人教版2023-2024学年度上学期九年级数学期末模拟卷（含解析）

这是一份人教版2023-2024学年度上学期九年级数学期末模拟卷（含解析），共27页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．以下关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．2（x﹣1）2＝2x2+2
C．（k+1）x2+3x＝2D．（k2+1）x2﹣2x+1＝0
2．下列慈善公益图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
3．临近春节的三个月，某商店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元．设第一个月至第三个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52B．8（1+x）2＝11.52
C．8（1+x2）＝11.52D．2×8（1+x）＝11.52
4．下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为360°，这是随机事件
B．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
C．从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大
D．直径是圆中最长的弦
5．下列关于二次函数y＝﹣x2+x+2的图象和性质的说法中，正确的是（ ）
A．图象开口向上B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）D．（﹣1，0）在此函数图象上
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝50°，则∠BAO的度数是（ ）
A．30°B．42°C．40°D．36°
7．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣2，4），点B的坐标为（2，2），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（1，2）C．（3，3）D．（3，5）
9．如图，已知⊙O的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG（ ）
A．B．C．D．3
10．函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
11．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．B．C．D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；⑤b＞m（am+b）（其中m≠），其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（6题，24分）
13．从﹣3、﹣1、1、2、﹣5中任取一个数作为a，则抛物线y＝ax2+bx+c开口向上的概率是 ．
14．将二次函数y＝2（x+2）2+1图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式为 ．
15．已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C．若∠B＝60°，PA＝4．则AB的长为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点E．矩形ABCD的边AB在线段OE上，点C、D在抛物线上，则矩形ABCD周长的最大值为 ．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
三．解答题（8题，78分）
19．解方程：
（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1； （2）2x2﹣3x﹣4＝0．
20．已知方程x2﹣（k2+2k+6）x+（2k2+4k+8）＝0（k为常数）．
（1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实根为x1，x2，求|x1﹣x2|的最小值．
21．安装在某喷灌器立柱OA上的喷头A高出水平地面1.5m，喷出的水流呈抛物线形从高1m的小树BC上面的点D处飞过，点D在直线BC上，与点C间的距离为0.5m，测得点B与点O相距4m，水流最后落在距O点5m远的点E处．为进一步探究有关结论，小敏以地面水平线为x轴建立了如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）求喷出的水流距地面的最大高度．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为 ；
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，连接BE，BC，EC，判断△BEC的形状；
（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为 ．
23．我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ ，n＝ ，C等级对应的圆心角为 度；
（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
24．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
25．如图，直角△ACB，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以AC为直径作⊙O，点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点；
（1）求证：点E为CG的中点；
（2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若CF＝2，求BC的长．
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E，记△CEF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图②，连接CM，过点M作CM的垂线l1，过点B作BC的垂线l2，l1与l2交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
1．以下关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．2（x﹣1）2＝2x2+2
C．（k+1）x2+3x＝2D．（k2+1）x2﹣2x+1＝0
【解答】解：A、错误，当a＝0时，是一元一次方程；
B、错误，是一元一次方程；
C、错误，当k＝﹣1时，是一元一次方程；
D、正确，符合一元二次方程的定义．
故选：D．
2．下列慈善公益图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
3．临近春节的三个月，某商店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元．设第一个月至第三个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52B．8（1+x）2＝11.52
C．8（1+x2）＝11.52D．2×8（1+x）＝11.52
【解答】解：根据题意得：8（1+x）2＝11.52．
故选：B．
4．下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为360°，这是随机事件
B．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
C．从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大
D．直径是圆中最长的弦
【解答】解：根据题意得：
A选项中，任意画一个三角形，其内角和为360°，这是不可能事件，原说法不正确，故不符合题意；
