甘肃省白银市、定西市等3地2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份甘肃省白银市、定西市等3地2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题（每题5分、共60分）
1. 已知集合，，那么等于
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题设可得，所以，应选答案D．
2. 若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由于，且为第四象限角，
所以，
故选：D
3. 若，则的最小值为
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【详解】
，当且仅当时取等号，因此最小值为2，选B.
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
4. 已知，，若，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得到关于的不等式，求解不等式可得a的范围.
【详解】由题意可得：，求解不等式有：，
即实数的取值范围是.
故选C.
【点睛】本题主要考查交集的定义与运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 下列等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分数指数幂的运算法则计算可得；
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
6. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角的终边经过点，利用三角函数的定义可求出的正弦和余弦，进而利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解.
【详解】解：角的终边经过点，
，
由三角函数的定义知：，，
，
，
.
故选：A
7. 函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用关于对称，可得关于轴对称，结合在单调递增，，可得，即可求解.
【详解】因为关于对称，所以关于轴对称，所以，
又在单调递增，
由可得，解得：，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用关于对称，可得关于轴对称，利用函数的单调性和对称性可得即可.
8. 关于函数，，有以下四个结论：
①是偶函数
②在是增函数，在是减函数
③有且仅有1个零点
④的最小值是，最大值是3
其中正确结论的个数是（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简函数得，再利用奇偶性定义和换元法研究复合函数单调性、零点及最值对选项逐一判断即可.
【详解】函数，
，故是偶函数，①正确；
令在是增函数，在是减函数，在上递增，根据复合函数单调性可知在是增函数，在是减函数，②正确；
，，则时，最小值为-1，时，最大值为3，④正确；
令得或（舍去），即，则，有无数个零点，故③错误.所以有3个正确结论.
故选：C.
【点睛】本题的解题关键是借助换元法进行转化，将三角函数问题转化成二次函数的单调性、零点及最值问题.
9 已知函数，则（ ）
A. B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据的范围代入分段函数的解析式利用对数运算求值.
【详解】因为，所以，
故选：A
10. 已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简，得，根据题意即求半个周期的A倍．
【详解】解：依题意
,
，
，，
，
的最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．
11. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数，在区间上单调递增依次判定即可.
【详解】对于A选项，定义域，所以单调性直接不满足，排除；
对于B选项，定义域，，不是奇函数，排除；
对于C选项，，，为奇函数，且在上单调递增，故C选项正确；
对于D选项，定义域，，故为偶函数，排除.
故选：C.
12. 下列结论中，正确的是（ ）
A. 函数是指数函数
B. 函数的值域是
C. 若，则
D. 函数的图象必过定点
【答案】B
【解析】
【分析】对A根据指数函数定义判断；对B根据二次函数值域判断；对C根据指数函数的单调性判断；对D根据指数函数恒过定点判断.
【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确.
选项B. 当时，，故B正确.
选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确.
选项D. 由，可得的图象恒过点，故D不正确.
故选：B
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分、共20分）
13. 方程一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，则实数m的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设，由题意得，解不等式得实数m的取值范围是
考点：一元二次方程根的分布
14. 设函数则成立的的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式将不等式转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集得结果.
【详解】当时，由得，所以；
当时，由得，所以．
综上，符合题意的的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】思路点睛：该题考查解分段函数不等式，解题思路如下：
（1）根据分段函数的解析式，结合题中条件，将不等式转化为不等式组；
（2）对不等式组分别求解，最后取并集得到结果.
15. 已知为锐角，角的终边经过点，，则________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由角的终边经过点，不妨设为锐角，可得，，结三角函数值可得，则由可得，再由两角差的正切公式可求出的值
【详解】因为角的终边过点，不妨设为锐角，
则，.
因为，又因为为锐角，
所以，所以.
所以.
故答案为：3
三、解答题（共70分）
16. 已知，集合，函数的定义域为.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简集合，求出集合，由可得的取值范围；
（2）是的必要不充分条件，即是的真子集，列不等式求出的取值范围即可．
【详解】
令，即
（1）∵，∴且，即；
（2）由题知是真子集，故且，即.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值及单调减区间.
【答案】（1）最小正周期为；（2）；的单调递减区间为.
【解析】
【分析】
(1)利用降幂公式、诱导公式及逆用正弦二倍角公式将函数化为一个角的正弦函数，再利用周期公式，即可求出的最小正周期；
(2)先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果.
【详解】(1)
.
所以的最小正周期为.
(2)因为，所以，
所以当，即时，函数取得最小值.
由，得，所以函数的单调递减区间为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据式子结构，将函数化为的形式.
18. 已知函数，且.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性；
【答案】（1）
（2）奇函数
【解析】
【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出范围就是函数的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
【小问1详解】
要使函数（，）有意义，则，解得，
故函数的定义域为．
【小问2详解】
为奇函数.
对任意，
，
故为奇函数．
19. 已知函数是定义在上的减函数，且满足，.
（1）求；
（2）若，求x的取值范围.
【答案】（1）0；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据对、进行赋值即可得到答案；
（2）利用赋值法得，然后结合转化已知不等式为，最后根据单调性求出所求.
【详解】（1）令，得，得.
（2）令，有，即
又
又已知是定义在上的减函数
∴有，解得.
【点睛】关键点点睛：解决抽象函数问题，主要考查利用赋值法求解抽象函数的函数值，利用单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用，属于中档题.
20. 已知函数，其中且.
（1）判断的奇偶性；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验与的关系即可判断；
（2）结合对数函数的单调性即可求解．
【小问1详解】
因为的定义域关于原点对称，
因为，
所以为奇函数；
【小问2详解】
当时，由可得，
所以，
故，
故不等式的解集为．
21. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的对称中心的坐标.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）首先利用降幂公式，逆用两角和的正弦公式将原式化为一般形式，进而可得函数周期；
（2）令求得的对称中心的坐标.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期为.
【小问2详解】
令得，
解得，
故的对称中心的坐标为，.