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市成武县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题中属于真命题的是( )
A. 同位角相等B. 三角形的一个外角大于它的一个内角
C. 对顶角相等D. 若x2=4，则x=2
2.如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( )
A. ∠A=∠CB. ∠D=∠BC. AD//BCD. DF/​/BE
3.如图，D，A，E三点在一条直线上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，若AB=AC，BD=10，CE=7，则DE的长为( )
A. 8.5
B. 12
C. 13.5
D. 17
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
5.若分式x−3x+3有意义，则x的取值范围为( )
A. x≠−3B. x≠3C. x>−3D. x<−3
6.关于x的方程x−3x−1=mx2−1有增根，则增根可能是( )
A. 1B. 3C. −1D. 1或−1
7.2015年某中学举行的春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是( )
A. 1.70m，1.65mB. 1.70m，1.70mC. 1.65m，1.60mD. 3，4
8.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E；
②分别以点D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；
③作射线BF交AC于点G；
如果AB=8，BC=12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为( )
A. 20B. 36C. 27D. 92
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.如图，点P关于OA的对称点是D，点P关于OB的对称点是C，若∠AOB=30°，则∠DOC的度数是______ ．
10.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是______ ．
11.m2m2−2n2，13m2−3mn的最简公分母是______ ．
12.一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：1u+1v=1f .若f=6厘米，v=8厘米，则物距u=_____厘米．
13.在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩(单位：环)为：7，8，10，8，9，6，计算这组数据的方差为______．
14.如图，已知AB=A1B，∠A=n°，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，则∠A4= ______ ．
三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1)12m2−9−2m−3；
(2)(2a−12aa+2)÷a−4a2+4a+4．
16.(本小题6分)
已知x≠y，y=−x+8，求代数式x2x−y+y2y−x的值．
17.(本小题8分)
解方程：2xx+1+1x=2．
18.(本小题8分)
如图所示由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在网格的格点上．

(1)画出△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)写出△A1B1C1各顶点的坐标．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)求证：△ABE≌△DBE；
(2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠BED的度数．
20.(本小题8分)
甲.乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天.求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
求证：BE垂直平分CD．
22.(本小题10分)
某校举行“做文明郴州人”演讲比赛，聘请了10位评委为参赛选手打分，赛前，组委会拟定了四种记分方案：方案一：取所有评委所给的平均分；
方案二：在所有评委给的分中，去掉一个最高分，去掉一个最低分，取剩余得分的平均分；
方案三：取所有评委给分的中位数；
方案四：取所有评委给分的众数．
为了探究四种记分方案的合理性，先让一名表演选手(不参加正式比赛的)演讲，让10位评委给演讲者评分，表演者得分如下表：
(1)请分别用上述四种方案计算表演者的得分；
(2)如果你是评委会成员，你会建议采用哪种可行的记分方案？你觉得哪几种方案不合适？
23.(本小题12分)
问题背景：
(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______．
探索延伸：
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.只有两直线平行时，同位角才相等，故该选项错误；
B.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的一个内角，故该选项错误；
C.对顶角相等，故该选项正确；
D.若x2=4，则x=±2，故该选项错误；
故选：C．
根据平行线的性质、三角形外角的性质、对顶角的性质、平方根的定理逐项判断即可．
本题主要考查真假命题，掌握基本的事实和定理是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
根据全等三角形的判定得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．
【解答】
解：当∠D=∠B时，
在△ADF和△CBE中，
∵AD=CB∠D=∠BDF=BE,
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
故选B．
3.【答案】D
【解析】解：∵D，A，E三点在一条直线上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
∠BDA=∠AEC∠ABD=∠CAEAB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE=10+7=17，
故选：D．
