思想03 运用函数与方程的思想方法解题（精讲精练）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：运用函数的思想研究问题
核心考点二：运用方程的思想研究问题
核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
3．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
4．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为__________．
5．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【方法技巧与总结】
1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方程问题．例如，方程解的个数可以转化为函数的图象与轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数．
2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切线问题时，设出切点横坐标，得到切线斜率，切线方程为 ， 从而将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标的方程问题．
3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不等式问题．例如，不等式或恒成立，可以转化为或．也可以考虑参变分离再求函数的最值．
4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决．
【核心考点】
核心考点一：运用函数的思想研究问题
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是__________．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）若在上最小值为，求实数的值；
（3）若在上只有一个零点，求实数的取值范围．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值．
核心考点二：运用方程的思想研究问题
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，其中．
（1）请利用的导函数推出导函数，并求函数的递增区间；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在点的切线平行，求（化简为只含的代数式）；
（3）证明：当时，存在直线，使得既是的一条切线，也是的一条切线．
例5．（2023春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数．
（Ⅰ）不需证明，直接写出的奇偶性：
（Ⅱ）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点：
（Ⅲ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
例6．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考一模）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（ ）
A．B．C．D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．2B．4C． D．
核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
【典型例题】
例8．（2023春·广西·高三期末）已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，求的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
例10．（2023·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数，若时，，求a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题
【典型例题】
例11．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，．
（1）求A和a的大小；
（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围．
例12．（2023春·河北张家口·高三张家口市第一中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，其中一个焦点在直线上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，试求三角形面积的最大值．
例13．（2023春·陕西咸阳·高三陕西咸阳中学校考期中）已知数列是各项均为正数的等差数列．
（1）若，且，，成等比数列，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列的前n项和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最小值．
例14．（2023春·北京·高三校考期中）已知函数
（1）函数的值域是____________．
（2）若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围是______________-．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023·广东茂名·高三统考）已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数，，若存在三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河北沧州·高三阶段练习）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列是单调递减数列B．若，则数列是单调递增数列
C．时，D．时，
二、多选题
4．（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量，，满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意，B．对任意，的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
5．（2023春·福建泉州·高三福建省永春第一中学校考阶段练习）已知圆 ，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
6．（2023春·山东日照·高三统考）下列命题中是真命题的有（ ）
A．有四个实数解
B．设a、b、c是实数，若二次方程无实根，则
C．若，则
D．若，则函数的最小值为2
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．若，则的最小值为
C．取到最大值时，D．设，则数列的最小项为
8．（2023春·福建泉州·高三泉州五中校考）数列满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，数列单调递增，数列单调递减
三、填空题
9．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若函数在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是______．
①；②；③；④．
10．（2023春·四川成都·高一校联考）已知函数 满足，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_________．
四、解答题
11．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）已知函数，且函数的值域为．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围．
12．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考）已知函数，函数的值域为．
（1）若不等式的解集为，求m的值；
（2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的不等式的解集为，求实数c的值．
13．（2023春·江苏南通·高三阶段练习）已知函数、．
（1）当c＝b时，解关于x的不等式＞1；
（2）若的值域为[1，），关于x的不等式的解集为（m，m＋4），求实数a的值；
（3）若对，，，恒成立，函数，且的最大值为1，求的取值范围．
14．（2023春·河北邯郸·高三校考）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于､和､四点，求四边形面积的最小值．
15．（2023春·内蒙古·高三赤峰二中校考阶段练习）已知椭圆的左右两个焦点分别为，，以坐标原点为圆心，过，的圆的内接正三角形的面积为，以为焦点的抛物线的准线与椭圆C的一个公共点为P，且．
（1）求椭圆C和抛物线M的方程；
（2）过作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C于A，B两点，另一条交抛物线M于G，H两点，求四边形面积的最小值．
16．（2023春·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．
（1）若，（0，），试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若，（﹣1，），其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．
17．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，的面积为S，已知______．
（1）求角C的大小；
（2）求的取值范围．