B选项中，投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数可能是5000次，原说法不正确，故不符合题意；
C选项中，从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较小，原说法不正确，故不符合题意；
D选项中，直径是圆中最长的弦，原说法正确，故符合题意．
故选：D．
5．下列关于二次函数y＝﹣x2+x+2的图象和性质的说法中，正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．（﹣1，0）在此函数图象上
【解答】解：根据题意得：
A、a＝﹣1＜0，图象开口向下，原说法错误，不符合题意；
B、，对称轴是直线，原说法错误，不符合题意；
C、，，顶点坐标为，原说法错误，不符合题意；
D、当x＝﹣1时，y＝0，（﹣1，0）在此函数图象上，正确，故符合题意．
故选：D．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝50°，则∠BAO的度数是（ ）
A．30°B．42°C．40°D．36°
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∵OB＝OA，
∴∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣100°）＝40°．
故选：C．
7．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由图可知，黑色地砖5块，共有9块地砖，
∴该小球停留在黑色区域的概率是．
故选：D．
8．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣2，4），点B的坐标为（2，2），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（1，2）C．（3，3）D．（3，5）
【解答】解：作AC、BD的垂直平分线交于点O，
点O即为旋转中心，O（0，0），
故选：A．
9．如图，已知⊙O的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴△OCD是等边三角形，
由题意可知OG⊥CD，则OG垂直平分CD，
∴OC＝OD＝CD＝4，，
∴，
故选：C．
10．函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除B；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除C；
故选：D．
11．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接OD、OE、OB，OB交DE于H，如图，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，
设BE＝a，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴AD＝AF＝6﹣a，CF＝CE＝7﹣a，
∵AF+CF＝AC＝5，
∴6﹣a+7﹣a＝5，
解得：a＝4，
∴BE＝BD＝4．
∴AF＝AD＝2，CF＝CE＝3，
设⊙O的半径为r，
由海伦公式得：S＝，其中p＝，
由三角形内切圆可知：S△ABC＝C△ABC•r，
∴S△ABC＝p•r，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴p＝（6+5+7）＝9，
∴S△ABC＝＝6，
∴r＝＝＝，
∴OE＝，
∴OB＝＝＝，
∵BE＝BD，OE＝OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH＝EH，OB⊥DE，
∵HE•OB＝OE•BE，
∴HE×＝×4，
∴HE＝，
∴DE＝2EH＝．
故选：D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；⑤b＞m（am+b）（其中m≠），其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，则结论①正确；
将点（2，0）代入二次函数的解析式得：4a+2b+c＝0，则结论③错误；
将a＝﹣b代入4a+2b+c＝0得：﹣2b+c＝0，则结论②正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴和时的函数值相等，即都为y1，
又∵当时，y随x的增大而减小，且，
∴y1＞y2，则结论④正确；
由函数图象可知，当时，y取得最大值，最大值为，
∵，
∴，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②④⑤，共4个．
故选：C．
13．从﹣3、﹣1、1、2、﹣5中任取一个数作为a，则抛物线y＝ax2+bx+c开口向上的概率是 ．
【解答】解：从﹣3、﹣1、1、2、﹣5中任取一个数作为a，
当a＝1或a＝2时，抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，
因此抛物线y＝ax2+bx+c开口向上的概率为：，
故答案为：．
14．将二次函数y＝2（x+2）2+1图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式为 y＝2x2﹣1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x+2）2+1的顶点坐标为（﹣2，1），∴图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标为（0，﹣1），
由于平移不改变图形的形状与大小，则平移后的抛物线表达式为y＝2x2﹣1；
故答案为：y＝2x2﹣1．
15．已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为 0 ．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故答案为：0．
16．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C．若∠B＝60°，PA＝4．则AB的长为 8 ．
【解答】解：连接PO，OC，如图，
∵PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，
∴PA＝PC，∠OAP＝90°，
∵OA＝OC，
∴PO⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∴BC∥PO，
∵∠B＝60°，，
∴∠AOP＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴PO＝2OA，
根据勾股定理可得，，
解得：OA＝4，
∴AB＝2OA＝8，
故答案为：8．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点E．矩形ABCD的边AB在线段OE上，点C、D在抛物线上，则矩形ABCD周长的最大值为 13 ．
【解答】解：设点D的横坐标是m，
∴点D的纵坐标是m2﹣3m．
∴AD＝3m﹣m2．
又抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝3，
∴C的横坐标为3﹣（m﹣3）＝6﹣m．
∴CD＝2m﹣6．
∴矩形ABCD的周长L＝2（3m﹣m2+2m﹣6）＝﹣m2+10m﹣12＝﹣（m﹣5）2+13．
∴当m＝5时，周长L有最大值13．
故答案为：13．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠BET＝∠FEG＝45°，
∴∠BEF＝∠TEG，
∵EB＝ET，EF＝EG，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B＝∠ETG＝90°，
∴点G在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC＝，BE＝，CD＝6，
∴CE＝CD＝6，
∴∠CED＝∠BET＝45°，
∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，
∴CJ⊥DE，
∴JE＝JD，
∴CJ＝DE＝3，
∴CG＝CJ+GJ＝+3，
∴CG的最小值为+3，
故答案为：+3．
19．解方程：
（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；
（2）2x2﹣3x﹣4＝0．
【解答】解：（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1，
x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
∴．
（2）2x2﹣3x﹣4＝0，
a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴．
即．
20．已知方程x2﹣（k2+2k+6）x+（2k2+4k+8）＝0（k为常数）．
（1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实根为x1，x2，求|x1﹣x2|的最小值．
【解答】解：（1）原方程可化为：（x﹣2）[x﹣（k2+2k+4）]＝0，
∴原方程的两根为2和k2+2k+4，
又∵k2+2k+4＝（k+1）2+3＞2，
∴该方程恒有两个不相等的实数根；
（2）∵，
∴，
所以|x1﹣x2|的最小值为1．
21．安装在某喷灌器立柱OA上的喷头A高出水平地面1.5m，喷出的水流呈抛物线形从高1m的小树BC上面的点D处飞过，点D在直线BC上，与点C间的距离为0.5m，测得点B与点O相距4m，水流最后落在距O点5m远的点E处．为进一步探究有关结论，小敏以地面水平线为x轴建立了如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）求喷出的水流距地面的最大高度．
【解答】解：（1）由题意得：OA＝BD＝1.5m，OB＝4m，OE＝5m，
∵A，D两点又在抛物线上，
∴A（0，1.5），D（4，1.5）两点关于直线x＝2对称．
即直线x＝2为抛物线的对称轴．
故可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，则．
将E（5，0）代入抛物线解析式可得，
解得：{a＝−0.3b＝1.2c＝1.5．
所以抛物线的解析式为y＝﹣0.3x2+1.2x+1.5．
（2）由（1）知：y＝﹣0.3x2+1.2x+1.5，直线x＝2为抛物线的对称轴．
∴当x＝2时，y＝﹣0.3×22+1.2×2+1.5＝2.7，
∴喷出的水流距地面的最大高度为2.7m．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为 （2，﹣4） ；
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，连接BE，BC，EC，判断△BEC的形状；
（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为 （0，4） ．
【解答】解：（1）如图所示，D（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）；
（2）如图所示，BE2+EC2＝BC2，
∴△BEC的形状为直角三角形；
（3）作B点关于y轴对称点B’，连接AB'交y轴于F点，此时△ABF的周长最小，F（0，4），
故答案为：（0，4）．
23．我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 40 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ 10 ，n＝ 40 ，C等级对应的圆心角为 144 度；
（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
【解答】解：（1）12÷30%＝40人，40×20%＝8人，
故答案为：40，补全条形统计图如图所示：
（2）4÷40＝10%，16÷40＝40%，
360°×40%＝144°．
故答案为：10，40，144；
（3）设除小明以外的三个人记作A′、B′、C′，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12种可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为＝．
24．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
每本进价40元，且获利不高于30%，即最高价为52元，即x≤52，故：44≤x≤52，
（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10（x﹣57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，所以当x＝52时，w有最大值，最大值为2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元．
25．如图，直角△ACB，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以AC为直径作⊙O，点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点；
（1）求证：点E为CG的中点；
（2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若CF＝2，求BC的长．
【解答】（1）证明：连接OE，∵G为Rt△ABC斜边的中点．
∴AG＝CG，
又∵∠A＝60°，
∴△ACG为等边三角形，
∴∠C＝∠AGC＝60°，
又∵CO＝OE，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠AGC＝∠OEC＝60°．
∴OE∥AB，
∵O为AC中点，
∴E为CG的中点；
（2）证明：由（1）得OE∥AG，
∵ED⊥AG，
∴OE⊥ED，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：作GM∥FD交BC于M，如图，
∵E为CG的中点，
∴EF为△CMG的中位线，
∴EF＝MG，
∵CF、FE是⊙O的切线．
∴CF＝EF，
∴MC＝MG，
∵△MGB为30°角的直角三角形，
∴BM＝2MG＝2CM＝4CF，
∴BC＝6CF＝6×2＝12．
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E，记△CEF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图②，连接CM，过点M作CM的垂线l1，过点B作BC的垂线l2，l1与l2交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）在一次函数中，
当y＝0时，x＝3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
将B（3，0），C（0，3）代入抛物线得，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图①，连接OF，设点M坐标为M（m，0），
∵EM∥y轴，
∴点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点F的坐标为（m，﹣m+3），
由题意可得：S1＝S△OME+S△OCE﹣S△COF﹣S△OMF＝＝＝，，
∵，
∴，
解得：m1＝1，（不符合题意舍去），
∴E的坐标为（1，4）；
（3）如图②，过G作GN⊥x轴，由题意可得，
∵GM⊥CM，GB⊥CB，GN⊥x轴，∠COB＝90°，
∴∠OMC＝∠NGM，∠OCM＝∠NMG，∠OCB＝∠NBG，∠OBC＝∠NGB，
∴△COB∽△BNG，△COM∽△MNG，
∴，，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BN＝CN，OB＝OC，
∵CG2＝CM2+GM2，
∴，
设点G坐标为G（t+3，t），点M坐标为M（m，0），
可得，
解得：t＝m，
∴，
∴，
∴．