由AAS证得△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，则DE=AE+AD=BD+CE，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC=108°，AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，
∴∠DAC=∠BAE=72°，
∴∠AEB=∠ADC=72°，
∴BD=AD=AE=CE，AB=BE=AC=CD，
∴△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，
∴一共有6个等腰三角形．
故选D．
根据AB=AC，∠BAC=108°，易求∠B=∠C=36°，且知道△ABC是等腰三角形，再结合AD、AE三等分∠BAC，又易求∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，进而可求∠DAC=∠BAE=72°，再结合三角形内角和定理可求∠AEB=∠ADC=72°，从而可判断△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边即可判断．
5.【答案】A
【解析】解：要分式x−3x+3有意义，则x的取值范围为x+3≠0，
即x≠−3，
故选：A．
根据分式有意义，则要求分式分母不为0，即可求得答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵方程中各分式的最简公分母为(x+1)(x−1)，
分式方程x−3x−1=mx2−1有增根，
∴(x+1)(x−1)=0，
解得x=±1，
x−3x−1=mx2−1化简为(x+1)(x−3)=m，
当x=1时，m=0，
当x=−1时，m=0，
综上，增根可能是1或−1．
故选：D．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出所求即可．
本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解和增根的条件．
7.【答案】C
【解析】解：∵15÷2=7…1，第8名的成绩处于中间位置，
∴男子跳高的15名运动员的成绩处于中间位置的数是1.65m，
∴这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m；
∵男子跳高的15名运动员的成绩出现次数最多的是1.60m，
∴这些运动员跳高成绩的众数是1.60m；
综上，可得
这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m，众数是1.60m．
故选：C．
首先根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这些运动员跳高成绩的中位数即可；然后找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这些运动员跳高成绩的众数，据此解答即可．
(1)此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
(2)此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8.【答案】C
【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点G，GN⊥AC于点N．
由作图可知BG平分∠ABC，
∵GM⊥BA，GN⊥BC，
∴GM=GN，
∵S△ABG=12AB⋅GM=18，AB=8，
∴GM=92，
∴GN=GM=92，
∴S△AGC=12BC⋅GN=12×12×92=27，
故选：C．
如图，过点G作GM⊥AB于点G，GN⊥AC于点N.利用角平分线的性质定理证明GM=GN，利用三角形面积公式求出GM，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】60°
【解析】解：连接OP，
∵点P关于OA的对称点是D，点P关于OB的对称点是C，
∴∠AOP=∠AOD，∠BOC=∠BOP，
∴∠AOD+∠BOC
=∠AOP+∠BOP
=∠AOB，
又∠AOB=30°，
∴∠DOC=∠AOD+∠BOC+∠AOB
=2∠AOB
=60°．
故答案为：60°．
根据对称性得到∠AOP=∠AOD，∠BOC=∠BOP，利用∠AOB的度数得到∠AOD和∠BOC，相加可得∠DOC．
本题主要考查了轴对称的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是根据题意得出∠AOD+∠BOC=∠AOB．
10.【答案】20
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的三线合一是解题的关键．
运用等腰三角形的性质，可得BD=CD，再求出△ABC的周长．
【解答】
解：∵在△ABC中，∠B=∠C(已知)，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于点D，
∴BD=CD，
∵AB=6，CD=4，
∴△ABC的周长=6+4+4+6=20，
故答案为20．
11.【答案】6m(m+n)(m−n)
【解析】解：∵m2m2−2n2=m2(m+n)(m−n)，
13m2−3mn=13m(m−n)，
∴m2m2−2n2，13m2−3mn的最简公分母是6m(m+n)(m−n)．
故答案为：6m(m+n)(m−n)．
先把分母因式分解，再根据确定最简公分母的方法是：
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
根据上述方法求出最简公分母．
本题考查了最简公分母，先把分母因式分解，再根据确定最简公分母的方法是本题的解题方法．
12.【答案】24
【解析】【分析】
本题是道与物理结合的题，主要考查异分母分式的加减运算，先化简后求值是解题的基本思路．
先根据异分母分式加减运算化简得到物距u的表达式，然后代入求值即可．
【解答】
解：∵1u+1v=1f，
∴1u=1f−1v=v−ffv，
∴u=vfv−f，
∵f=6，v=8，
∴u=8×68−6=24．
13.【答案】53
【解析】解：平均数=16(7+8+10+8+9+6)=8，
所以方差S2=16[(7−8)2+(8−8)2+(10−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(6−8)2]=53．
故答案为53．
先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解．
本题考查方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14.【答案】n°8
【解析】解：∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，
∴∠A1CD=∠A1A2C，
∵∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8∠A4，
∵∠A=n°=∠BA1A，
∴∠A4=n°8，
故答案为：n°8．
根据等边对等角和三角形的外角得出∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8∠A4，进而可得出答案．
本题考查三角形的外角的性质和等边对等角，掌握这些知识点是解题的关键．
15.【答案】解：(1)原式=12−2(m+3)(m+3)(m−3)
=−2(m−3)(m+3)(m−3)
=−2m+3；
(2)原式=[2a(a+2)a+2−12aa+2]⋅(a+2)2a−4
=2a2+4a−12aa+2⋅(a+2)2a−4
=2a2−8aa+2⋅(a+2)2a−4
=2a(a−4)a+2⋅(a+2)2a−4
=2a(a+2)
=2a2+4a，
【解析】(1)通分计算即可；
(2)先通分算减法，再算除法．
此题考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
16.【答案】解：∵x≠y，y=−x+8，
∴x+y=8，
原式=x2x−y−y2x−y=x2−y2x−y=(x+y)(x−y)x−y=x+y=8．
【解析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：方程两边同乘以x(x+1)，得
2x2+x+1=2x(x+1)，
解方程得：x=1．
检验：当x=1时，x(x+1)≠0．
∴原分式方程的解是x=1．
【解析】本题的最简公分母是x(x+1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18.【答案】解：(1)如图．

(2)∵点A的坐标为(3,3)，
∴B(2,1)，C(5,1)，
∴A1(−3,3)，B1(−2,1)，C1(−5,1)．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由A1，B1，C1的位置可直接得出答案．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
AB=DB∠ABE=∠DBEBE=BE，
∴△ABE≌△DBE(SAS)；
(2)解：∵△ABE≌△DBE，∠A=100°，
∴∠BDE=∠A=100°，∠AEB=∠BED，
又∠C=50°，
∴∠CED=∠BDE−∠C=50°，
∴∠AEB=∠BED=180°−∠CED2=180°−50°2=65°．
【解析】(1)根据BE平分∠ABC，可得∠ABE=∠DBE，利用SAS即可求证；
(2)根据全等三角形的性质可得∠BDE=∠A=100°，再由三角形外角的性质，即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质及三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：设乙每天加工零件x个，则甲每天加工零件1.5x个，
由题意得，6001.5x+5=600x，
解得：x=40，
经检验：x=40是原分式方程的解且符合题意，1.5x=60，
答：甲每天加工零件60个，乙每天加工零件40个．
【解析】设乙每天加工零件x个，则甲每天加工零件1.5x个，根据两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天列出方程，解方程并检验即可．
此题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
21.【答案】证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°，
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
EB=EBBC=BD，
∴Rt△ECB≌Rt△EDB(HL)，
∴∠EBC=∠EBD，
又∵BD=BC，
∴BF⊥CD，
∴CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出∠EBC=∠EBD，是解题的关键．
首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB，得出∠EBC=∠EBD，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明．
22.【答案】解：(1)方案一最后得分：110(7.0+7.8+3.2+3×8+3×8.4+9.8)=7.7；
方案二最后得分：18(7.0+7.8+3×8+3×8.4)=8；
方案三最后得分：8；
方案四最后得分：8和8.4．
(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不适合作为这个同学演讲的最后得分，
所以方案1不适合作为最后得分的方案；
因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．
【解析】(1)根据给出的方案和平均数的计算公式分别进行解答即可；
(2)考虑不受极值的影响，不能有两个得分等原因进行排除，即可得出答案．
此题考查了众数、平均数与中位数，用到的知识点是：众数、中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．平均数=总数÷个数．
23.【答案】(1)EF=BE+DF；
(2)结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G.使DG=BE.连结AG，
在△ABE和△ADG中，
DG=BE∠B=∠ADGAB=AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
【解析】(1)证明：在△ABE和△ADG中，
DG=BE∠B=∠ADGAB=AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF．
(2)见答案．
【分析】
(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
(2)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．成绩(m)
1.80
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
人数
1
2
4
3
3
2
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
打分
7.0
7.8
3.2
8.0
8.4
8.4
9.8
8.0
8.4
8.0